2024屆福州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆福州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．當(dāng)函數(shù)y=x?2x取極小值時(shí)，A．1ln2 B．-1ln2．某校1000名學(xué)生中,型血有400人,型血有250人,型血有250人,型血有100人,為了研究血型與色弱的關(guān)系,要從中抽取一個(gè)容量為60人的樣本,按照分層抽樣的方法抽取樣本,則型血、型血、型血、型血的人要分別抽的人數(shù)為（）A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,63．學(xué)校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時(shí)間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學(xué)校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A． B．C． D．6．平面向量與的夾角為，，，則()A． B． C．0 D．27．在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．種 B．種 C．種 D．種8．給出一個(gè)命題p：若，且，則a，b，c，d中至少有一個(gè)小于零，在用反證法證明p時(shí)，應(yīng)該假設(shè)（）A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù) B．a(chǎn)，b，c，d全為正數(shù)C．a(chǎn)，b，c，d全都大于或等于0 D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)9．有一項(xiàng)活動(dòng),在4名男生和3名女生中選2人參加,必須有男生參加的選法有（）種.A．18 B．20 C．24 D．3010．已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．11．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù),若對(duì)任意,存在,，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.14．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，π6)到直線ρsinθ=2的距離等于15．高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生1500人，其中高一共有學(xué)生600人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取30人作為樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為_(kāi)______．16．如圖所示，在平面四邊形中，，，為正三角形，則面積的最大值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知定點(diǎn)及直線,動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為,若.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C方程；(2)設(shè)是上位于軸上方的兩點(diǎn),坐標(biāo)為,且,的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn),求直線的方程.18．（12分）隨著西部大開(kāi)發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來(lái)越受到廣大考生的青睞，下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線對(duì)比表：年份20142015201620172018年份代碼12345省一本線505500525500530錄取平均分533534566547580錄取平均分與省一本線分差y2834414750（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線為520分，李華2019年高考考了569分，他很喜歡這所大學(xué)，想第一志愿填報(bào)，請(qǐng)利用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給李華一個(gè)合理的建議.（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報(bào)考）參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）已知，設(shè)命題：函數(shù)在上是增函數(shù)；命題：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根.若“且”為假，“或”為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）某醫(yī)藥開(kāi)發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有瓶溶液，其中瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)菌的溶液檢驗(yàn)出來(lái)，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次；方案二：混合檢驗(yàn)，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶液全部不含有細(xì)菌；若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌，就要對(duì)這瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共為.(1)假設(shè)，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；(2)現(xiàn)對(duì)瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據(jù)：21．（12分）隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學(xué)科問(wèn)題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)講，容易產(chǎn)生依賴心理，對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況，某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過(guò)20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”，不超過(guò)20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫(xiě)，并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)？（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：22．（10分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績(jī)中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎(jiǎng)勵(lì)，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由y'=2x詳解：y'=即1+xln2=0，x=-點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題2、A【解題分析】

根據(jù)分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等可得出每種血型的人所抽的人數(shù).【題目詳解】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可知，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，故答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣，考查分層抽樣中每層樣本容量，解題時(shí)要充分利用分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

由題意可知這是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題.一類(lèi)是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類(lèi)是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類(lèi)的選派方法，最后根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，求出學(xué)校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時(shí)，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時(shí)，有種方法,故學(xué)校不同的選派方法有，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類(lèi)討論思想.4、A【解題分析】由正態(tài)分布的特征得＝，選A.5、A【解題分析】

由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【題目詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.6、D【解題分析】

先由，求出，再求出，進(jìn)而可求出【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模的運(yùn)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解題分析】分析：據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．詳解：根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972種，則共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，故選：D．點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，解題時(shí)要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情況的分類(lèi)討論．8、C【解題分析】

由“中至少一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”即可求解.【題目詳解】因?yàn)椤癮，b，c，d中至少有一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”,

所以由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得,應(yīng)假設(shè)“全都大于等于”,

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了反證法，反證法的證明步驟，屬于容易題.9、A【解題分析】

分類(lèi)：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【題目詳解】若人中有人是男生，則有種；若人都是男生，則有種；則共有種選法.【題目點(diǎn)撥】排列組合中，首先對(duì)于兩個(gè)基本原理：分類(lèi)加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列組合綜合問(wèn)題的基礎(chǔ).10、A【解題分析】

首先根據(jù)雙曲線的焦距得到，再求焦點(diǎn)到漸近線的距離即可.【題目詳解】由題知：，，.到直線的距離.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.11、C【解題分析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對(duì)于A中，因?yàn)楹瘮?shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對(duì)稱，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對(duì)于D中，時(shí)，，所以是錯(cuò)誤的，綜上可知，正確的為選項(xiàng)C，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問(wèn)題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應(yīng)用能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．12、C【解題分析】

根據(jù)得出周期，通過(guò)周期和奇函數(shù)把化在上，再通過(guò)周期和奇函數(shù)得．【題目詳解】由，所以函數(shù)的周期因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以所以．選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性質(zhì)以及周期．若為奇函數(shù)，則滿足：1、，2、定義域包含0一定有．若函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對(duì)任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉(zhuǎn)化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【題目詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對(duì)任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對(duì)稱軸為x＝．當(dāng)≤3，即b≤6時(shí)，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當(dāng)≥4，即b≥2時(shí)，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當(dāng)3＜＜4，即6＜b＜2時(shí)，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．14、1【解題分析】試題分析：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，π6）對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)（3考點(diǎn)：極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)15、12【解題分析】

由題得高一學(xué)生數(shù)為，計(jì)算即得解.【題目詳解】由題得高一學(xué)生數(shù)為.故答案為：12【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16、.【解題分析】分析：在中設(shè)運(yùn)用余弦定理，表示出，利用正弦定理可得，進(jìn)而用三角形面積公式表示出，利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解：在中，由余弦定理可知，正三角形，，由正弦定理得：，，，，為銳角，，，，當(dāng)時(shí)，，最大值為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）直接把條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)，由可得的關(guān)系，的關(guān)系，再結(jié)合在曲線上，可解得，從而能求得的方程．【題目詳解】（1）設(shè)，則由，知又，∴由題意知：∴∴∴點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)，∵∴為中點(diǎn)，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直線方程為【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，求軌跡方程用的是直接法，另外還有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等．18、（1）；（2）建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【解題分析】

（1）由表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算出和，即可得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）結(jié)合（1）計(jì)算出2019年錄取平均分，再根據(jù)該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的性質(zhì)可計(jì)算出李華被錄取的概率，由此得到結(jié)論．【題目詳解】（1）由題知：，所以得：故所求回歸方程為：；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，故該大學(xué)2019年的錄取平均分為577.1分.又因?yàn)樗岳钊A被錄取的概率：故建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程以及正態(tài)分布，屬于中檔題．19、【解題分析】

先求命題和命題為真時(shí)的范圍，若“且”為假，“或”為真，則命題與命題一真一假，分類(lèi)討論真假與真假時(shí)的范圍，再取并集即可.【題目詳解】解：命題：在R上單調(diào)遞增，，命題：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，且，，解得命題且為假，或?yàn)檎?，命題與一真一假，①真假,則②真假，則所以的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程根與判別式的關(guān)系，簡(jiǎn)單邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計(jì)算能力.20、（1）（2）（ⅰ）（ii）8【解題分析】

（1）對(duì)可能的情況分類(lèi)：<1>前兩次檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌第三次也檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌，<2>前三次都沒(méi)有檢驗(yàn)出來(lái)，最后就剩下兩瓶含有細(xì)菌；（2）(i)根據(jù)，找到與的函數(shù)關(guān)系；(ii)根據(jù)得到關(guān)于的不等式式，構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題.【題目詳解】解：（1）記所求事件為，“第三次含有細(xì)菌且前2次中有一次含有細(xì)菌”為事件，“前三次均不含有細(xì)菌”為事件，則，且互斥，所以（2），的取值為，，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減又，所以的最大值為8【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的均值以及隨機(jī)事件的概率計(jì)算，難度較難.計(jì)算兩個(gè)事件的和事件的概率，如果兩