上海市桃浦中學 2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

上海市桃浦中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一個焦點坐標為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為()A． B． C． D．或2．在復平面內復數(shù)z對應的點在第四象限，對應向量的模為3，且實部為，則復數(shù)等于（）A． B． C． D．3．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．34．已知拋物線和直線，過點且與直線垂直的直線交拋物線于兩點，若點關于直線對稱，則()A．1 B．2 C．4 D．65．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．6．若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個相鄰的極值點，則=A．2 B．C．1 D．7．通過隨機詢問111名性別不同的中學生是否愛好運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好412131不愛好212151總計3151111由得，1．1511．1111．1112．8413．32511．828參照附表，得到的正確結論是（）A．在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認為“愛好運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過1.11的前提下，認為“愛好運動與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認為“愛好運動與性別無關”D．有以上的把握認為“愛好運動與性別無關”8．已知tan=4,cot=,則tan（+）=（）A． B． C． D．9．下列說法中，正確說法的個數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個分類變量與之間的關系時，隨機變量的觀測值越大，說明“A與B有關系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，，則A．0 B．1 C．2 D．310．若函數(shù)在其定義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)11．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點，它們的離心率之和為，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．12．設點和直線分別是雙曲線的一個焦點和一條漸近線，若關于直線的對稱點恰好落在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，,則________.14．若函數(shù)是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則滿足的實數(shù)的取值范圍是__________．15．設，若是關于的方程的一個虛根，則的取值范圍是____.16．已知向量，若則實數(shù)的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點，且，求的面積.18．（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經過了一年的生長發(fā)育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計，按分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在的數(shù)據(jù)).（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的（2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在內的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.19．（12分）函數(shù)f(x)對任意的m，，都有，并且時，恒有(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)(2)若，解不等式20．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)在點M(1,1)處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值.22．（10分）我校為了解學生喜歡通用技術課程“機器人制作”是否與學生性別有關，采用簡單隨機抽樣的辦法在我校高一年級抽出一個有60人的班級進行問卷調查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男生18女生6合計60已知從該班隨機抽取1人為喜歡的概率是．(Ⅰ)請完成上面的列聯(lián)表；(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按90%的可靠性要求，能否認為“喜歡與否和學生性別有關”？請說明理由．參考臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：先利用雙曲線的漸近線相互垂直得出該雙曲線為等軸雙曲線，再利用焦點位置確定雙曲線的類型，最后利用幾何元素間的等量關系進行求解.詳解：因為該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即，又雙曲線的一個焦點坐標為，所以，即，即該雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，要注意以下等價關系的應用：等軸雙曲線的離心率為，其兩條漸近線相互垂直.2、C【解題分析】

設復數(shù)，根據(jù)向量的模為3列方程求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，復平面內復數(shù)z對應的點在第四象限，對應向量的模為3，且實部為.設復數(shù)，∵，∴，復數(shù).故.故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示及模的運算，是基礎題.3、C【解題分析】

首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，求得，之后根據(jù)，從而求得，得到結果.【題目詳解】根據(jù)題意，可知，所以，所以，故選C.【題目點撥】該題考查的是有關分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)的問題，在解題的過程中，首先求得，利用內層函數(shù)的函數(shù)值等于外層函數(shù)的自變量，代入函數(shù)解析式求得結果.4、B【解題分析】

由于直線與直線垂直，且直線的斜率為1，所以直線的斜率為，而直線過點，所以可求出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出的中點坐標，然后將其坐標代入中可求出的值.【題目詳解】解：由題意可得直線的方程為，設，由，得，所以，所以的中點坐標為，因為點關于直線對稱，所以，解得故選：B【題目點撥】此題考查直線與拋物線的位置關系，點關于直線的對稱問題，屬于基礎題.5、B【解題分析】

數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結論．【題目詳解】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故從右到左第1行的第一個數(shù)為：2×2﹣1，從右到左第2行的第一個數(shù)為：3×20，從右到左第3行的第一個數(shù)為：4×21，…從右到左第n行的第一個數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故答案為：B．【題目點撥】本題主要考查歸納與推理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.6、A【解題分析】

從極值點可得函數(shù)的周期，結合周期公式可得.【題目詳解】由題意知，的周期，得．故選A．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．7、B【解題分析】

試題分析：根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到7.8，發(fā)現(xiàn)它大于3.325，得到有99%以上的把握認為“愛好這項運動與性別有關”，從而可得結論．解：∵7.8＞3.325，∴有1.11=1%的機會錯誤，即有99%以上的把握認為“愛好這項運動與性別有關”故選B．點評：本題考查獨立性檢驗的應用，考查利用臨界值，進行判斷，是一個基礎題8、B【解題分析】

試題分析：由題意得，，故選B．考點：兩角和的正切函數(shù)．9、D【解題分析】

對題目中的三個命題判斷正誤，即可得出結論．【題目詳解】解：對于①，分類變量A與B的隨機變量K2越大，說明“A與B有關系”的可信度越大，①正確；對于②，以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，設z＝lny，由y＝cekx，兩邊取對數(shù)，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，又z＝0.3x+4，∴l(xiāng)nc＝4，k＝0.3，c＝e4，②正確；對于③，根據(jù)回歸直線方程為y＝a+bx，，∴ab3﹣2×1＝1，∴③正確；綜上，正確的命題為①②③，共3個．故選：D．【題目點撥】本題考查了回歸方程，對數(shù)的運算性質，隨機變量K2的概念與應用問題，是基礎題．10、D【解題分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點屬于已知區(qū)間即可.【題目詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點，因為函數(shù)在其定義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調函數(shù)，所以，即，故選:D.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.11、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點坐標為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設雙曲線的實半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質，是中檔題．12、C【解題分析】

取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，離心率公式，計算可得所求值．【題目詳解】如圖所示，取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，直線與線段的交點為，因為點與關于直線對稱，則，且為的中點，所以，根據(jù)雙曲線的定義，有，則，即，所以，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的離心率的求法，注意運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求導，再求，再求.詳解：由題得令x=0得，所以.故答案為：ln2.點睛：(1)本題主要考查求導和導數(shù)值的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力，屬于基礎題.(2)解答本題的關鍵是求.14、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質得出在上是減函數(shù)，由此可得不等式．【題目詳解】∵是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，∴在上是減函數(shù)，．又，∴，解得且．故答案為．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性，由奇偶性和單調性結合起來解函數(shù)不等式，這種問題一類針對偶函數(shù)，一類針對奇函數(shù)，它們有固定的解題格式．如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，可轉化為，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，首先把不等式轉化為再轉化為．15、【解題分析】

設z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個虛根，由方程有虛根可知，判別式為負數(shù)，據(jù)此可求出m的范圍，再利用根與系數(shù)的關系可得，從而求出結果.【題目詳解】設z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個虛根，

z是關于x的方程x2+mx+m2?1=0的一個虛根，可得，即，則由根與系數(shù)的關系，，則，所以的取值范圍是：.故答案為.【題目點撥】本題考查實系數(shù)多項式虛根成對定理，以及復數(shù)的模的求解，屬中檔題.16、【解題分析】

由兩向量垂直得數(shù)量積為0，再代入坐標運算可求得k.【題目詳解】由題意可得，代入坐標可得，解得。填。【題目點撥】本題考查用數(shù)量積表示兩向量垂直及空間向量的坐標運算。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將橢圓的方程化為標準方程，得出、與的等量關系，可得出橢圓的離心率的值；（2）設直線的方程為，設點、，將的值代入得出橢圓的方程，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，消去，列出韋達定理，利用弦長公式結合條件可求出，利用點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出的面積.【題目詳解】（1）橢圓，橢圓長半軸長為，短半軸長為，；（2）設斜率為的直線的方程為，且、，，橢圓的方程為，由，.消去得，又有.，解得：滿足，直線的方程為.故到直線的距離，.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的計算，考查橢圓中的弦長與三角形面積的計算，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理與弦長公式進行計算求解，難點在于計算量大，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）由題得，再利用頻率和為1求x的值.(2)先求出的可能取值為1,2,3，再求其對應的概率，再列分布列求期望.詳解：(1)由題意可知，樣本容量.(2)由題意可知，高度在[80,90)內的株數(shù)為5，高度在[90,100]內的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數(shù)的可能取值為1,2,3，則,123故點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖中的頻數(shù)頻率等的計算，考查離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)……為的均值或數(shù)學期望，簡稱期望，求期望的關鍵是求隨機變量的概率.19、（1）證明見解析（2）不等式的解集為:.【解題分析】

(1)利用=和增函數(shù)的定義證明;(2)先通過賦值法得到,再根據(jù)(1)的增函數(shù)可解得不等式的解集.【題目詳解】(1)證明:任取,則==,因為,所以,因為時，恒有,所以,所以,所以,所以,根據(jù)增函數(shù)的定義可知,f(x)在R上是增函數(shù).(2)在中,令得,即,在中,令得,即,所以,又,所以,所以,所以等價于,因為函數(shù)在上是增函數(shù),所以,即,所以,所以,所以不等式的解集為:.【題目點撥】本題考查了用定義證明增函數(shù),利用增函數(shù)的性質解不等式,屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析