上海市五十四中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

上海市五十四中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，實(shí)數(shù)是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A． B． C． D．2．大學(xué)生小紅與另外3名大學(xué)生一起分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小紅恰好分配到甲村小學(xué)的方法數(shù)為（）A．3 B．18 C．12 D．63．如圖的三視圖表示的四棱錐的體積為，則該四棱錐的最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A． B． C．6 D．4．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z+1A．12 B．12i C．6．在數(shù)列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．187．函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．8．定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)（）的所有零點(diǎn)之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．8010．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（）A．若的觀測(cè)值為=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病；B．從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯(cuò)誤；D．以上三種說法都不正確.11．圓的圓心為()A． B． C． D．12．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法B．在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好C．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，模擬的效果越好二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則=______.14．在中，，，則________．15．設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列是：012則當(dāng)變化時(shí)，的極大值是__________．16．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為__________（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.19．（12分）隨著西部大開發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞，下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線對(duì)比表：年份20142015201620172018年份代碼12345省一本線505500525500530錄取平均分533534566547580錄取平均分與省一本線分差y2834414750（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線為520分，李華2019年高考考了569分，他很喜歡這所大學(xué)，想第一志愿填報(bào)，請(qǐng)利用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給李華一個(gè)合理的建議.（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報(bào)考）參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.20．（12分）已知.（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21．（12分）某市教育部門為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中,身不低于1.69米的學(xué)生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計(jì)該市高一學(xué)生的身高概率.(I)求該市高一學(xué)生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生,記為身高在的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由展開式通項(xiàng)公式根據(jù)常數(shù)項(xiàng)求得，再令可得各項(xiàng)系數(shù)和．詳解：展開式通項(xiàng)為，令，則，∴，，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為或．故選C．點(diǎn)睛：賦值法在求二項(xiàng)展開式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開式為，如求所有項(xiàng)的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．2、C【解題分析】

分兩種情況計(jì)算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.【題目詳解】大學(xué)生小紅與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，分兩種情況計(jì)算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.小紅恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù).故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解題分析】

根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)體，即可求得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)?！绢}目詳解】根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)如下圖所示：由圖可知，底面，所以棱長(zhǎng)最長(zhǎng)根據(jù)三棱錐體積為可得，解得所以此時(shí)所以選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體三視圖，三棱錐體積的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，則對(duì)任意的，.此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時(shí)，解方程，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.5、A【解題分析】由z=1+i，得z+1z=1+i+6、B【解題分析】

通過，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項(xiàng)的問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、A【解題分析】

判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用特征值的符號(hào)是否一致進(jìn)行排除即可．【題目詳解】解：f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距離原點(diǎn)最近的零點(diǎn)為π，則f（）0，排除C，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用對(duì)稱性以及特殊值進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．8、D【解題分析】分析：首先根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱性畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像，再根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)來求得函數(shù)的零點(diǎn)的和.詳解：因?yàn)楣屎瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，令，即，畫出函數(shù)與函數(shù)圖像如下圖所示，由于可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)圖像一共有個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為，故函數(shù)的個(gè)零點(diǎn)的和為.故選D.點(diǎn)睛：本小題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.解決函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩個(gè)方法，一個(gè)是利用零點(diǎn)的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間很方便.二個(gè)是令函數(shù)等于零，變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)來得到函數(shù)的零點(diǎn).9、D【解題分析】

通過展開二項(xiàng)式即得答案.【題目詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理，難度很小.10、C【解題分析】試題分析：要正確認(rèn)識(shí)觀測(cè)值的意義，觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較得到一個(gè)概率，這個(gè)概率是推斷出錯(cuò)誤的概率，若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯(cuò)誤，故選C．考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)．11、D【解題分析】

將ρ＝2cos（）化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心的直角坐標(biāo)，進(jìn)而化為極坐標(biāo)．【題目詳解】ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），展開為ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2（x﹣y），∴1，可得圓心為C，可得1，tanθ＝﹣1，又點(diǎn)C在第四象限，θ．∴圓心C．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、C【解題分析】對(duì)于A，統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法，正確；對(duì)于B，殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好，正確；對(duì)于C，線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線過樣本中心點(diǎn)，不一定過樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2越大，其模擬的效果就越好，正確．故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、365【解題分析】分析：令代入可知的值，令代入可求得的值，然后將兩式相加可求得的值．詳解：中，令代入可知令代入可得，除以相加除以2可得.即答案為365.點(diǎn)睛：本題主要考查的是二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和，充分利用賦值法是解題的關(guān)鍵．14、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，，再由二倍角公式得到結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，以及二倍角公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題.15、.【解題分析】分析：先求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求極大值.詳解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的極大值是.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.16、【解題分析】

通過先分析個(gè)位數(shù)字的可能，再排列十位和千位即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字是1,3,5共有3種可能，由于還剩下4個(gè)數(shù)字，排列兩個(gè)位置故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為,故答案為36.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合相關(guān)知識(shí)，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】試題分析：（1）由已知得x＞1，，對(duì)ｋ分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由得，即求的最大值．試題解析：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)的遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為.（2）由得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.18、（1），；（2）【解題分析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．則，，且.．【題目點(diǎn)撥】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．19、（1）；（2）建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【解題分析】

（1）由表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算出和，即可得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）結(jié)合（1）計(jì)算出2019年錄取平均分，再根據(jù)該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的性質(zhì)可計(jì)算出李華被錄取的概率，由此得到結(jié)論．【題目詳解】（1）由題知：，所以得：故所求回歸方程為：；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，故該大學(xué)2019年的錄取平均分為577.1分.又因?yàn)樗岳钊A被錄取的概率：故建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程以及正態(tài)分布，屬于中檔題．20、（1），；（2）.【解題分析】分析：（1）令，則，，則，兩式做差得到結(jié)果；（2）要比較與的大小，只要比較與的大小，接下來應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法得到結(jié)果即可.詳解：（1）令，則，令，則，所以．（2）要比較與的大小，只要比較與的大小．猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，,結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以所以，即時(shí)結(jié)論也成立．由①②可知，時(shí)，所以.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，注意假設(shè)n=k+1的證明過程中，一定要用到n=k的結(jié)論.21、(I)見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)見解析.【解題分析】分析:(I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學(xué)生的身高高于1.70的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值.(II)先求出從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率，再利用二項(xiàng)分布寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)先分別計(jì)算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解：(I)由圖2可知，100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70的概率為0.15.記為學(xué)生的身高，結(jié)合圖1可得:，,,又由于組距為0.1,所以，（Ⅱ）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得:從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率.