2024屆甘肅省蘭州市五十五中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆甘肅省蘭州市五十五中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某車間加工零件的數(shù)量x與加工時間y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖：現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，加工100個零件所需要的加工時間約為()零件個數(shù)x(個)102030加工時間y(分鐘)213039A．112分鐘 B．102分鐘 C．94分鐘 D．84分鐘2．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．若集合,則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．4．已知函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B． C． D．5．若存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的最小值是（）.A． B．4 C． D．26．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A．3 B．5 C．7 D．97．一個口袋內(nèi)裝有大小相同的6個白球和2個黑球，從中取3個球，則共有（）種不同的取法A．C61C22 B．8．已知函數(shù)，若方程在上有3個實根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為（）A．30 B．36 C．60 D．7210．對于實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則11．已知點F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M是FN的中點，則M點的縱坐標為（）A．2 B．4 C．±2 D．±412．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為常數(shù)），對任意，均有恒成立，下列說法：①的周期為6；②若（為常數(shù)）的圖像關(guān)于直線對稱，則；③若，且，則必有；④已知定義在上的函數(shù)對任意均有成立，且當時，；又函數(shù)（為常數(shù)），若存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是，其中說法正確的是_______（填寫所有正確結(jié)論的編號）14．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，是該雙曲線上一點，且，則的面積等于__________．15．已知，則的值為_____________.16．某市有1200名中學(xué)生參加了去年春季的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試，從中隨機抽取了100人的考試成績統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此可以估計這1200名學(xué)生中考試成績超過80分的人數(shù)為___________人。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)是數(shù)列的前項的和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，數(shù)列的前項和為，求使時的最小值.18．（12分）已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在及唯一正整數(shù)，使得，求的取值范圍．19．（12分）旅游業(yè)作為一個第三產(chǎn)業(yè)，時間性和季節(jié)性非常強，每年11月份來臨，全國各地就相繼進入旅游淡季，很多旅游景區(qū)就變得門庭冷落.為改變這種局面，某旅游公司借助一自媒體平臺做宣傳推廣，銷售特惠旅游產(chǎn)品.該公司統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)產(chǎn)品的銷售數(shù)量，用表示活動推出的天數(shù)，用表示產(chǎn)品的銷售數(shù)量（單位：百件），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點圖，根據(jù)已有的函數(shù)知識，發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)型函數(shù)的周圍.為求出該回歸方程，相關(guān)人員確定的研究方案是：先用其中5個數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.試回答下列問題：（1）現(xiàn)令，若選取的是這5組數(shù)據(jù)，已知，，請求出關(guān)于的線性回歸方程（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；（2）若由回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過，則認為得到的回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的回歸方程是否可靠？參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，；；．20．（12分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當a>0時,對于任意x1,x21．（12分）已知曲線y=x3+x－2在點P0處的切線平行于直線4x－y－1=0，且點P0在第三象限,⑴求P0的坐標;⑵若直線,且l也過切點P0,求直線l的方程.22．（10分）已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實數(shù)為的最大值，若實數(shù)滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程求得，取求得值即可?！绢}目詳解】解：所以樣本的中心坐標為（20，30），代入，得，取，可得，故選：B。【題目點撥】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】設(shè)當時，，滿足題意當時，時二次函數(shù)因為所以恒大于0，即所以，解得?！绢}目點撥】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對未知數(shù)進行分類討論。4、C【解題分析】

由，可分別考慮分段函數(shù)的每一段取值為的情況，即可求解出的值；然后再分別利用每一段函數(shù)去考慮的情況.【題目詳解】函數(shù)，可知時，，所以，可得解得．不等式即不等式，可得：或，解得：或，即故選：C．【題目點撥】利用分段函數(shù)求解參數(shù)取值時，需要對分段函數(shù)的每一段都進行考慮；并且在考慮每一段分段函數(shù)的時候，注意定義域.5、B【解題分析】

分別畫出和的圖象，依題意存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點，則，即轉(zhuǎn)化為求，設(shè)函數(shù)的切點為，表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到，令，求出令即可得解；【題目詳解】解：分別畫出和的圖象，依題意存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點，，，所以，所以切線方程為，整理得，同時直線也是函數(shù)的切線，設(shè)切點為，所以切線方程為，整理得，所以，整理得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，顯然，故當時取得最小值，即實數(shù)的最小值為4，故選：B．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析恒成立問題，兩曲線的公切線問題，屬于中檔題．6、D【解題分析】

由已知的框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出變量n的值，模擬程序運行的過程，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案，本題中在計算S時，還需要結(jié)合數(shù)列中的裂項求和法解決問題，即：.【題目詳解】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)：初始值為0，不滿足，故，；第二次循環(huán)：當，不滿足，故，；第三次循環(huán)：當，不滿足，故，；第四次循環(huán)：當，不滿足，故，；此時，，滿足，退出循環(huán)，輸出，故選D.【題目點撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時模擬程序框圖的運行過程，便可得出正確的結(jié)論，這類題型往往會和其他知識綜合，解題需結(jié)合其他知識加以解決.7、D【解題分析】

直接由組合數(shù)定義得解．【題目詳解】由題可得：一個口袋內(nèi)裝有大小相同的8個球中，從中取3個球，共有N=C故選D【題目點撥】本題主要考查了組合數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【題目詳解】當時，，則不成立，即方程沒有零解.當時，，即，則設(shè)則由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值；當時，；當時，；當時，，即，則.設(shè)則由得（舍去）或，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由得，此時單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，當時，作出函數(shù)和的圖象，可知要使方程在上有三個實根，則.故選：B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．9、C【解題分析】

記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案?！绢}目詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選：C?！绢}目點撥】本題考查排列組合綜合問題，題中兩個事件出現(xiàn)了重疊，可以利用容斥原理來等價處理，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。10、D【解題分析】試題分析：對于A．若，若則故A錯；對于B．若，取則是假命題；C．若，取，則是錯誤的，D．若，則取，又，所以，又因為同號，則考點：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用11、C【解題分析】

求出拋物線的焦點坐標，推出M的坐標，然后求解，得到答案．【題目詳解】由題意，拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為的中點，如圖所示，可知的橫坐標為1，則的縱坐標為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得，根據(jù)二倍角公式求得；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，即，，，，對應(yīng)點的坐標為，位于第二象限.則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限故選：.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應(yīng)用、復(fù)數(shù)的幾何意義等知識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】

根據(jù)成立即可求得對稱軸,由對稱軸結(jié)合解析式即可求得的值,可判斷①;根據(jù)及對稱軸即可求得的值,可判斷②;根據(jù)條件可得與的關(guān)系,結(jié)合二次函數(shù)的值域即可判斷③;根據(jù)條件可知函數(shù)為偶函數(shù),根據(jù)存在性成立及恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域即可判斷④.【題目詳解】對于①,因為對任意,均有成立,則的圖像關(guān)于直線對稱,所以解得.即是軸對稱函數(shù),不是周期函數(shù),所以①錯誤;對于②,的圖像關(guān)于直線對稱,可得,解得,所以②正確;對于③,,而由可知則或.當時,代入可得,即,解不等式組可得,不等式無解,所以不成立當時,代入可得,即,解不等式組可得,即所以,所以,所以③錯誤;對于④,由可知函數(shù)為偶函數(shù),當時,;當時,.所以在上的值域為在上的值域為因為存在使得成立所以只需且即,即實數(shù)的取值范圍是,所以④正確綜上可知,說法正確的是②④故答案為:②④【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性及恒成立問題的綜合應(yīng)用,對于分類討論思想的理解,屬于難題。14、12【解題分析】

通過雙曲線的定義可先求出的長度，從而利用余弦定理求得，于是可利用面積公式求得答案.【題目詳解】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.【題目點撥】本題主要考查雙曲線定義，余弦定理，面積公式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力及轉(zhuǎn)化能力，難度中等.15、1【解題分析】

用賦值法，在所給的等式中，分別令和1，即可求出對應(yīng)的值．【題目詳解】在中，令，得，即；令，得，．故答案為：1．【題目點撥】本題考查二項式定理展開式的系數(shù)問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意賦值法的應(yīng)用．16、420【解題分析】

在頻率分布直方圖中，求出成績超過80分的小組的面積之和，求出頻率，最后估計這1200名學(xué)生中考試成績超過80分的人數(shù).【題目詳解】成績超過80分的小組分別是，面積之和為，因此這1200名學(xué)生中考試成績超過80分的人數(shù)估計為.【題目點撥】本題考查了頻率直方圖的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）3【解題分析】

（1）根據(jù)結(jié)合的遞推關(guān)系可求解.

（2）由（1）可得，則，用裂項相消可求和，從而解決問題.【題目詳解】解：（1）由兩式相減得到，，；

當，也符合，綜上，.（2）由得，，∴，∴，易證明在時單調(diào)遞增，且，故的最小值為3.【題目點撥】本題考查根據(jù)的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式和用裂項相消法求和，屬于中檔題.18、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;(2)的取值范圍是.【解題分析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）由題意得函數(shù)在上的值域為．結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當時，滿足的正整數(shù)解只有1個．通過討論的單調(diào)性可得只需滿足，由此可得所求范圍．試題解析：（1）由題意知函數(shù)的定義域為．因為，所以，令，則，所以當時，是增函數(shù)，又，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知當時，取得最小值，又，所以在上的值域為．因為存在及唯一正整數(shù)，使得，所以滿足的正整數(shù)解只有1個．因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得．所以實數(shù)的取值范圍是．點睛：本題中研究方程根的情況時，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲?、函數(shù)圖象的變化趨勢等，根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的解決有一個直觀的形象，然后在此基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)化為不等式（組）的問題，通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值（或范圍）．19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）在等式兩邊取自然對數(shù)，得，即，計算出與，將數(shù)據(jù)代入公式，計算出和，再代入回歸方程可得出答案；（2）將和的值代入指數(shù)型回歸函數(shù)，并將和代入，計算估計值與實際值之差的絕對值，看是否都小于，從而確定（1）中所得的回歸方程是否可靠?！绢}目詳解】（1）由已知，又令，故有.又，因為，，所以，，所以.（2）由（1）可知，當時，，與檢驗數(shù)據(jù)的誤差為，不超過；當時，，與檢驗數(shù)據(jù)的誤差為，不超過.故可以認為得到的回歸方程是可靠的.【題目點撥】本題考查非線性回歸分析，求非線性回歸問題，通常要結(jié)合題中的變形，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題求解，考查計算能力，屬于中等題。20、（1）當a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：（I）首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對字母a進行分類討論，根據(jù)f'(x)>0，可知f(x)函數(shù)單調(diào)遞增，f'(x)<0時f(x)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．（Ⅱ）要證當a＞0時，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(shù)(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域為R，f'當a>0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當a<0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當a>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(