2024屆北京專家數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2024屆北京專家數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．2．設(shè)集合，，則A． B． C． D．3．一位母親根據(jù)兒子歲身高的數(shù)據(jù)建立了身高與年齡(歲)的回歸模型，用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下4．準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．5．設(shè)在定義在上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間單調(diào)遞減，則（）A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．在區(qū)間單調(diào)遞增6．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．37．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．8．若則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．99．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．10．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度11．已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．12．在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表為生產(chǎn)產(chǎn)品過程中產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于的線性回歸方程為，則__________．14．設(shè)函數(shù)，，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍________15．的展開式中的系數(shù)為，則__________．16．若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）人站成兩排隊(duì)列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，求有多少種不同的加入方法.18．（12分）在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn).求：(1)的值；(2)過點(diǎn)且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程．19．（12分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線C的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到曲線直線l的普通方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）記射線（）與交于點(diǎn)A，與l交于點(diǎn)B，求的值.21．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若,對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以條件為k＞5，故選B.2、C【解題分析】由，得：∴；∵，∴∴故選C3、A【解題分析】

由線性回歸方程的意義得解.【題目詳解】將代入線性回歸方程求得由線性回歸方程的意義可知是預(yù)測值，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，選A.5、D【解題分析】

根據(jù)題設(shè)條件得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，同時(shí)關(guān)于對(duì)稱的偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性和周期性，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)滿足，所以是周期為2的周期函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，所以B不正確；由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，所以A不正確；又由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在在區(qū)間單調(diào)遞增，所以C不正確，D正確，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值，選B.7、B【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于x=4對(duì)稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于x=4對(duì)稱，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．詳解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關(guān)于x=4對(duì)稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選：C．點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.8、C【解題分析】

根據(jù)題意A中必須有1，2這兩個(gè)元素，因此A的個(gè)數(shù)應(yīng)為集合4，的子集的個(gè)數(shù)．【題目詳解】解：，集合A中必須含有1，2兩個(gè)元素，因此滿足條件的集合A為，，，，，，，共8個(gè)．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了子集的概念，熟練掌握由集合間的關(guān)系得到元素關(guān)系是解題的關(guān)鍵有n個(gè)元素的集合其子集共有個(gè)9、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】因?yàn)榘训膱D象向右平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位長度故選D.11、C【解題分析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并化簡整理，結(jié)合函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)進(jìn)行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,?+∞)①當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，又函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，在處取得極值.從而或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)與相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，則，解得，則切點(diǎn)為此時(shí).由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是原函數(shù)的極值點(diǎn)．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是原函數(shù)的極值點(diǎn)．12、C【解題分析】試題分析：連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以即為異面直線與所成的角．因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，所以為在面內(nèi)的射影，所以即為與面所成的角，即，因?yàn)?，所以所以在直角三角形中，即面直線與所成的角為故選C．考點(diǎn)：直線與平面所成的角，異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，直線與平面所成的角，考查線面垂直，比較基礎(chǔ)連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，OP，先證明∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結(jié)論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：首先求得樣本中心點(diǎn)，然后利用回歸方程的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：，解得：.點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解題分析】

先分析的單調(diào)性，然后判斷的正負(fù)，再利用恒成立的條件確定的范圍.【題目詳解】，令，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則；，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則；當(dāng)，所以不成立，故；因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以，即，解得，?【題目點(diǎn)撥】恒成立問題解題思路：當(dāng)恒成立時(shí)，則；存在性問題解題思路：當(dāng)存在滿足時(shí)，則有.15、【解題分析】由條件知的展開式中的系數(shù)為：解得=故答案為．16、[1，＋∞)【解題分析】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間恒大于等于0，故三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，將7個(gè)人全排列，再將其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①前排3人有4個(gè)空，從甲乙丙3人中選1人插入；②對(duì)于后排，分2種情況討論，求出后排的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，將7個(gè)人全排列，再將其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；則有種排法，（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①前排3人有4個(gè)空，從甲乙丙3人中選1人插入，有種排法；②對(duì)于后排，若插入的2人不相鄰有種，若相鄰有種，則后排的安排方法有種；則有種排法．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用.18、（1）；（2）.【解題分析】

試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程，它們分別表示一個(gè)圓和一條直線．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長公式求得弦長|AB|的值．

（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過點(diǎn)且與曲線平行的直線的直角坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)為，即．19、（1）；（2）1【解題分析】

(1)利用二倍角公式化簡即得A的值.(2)先利用正弦定理化簡得，再利用余弦定理求a的值.【題目詳解】⑴,又因?yàn)闉殇J角三角形，，，.⑵，，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由為參數(shù)），消去參數(shù)，得曲線的普通方程，然后利用伸縮與平移變換可得的普通方程；（2）分別把代入與的極坐標(biāo)方程，求得，的值，則的值可求．【題目詳解】（1）將代入直線l的方程，得：化簡得直線l的極坐標(biāo)方程為.由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)得曲線C的普通方程為：，伸縮變換，即，代入，得，即故曲線的普通方程為：.（2）由（1）將曲線的普通方程化為極坐標(biāo)方程為，將（）代入，得，將（）代入得，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，是中檔題．21、(Ⅰ)(?∞,?5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]【解題分析】

(Ⅰ)由題知當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義能求出不等式的解集．

(Ⅱ)由,對(duì)任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題建立不等關(guān)系式，由此能求出a的取值范圍．【題目詳解】(Ⅰ)∵函數(shù)，∴當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：|x+3|+|x+1|>6可以看作數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的距離之和大于6，則點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的中點(diǎn)O的距離大于3即可，∴點(diǎn)x在?5或其左邊及1或其右邊，即x<?5或x>1.∴不等式的解集為(?∞,?5)∪（1,+∞).(Ⅱ)∵,對(duì)任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得，，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，，∴，解得，又，∴∴a的取值范圍是(0,6].【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法：(1)數(shù)形結(jié)合:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義[即(x,0)到(a,0)與(b,0)的距離之和]求解.(2)分類討論:利用“零點(diǎn)分段法”求解.(3)構(gòu)造函數(shù):利用函數(shù)的圖像求