2024屆湖南省衡陽(yáng)縣第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南省衡陽(yáng)縣第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，都為正數(shù)，那么，用反證法證明“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”時(shí)，做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是（）A．這三個(gè)數(shù)都不大于2 B．這三個(gè)數(shù)都不小于2C．這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不大于2 D．這三個(gè)數(shù)都小于22．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知高為的正三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．4．若函數(shù)對(duì)任意都有成立，則（）A．B．C．D．與的大小不確定5．函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）6．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值7．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．0 B． C．-1 D．8．若全集U={1，2，3，4}且?UA={2，3}，則集合A的真子集共有（）A．3個(gè) B．5個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)9．設(shè)向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．010．設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A． B．C． D．11．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）12．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則______.14．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為_(kāi)_____．15．為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是__________．16．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度，南方某市勞動(dòng)保障部門(mén)調(diào)查了年下半年該市名農(nóng)民工（其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名）的月工資，得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為百元（假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在（百元）內(nèi)）且月工資收入在（百元）內(nèi)的人數(shù)為，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名，非技術(shù)工有名，則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．18．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，1，1．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.（1）當(dāng)?shù)闹芷谧畲笾禃r(shí)，求函數(shù)的解析式，并求出單調(diào)的遞增區(qū)間；（2）在（1）的條件下，若，求的值.21．（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.22．（10分）已知橢圓：的離心率是，以的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的面積是.（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，若四邊形是平行四邊形，求的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”的否定是“這三個(gè)數(shù)都小于2”，所以做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是這三個(gè)數(shù)都小于2.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)三個(gè)數(shù)a,b,c至少有一個(gè)不小于m的否定是三個(gè)數(shù)都小于m.2、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用可判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式組可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)闀r(shí)，，即成立，所以當(dāng)時(shí)，恒大于零，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，又函數(shù)的圖象性質(zhì)類(lèi)似如圖，數(shù)形結(jié)合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類(lèi)不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).3、D【解題分析】

過(guò)作平面于，為中點(diǎn)，連接.證明面角的平面角為,計(jì)算得到,通過(guò)勾股定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過(guò)作平面于，為中點(diǎn)，連接.易知：為中點(diǎn)二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.4、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln3）與g（ln5）的大小關(guān)系，整理即可得到答案．【題目詳解】解：令，則，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以，即在R上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.5、B【解題分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域6、B【解題分析】

將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，計(jì)算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，如圖所示：過(guò)作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.7、B【解題分析】由題設(shè)中提供的算法流程圖可知，由于的周期是，而，所以，應(yīng)選答案B．8、A【解題分析】

由題意首先確定集合A，然后由子集個(gè)數(shù)公式求解其真子集的個(gè)數(shù)即可.【題目詳解】由題意可得：，則集合A的真子集共有個(gè).本題選擇A選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查補(bǔ)集的定義，子集個(gè)數(shù)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗(yàn)證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因?yàn)橥蚱叫?，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計(jì)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離.【題目詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點(diǎn)到圓的最大距離是這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點(diǎn)在橢圓上，即可列出橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值.11、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在原理判斷區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)情況，從而可得答案.【題目詳解】由的圖像在上是連續(xù)不間斷的.且在上單調(diào)遞增，又，,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在原理有：在在有唯一零點(diǎn)且在內(nèi).故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在原理可解決，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點(diǎn)：對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

由已知條件可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再由可求出首項(xiàng)，再令即可求出的值.【題目詳解】，且，，即，則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為，，，在中令得：故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)，以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.14、【解題分析】

先由復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求得復(fù)數(shù)模。【題目詳解】由題意可得，所以，填。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解題分析】試題分析：考查古典概型的計(jì)算公式及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.從個(gè)元素中選個(gè)的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計(jì)算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點(diǎn)：古典概型的計(jì)算公式及運(yùn)用.16、【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)、期望、方差以及方差的性質(zhì)，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算出月工資收入在（百元）內(nèi)的頻率，利用頻率總和為和頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)的方法可構(gòu)造出關(guān)于的方程組，解方程組求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)題意得到列聯(lián)表，從而計(jì)算出，從而得到結(jié)論.【題目詳解】（Ⅰ）月工資收入在（百元）內(nèi)的人數(shù)為月工資收入在（百元）內(nèi)的頻率為：；由頻率分布直方圖得：化簡(jiǎn)得：……①由中位數(shù)可得：化簡(jiǎn)得：……②由①②解得：，（Ⅱ）根據(jù)題意得到列聯(lián)表：技術(shù)工非技術(shù)工總計(jì)月工資不高于平均數(shù)月工資高于平均數(shù)總計(jì)不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖中的頻率和中位數(shù)的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基礎(chǔ)運(yùn)算能力，屬于常規(guī)題型.18、（1）3人，2人，2人；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解題分析】

(1)由甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為，利用分層抽樣的方法，即可求得從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)；(2)由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【題目詳解】(1)由題意知，某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，1，1，可得甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，所以應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機(jī)變量的所有可能取值為，則，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，準(zhǔn)確得到隨機(jī)變量的可能取值，求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解題分析】分析：（1）由求得，由時(shí)，可得的遞推式，得其為等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，數(shù)列的前項(xiàng)和可用裂項(xiàng)相消法求得．詳解：（1）∵①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，②由①-②得：∴∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列∴（2）∵∴點(diǎn)睛：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列，，的前項(xiàng)和求法分別為分組求和法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法．20、（1），；（2）【解題分析】

（1）計(jì)算周期最大值為，從而，，得到函數(shù)解析式，取，解得答案.（2）化簡(jiǎn)得到，，代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）由題意知周期最大滿(mǎn)足，故周期最大值為，從而，又函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為，所以，因?yàn)?，所以，所?當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，因此單調(diào)的遞增區(qū)間為.（2），又，所以，即，因?yàn)椋?，，，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)周期，三角函數(shù)單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解題分析】

（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問(wèn)題用捆綁法，將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列。（3）不相鄰問(wèn)題用插空法，先排好女生，然后