2024屆福建省羅源縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆福建省羅源縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．已知集合，則A． B．C． D．R3．某校教學(xué)大樓共有5層，每層均有2個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有()A．24種B．52種C．10種D．7種4．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學(xué)對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績超過乙同學(xué)的平均成績的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，當(dāng)時，在內(nèi)的極值點的個數(shù)為（）A． B． C． D．6．將2名教師和6名學(xué)生平均分成2組，各組由1名教師和3名學(xué)生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種7．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．8．函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．9．某同學(xué)將收集到的6組數(shù)據(jù)對，制作成如圖所示的散點圖（各點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標(biāo)），并由這6組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線：和相關(guān)系數(shù)．現(xiàn)給出以下3個結(jié)論：①；②直線恰過點；③．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等11．將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有（）A．24種 B．28種 C．32種 D．36種12．對于函數(shù)，有下列結(jié)論：①在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③的圖象關(guān)于直線對稱；④的圖象關(guān)于點對稱．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為_____．14．設(shè)復(fù)數(shù)，則的最小值為__________．15．5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為______.16．是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.19．（12分）設(shè)點F1，F(xiàn)2分別是橢園C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點，且橢圓C上的點到F2(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式；（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）【選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=22t,y=3+（Ⅰ）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l與y軸的交點為P，直線l與曲線C的交點為A,B,求|PA||PB|的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．Ⅰ證明：；Ⅱ設(shè)H為線段PD上的動點，若線段EH長的最小值為，求直線PD與平面AEF所成的角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設(shè)雙曲線的另一個焦點為，則根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【題目詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為，由.根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【題目點撥】本題考查雙曲線的對稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.2、D【解題分析】

先解出集合與，再利用集合的并集運算得出.【題目詳解】，，，故選D.【題目點撥】本題考查集合的并集運算，在計算無限數(shù)集時，可利用數(shù)軸來強(qiáng)化理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】因為每層均有2個樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有24種不同走法．故選A.4、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點撥】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、C【解題分析】

求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0，得出，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，，的交點問題，畫出圖象即可判斷.【題目詳解】令得出令函數(shù)，，，它們的圖象如下圖所示由圖可知，函數(shù)，，，有兩個不同的交點，則在內(nèi)的極值點的個數(shù)為2個故選：C【題目點撥】本題主要考查了求函數(shù)零點或方程的根的個數(shù)，屬于中檔題.6、A【解題分析】

根據(jù)甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學(xué)生，可得結(jié)果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學(xué)生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點撥】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.8、B【解題分析】

對函數(shù)在每個選項的區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行逐一驗證，可得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于B選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于C選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；對于D選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：B.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性的判斷，一般利用驗證法進(jìn)行判斷，即求出對象角的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.9、A【解題分析】

結(jié)合圖像，計算，由求出，對選項中的命題判斷正誤即可得出結(jié)果.【題目詳解】由圖像可得，從左到右各點是上升排列的，變量具有正相關(guān)性，所以，①正確；由題中數(shù)據(jù)可得:，，所以回歸直線過點，②正確；又，③錯誤.故選A【題目點撥】本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關(guān)性，熟記線性回歸分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.10、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點都在圓的圓上，其實為圓與坐標(biāo)軸交點．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，11、B【解題分析】試題分析：第一類：有一個人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個人手上，有種分法，將剩余的本小說，本詩集分給剰余個同學(xué)，有種分法，那共有種；第二類：有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先兩本詩集分到一個人手上，有種情況，將剩余的本小說分給剩余個人，只有一種分法，那共有：種，第三類：有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有種情況，再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的個人，有種分法，那共有：種，綜上所述：總共有：種分法，故選B.考點：1、分布計數(shù)乘法原理；2、分類計數(shù)加法原理.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.12、C【解題分析】

將原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來，分析其符號即可得出原函數(shù)的單調(diào)性，又，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【題目詳解】由得令得當(dāng)時，，原函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)時，，原函數(shù)為減函數(shù)，故②正確因為所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故③正確故選：C【題目點撥】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解題分析】設(shè)B層中的個體數(shù)為，則，則總體中的個體數(shù)為14、【解題分析】分析：復(fù)數(shù)分別對應(yīng)點經(jīng)過A,B的直線方程為設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為圓，其方程為，判斷選擇和圓的位置關(guān)系可得到的最小值.詳解：復(fù)數(shù)分別對應(yīng)點經(jīng)過A,B的直線方程為設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為圓，其方程為，圓心到直線的距離為即直線和圓相切，則的最小值即為線段AB的長，即答案為.點睛：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，直線和圓的位置關(guān)系，屬中檔題..15、240.【解題分析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學(xué)，相當(dāng)于在四個位置全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)果.【題目詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240【題目點撥】本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題.16、【解題分析】

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，的坐標(biāo)，利用距離公式，即可得到結(jié)論.【題目詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距離.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）點位于棱的三等分點處.【解題分析】

先由題意，得到，，，的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實數(shù)，使得，進(jìn)而得到，分別求出平面和平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，可得，，，，則，，（1）因為為的中點，所以，因此，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角，則；（2）因為點為棱上一點，所以存在實數(shù)，使得，則，即；所以，；因為平面與平面是同一平面，因此其一個法向量為；設(shè)平面的一個法向量為，則，即，則，令，則，即，因為二面角的平面角為，且，所以，解得：或，即或，因此，點位于棱的三等分點處.【題目點撥】本題主要考查求線面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.18、（1）,為奇函數(shù);（2）.【解題分析】試題分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定義判斷的奇偶性;

(2)根據(jù)分式的特點，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解值域.試題解析：（1）由，得，故，所以.因為，而，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2），，所以，即函數(shù)的值域為（）.19、（1）x28+【解題分析】

(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得a-c=2t-t=22-2，求解(2)可設(shè)N(22cosθ,2sinθ)(3)向量F1M與向量F2N平行，不妨設(shè)λF1M=F2N，設(shè)M(【題目詳解】(1)點F1、F2分別是橢圓C：x22t∵橢圓C上的點到點F2的距離的最小值為22-2解得t=2，∴橢圓的方程為x2(2)由(1)可得F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0可設(shè)N(22∴F1N∵F1N解得cosθ=0，sinθ=1，∴△F1N(3)∵向量F1M與向量F2∵|F2N|-|F設(shè)M(x1,∴λ(x1+2)=x∵x22∴[λx∴4λ(λ+1)x1=(1-3λ)(λ+1)∴y12∴|F1M|=λ+12λ，∴(λ-1)?λ+12∴x1=1λ-3=-8∴kF1M=23-0-83∴直線F2N的方程為y-0=-(x-2)，即為【題目點撥】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，向量的運算，直線斜率，屬于難題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得的最小值為，等價于，分類討論，求得a的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，不等式，等價于；當(dāng)時，不等式化為，即，解集為；當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式化為，即，解得；綜上，不等式的解集為.（Ⅱ）當(dāng)時，，等價于，若，則，∴；若，則，∴.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想.21、（1）直線l的普通方程為x-y+3=0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+(y-2)【解題分析】試題分析：本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)