2024屆江蘇省無錫市普通高中數(shù)學高二下期末達標測試試題含解析

2024屆江蘇省無錫市普通高中數(shù)學高二下期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，則的面積為（）A．15 B． C．40 D．2．某農(nóng)場給某種農(nóng)作物的施肥量x(單位：噸)與其產(chǎn)量y(單位：噸)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：由于表中的數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程為y=9.4x+a.，當施肥量x=6時，該農(nóng)作物的預報產(chǎn)量是(A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.63．在三棱錐中，，點為所在平面內(nèi)的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．在的二項展開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．5．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．6．現(xiàn)有甲、乙等5名同學排成一排照相，則甲、乙兩名同學相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時，,則（）A．12 B．20 C．28 D．8．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，滿足，，為球的直徑，且，則點到底面的距離為A． B． C． D．10．與復數(shù)相等的復數(shù)是（）A． B． C． D．11．的二項展開式中，項的系數(shù)是（）A． B． C． D．27012．已知函數(shù)，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點，，，球心O到平面ABC的距離是，則B、C兩點的球面距離是______．14．若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．15．為了了解學校(共三個年級)的數(shù)學學習情況，教導處計算高一、高二、高三三個年級的平均成績分別為，并進行數(shù)據(jù)分析，其中三個年級數(shù)學平均成績的標準差為____________.16．已知兩不共線的非零向量滿足,,則向量與夾角的最大值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)是否支持進軍新的區(qū)域市場，在全體員工中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：支持進軍新的區(qū)城市場不支持進軍新的區(qū)域市場合計老員工（入職8年以上）新員工（入職不超過8年）合計（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認為“新員工和老員工是否支持進軍新的區(qū)域市場有差異”；（Ⅱ）已知在被調(diào)查的新員工中有名來自市場部，其中名支持進軍新的區(qū)域市場，現(xiàn)在從這人中隨機抽取人，設其中支持進軍新的區(qū)域市場人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.附：18．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設某張獎券中有一等獎券張，可獲得價值元的獎品，有二等獎券張，每張可獲得價值元的獎品，其余張沒有獎，某顧客從此張獎券中任抽張，求（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得獎品總價值為元的概率.19．（12分）橢圓長軸右端點為，上頂點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于、兩點，判斷是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當，且時，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.21．（12分）（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）用，，，，組成一個無重復數(shù)字的五位數(shù)，求滿足條件的五位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù).22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先利用余弦定理求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.【題目詳解】由余弦定理得，解得，由三角形面積得，故選B.【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題.2、C【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本的中心點(x,y)，先求出中心點的坐標，然后求出【題目詳解】x=2+3+4+54=3.5,y=26+39+49+544=42，因為回歸直線方程過樣本的中心點(x【題目點撥】本題考查了回歸直線方程的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.3、B【解題分析】

建立空間直角坐標系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【題目詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標原點，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意可得，設為平面內(nèi)任一點，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點的軌跡是橢圓.選B【題目點撥】本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.4、B【解題分析】

由題意，先寫出二項展開式的通項，由此得出二項式系數(shù)的最大值，以及含項的系數(shù)，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為的二項展開式的通項為：，因此二項式系數(shù)的最大值為：，令得，所以，含項的系數(shù)為，因此.故選：B.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大值，以及求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.5、B【解題分析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，6、B【解題分析】

對5個位置進行編號1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學.【題目詳解】對5個位置進行編號1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當甲排在第2位置時，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（2）當甲排在第3位置時，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（3）當甲排在第4位置時，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A∴排法種數(shù)N=12+12+12=36種.【題目點撥】分類與分步計數(shù)原理，在確定分類標準時，一般是從特殊元素出發(fā)，同時應注意元素的順序問題.7、A【解題分析】

先計算出的值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出可得出的值?！绢}目詳解】當時，，則，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選：A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，求函數(shù)值時要注意根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式，合理利用奇偶性是解本題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。8、B【解題分析】

化簡復數(shù)，找出對應點得到答案.【題目詳解】對應點為在第二象限故答案選B【題目點撥】本題考查了復數(shù)的化簡，屬于簡單題.9、C【解題分析】∵三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，PA為球O的直徑且PA=4，∴球心O是PA的中點，球半徑R=OC=PA＝2，過O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC滿足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中點，且AD=BD=CD=∴OD=∴點P到底面ABC的距離為d=2OD=2,故選C.點睛：本題考查點到平面的距離的求法，關鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，找到的外接圓的圓心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出點到底面的距離.10、C【解題分析】

根據(jù)復數(shù)運算，化簡復數(shù)，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因為.故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算，屬基礎題.11、C【解題分析】分析：先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于，且的冪指數(shù)等于，求得的值，即可求得結(jié)果詳解：的展開式中，通項公式為令，且，求得項的系數(shù)是故選點睛：本題主要考查的是二項式定理，先求出其通項公式，即可得到其系數(shù)，本題較為簡單。12、A【解題分析】

根據(jù)題意，可以將原問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析的最大最小值，可得的值域，進而分析方程在區(qū)間上有解，必有，解之可得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則方程在區(qū)間上有解化簡可得設，對其求導又由，在有唯一的極值點分析可得：當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值又由，比較可得，，故函數(shù)有最大值故函數(shù)在區(qū)間上的值域為若方程在區(qū)間有解，必有，則有則實數(shù)的取值范圍是故選：A【題目點撥】本題考查在函數(shù)與方程思想下利用導數(shù)求最值進而表示參數(shù)取值范圍問題，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由已知，AC是小圓的直徑．所以過球心O作小圓的垂線，垂足是AC的中點．，AC=3，∴BC=3，即BC=OB=OC．∴∠BOC=，則B、C兩點的球面距離=×3=π．考點：球的幾何特征，球面距離．點評：中檔題，解有關球面距離的問題，最關鍵是突出球心，找出數(shù)量關系．14、【解題分析】分析：利用換元法簡化不等式，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，22x+2﹣2x=t2+2，整理可得a≥﹣（t+），t∈[，]根據(jù)函數(shù)y=t+的單調(diào)性求出最大值即可．詳解：a（2x﹣2﹣x）+≥0在x∈[1，2]時恒成立，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，∴22x+2﹣2x=t2+2，∴a≥﹣（t+），t∈[，]，顯然當t=是，右式取得最大值為﹣，∴a≥﹣．故答案為[﹣，+∞）．點睛：考查了換元法的應用和恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想應用．恒成立的問題的解決方法：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.15、【解題分析】

根據(jù)方差公式計算方差，然后再得標準差．【題目詳解】三個數(shù)的平均值為115，方差為，∴標準差為．故答案為：．【題目點撥】本題考查標準差，注意到方差是標準差的平方，因此可先計算方差．方差公式為：數(shù)據(jù)的方差為．16、【解題分析】

設向量夾角為，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到結(jié)果.【題目詳解】因為兩非零向量滿足,,設向量夾角為，由于非零向量以及構(gòu)成一個三角形，設，則由余弦定理可得，解得，當且僅當時，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.【題目點撥】該題考查的是有關向量夾角的大小問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有余弦定理，基本不等式，注意當什么情況下取得最值，再者就是需要明確角取最大值的時候其余弦值最小.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）有把握；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）將表格數(shù)據(jù)代入計算出結(jié)果大于即否，否則無。（Ⅱ）可能取值為，，；分別計算出其概率，列表寫出的分布列，再計算數(shù)學期望即可。【題目詳解】解：（I）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，由于，所以有的把握認為新員工和老員工是否支持進軍新的區(qū)域市場有差異.（II）由題意得：的所有可能取值為，，；，，則的分布列為故所求的數(shù)學期望【題目點撥】本題考查列聯(lián)表與簡單隨機事件的分布列與期望，屬于基礎題。18、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出該顧客中獎的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎品總價值為元的概率.詳解：（1）由題意得該顧客沒有中獎的概率為=，∴該顧客中獎的概率為：P=1﹣=，∴該顧客中獎的概率為．（Ⅱ）根據(jù)題意可得：P（X=100）==.點睛：(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.19、（1）；（2）存在直線：滿足要求.【解題分析】

（1）由條件布列關于a，b的方程組，即可得到橢圓的標準方程；（2）由為的垂心可知，利用韋達定理表示此條件即可得到結(jié)果.【題目詳解】解：（1）設橢圓的方程為，半焦距為.則、、、、由，即，又，解得，橢圓的方程為（2）為的垂心，又，，設直線：，，將直線方程代入，得，，且又，，，即由韋達定理得：解之得：或（舍去）存在直線：使為的垂心.【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20、（1）（2）證明見解析【解題分析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．即在恰有一個變號零點．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導數(shù)即可證明．【題目詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個極值點，方程在恰有一個變號零點．在恰有一個變號零點．令，則．可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實數(shù)a的取值范圍為：2要證