2024屆山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且與直線相切，則動(dòng)圓必過一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．4．在黃陵中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，將高二兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小組的頻數(shù)是1．這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是（）A．80 B．90C．100 D．1205．函數(shù)向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為A． B． C． D．7．已知向量||=，且,則（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線（為參數(shù)）上，則等于（）A． B． C． D．9．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)（）A．1 B． C．i D．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．11．設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為12．、、、、、六名同學(xué)站成一排照相，其中、兩人相鄰的不同排法數(shù)是（）A．720種 B．360種 C．240種 D．120種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國(guó)研學(xué).有人詢問了四名員工，甲說：好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去”丙說：“是丁去了”丁說：“丙說的不對(duì).”若四名員工中只有一個(gè)人說的對(duì)，則出國(guó)研學(xué)的員工是___________.14．若向量，，，，且，則與的夾角等于________15．對(duì)不同的且,函數(shù)必過一個(gè)定點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.16．已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過P的直線y＝2x＋m(m≠0)與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)券張，可獲得價(jià)值元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)券張，每張可獲得價(jià)值元的獎(jiǎng)品，其余張沒有獎(jiǎng)，某顧客從此張獎(jiǎng)券中任抽張，求（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）該顧客獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值為元的概率.18．（12分）電子商務(wù)公司對(duì)某市50000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2017年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額都在5000元到10000元之間，其頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并求出消費(fèi)金額不低于8000元的購(gòu)物者共多少人；（2）若將頻率視為概率，從購(gòu)物者中隨機(jī)抽取50人，記消費(fèi)金額在7000元到9000元的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）已知雙曲線，為上的任意點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.21．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長(zhǎng)；(2)動(dòng)點(diǎn)P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．22．（10分）在的展開式中,求：(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

直線為的準(zhǔn)線，圓心在該拋物線上，且與直線相切，則圓心到準(zhǔn)線的距離即為半徑，那么根據(jù)拋物線的定義可知定點(diǎn)坐標(biāo)為拋物線焦點(diǎn).【題目詳解】由題得，圓心在上，它到直線的距離為圓的半徑，為的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知，圓心到準(zhǔn)線的距離等于其到拋物線焦點(diǎn)的距離，故動(dòng)圓C必過的定點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，即點(diǎn)，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點(diǎn)睛：考查分布列的性質(zhì)和期望、方差的計(jì)算，熟悉公式即可，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

首先可換元，，通過再利用基本不等式即可得到答案.【題目詳解】由題意，可令，，則，，于是，而，，故的最小值為，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.4、C【解題分析】

根據(jù)條件可求第二組的頻率，根據(jù)第二組的頻數(shù)即可計(jì)算兩個(gè)班的學(xué)生人數(shù).【題目詳解】第二小組的頻率是：，則兩個(gè)班人數(shù)為：人.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖中，頻率、頻數(shù)與總數(shù)的關(guān)系，難度較易.5、D【解題分析】

首先求函數(shù)，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集，建立不等關(guān)系求的取值范圍.【題目詳解】,令解得，若在上單調(diào)遞增，,解得：時(shí)，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換，屬于中檔題型.6、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為.7、C【解題分析】

由平面向量模的運(yùn)算可得：0，得，求解即可．【題目詳解】因?yàn)橄蛄縷|，所以0，又，所以2，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量模的運(yùn)算，熟記運(yùn)算性質(zhì)是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：欲求，根據(jù)拋物線的定義，即求到準(zhǔn)線的距離，從而求得即可.詳解：拋物線，準(zhǔn)線，為到準(zhǔn)線的距離，即為4，故選：D.點(diǎn)睛：拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)化．9、C【解題分析】

利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)到最簡(jiǎn)形式．【題目詳解】解：復(fù)數(shù)，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問題獲解．11、C【解題分析】

由的圖象可以得出在各區(qū)間的正負(fù)，然后可得在各區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值.【題目詳解】由圖象可知：當(dāng)和時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.所以的極小值為，極大值為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解題的突破點(diǎn)是由已知函數(shù)的圖象得出的正負(fù)性.12、C【解題分析】

先把、兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出、兩人相鄰的不同排法數(shù).【題目詳解】首先把把、兩人捆綁在一起，有種不同的排法，最后與其余四人全排列有種不同的排法，根據(jù)分步計(jì)算原理，、兩人相鄰的不同排法數(shù)是，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了全排列和分步計(jì)算原理，運(yùn)用捆綁法是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解題分析】

分別假設(shè)是甲、乙、丙、丁去時(shí)，四個(gè)人所說的話的正誤，進(jìn)而確定結(jié)果.【題目詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對(duì)，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對(duì)，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對(duì)，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對(duì)，丁說的對(duì)，符合題意.故答案為：甲.【題目點(diǎn)撥】本題考查邏輯推理的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算的：，即與的夾角等于【題目詳解】由，，所以，，，所以，即與的夾角等于，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（0，1），求出函數(shù)f（x）必過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4）．故答案為（2，4）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】即雙曲線的漸近線與直線y＝2x＋m平行，即＝2，所求的離心率e＝＝＝.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎(jiǎng)的概率，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出該顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值為元的概率.詳解：（1）由題意得該顧客沒有中獎(jiǎng)的概率為=，∴該顧客中獎(jiǎng)的概率為：P=1﹣=，∴該顧客中獎(jiǎng)的概率為．（Ⅱ）根據(jù)題意可得：P（X=100）==.點(diǎn)睛：(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.18、(1)人(2)【解題分析】

由頻率分布直方圖計(jì)算出頻率，然后用樣本估計(jì)總體計(jì)算出消費(fèi)金額在到的概率，然后計(jì)算的數(shù)學(xué)期望和方差【題目詳解】（1）消費(fèi)金額不低于8000元的頻率為，所以共人.（2）從購(gòu)物者中任意抽取1人，消費(fèi)金額在7000到9000的概率為，所以，∴∴.【題目點(diǎn)撥】本題結(jié)合頻率分布直方圖用樣本估計(jì)總體，并計(jì)算相應(yīng)值得數(shù)學(xué)期望和方差，只要運(yùn)用公式即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ)．19、(Ⅰ)；(Ⅱ)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【解題分析】分析：（1）換元法，，進(jìn)而得到表達(dá)式；（2），結(jié)合圖像得到單調(diào)區(qū)間.詳解：（Ⅰ）令，，，即函數(shù)解析式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，結(jié)合函數(shù)的圖像得到，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)的解析式的求法，求函數(shù)解析式一定注意函數(shù)的定義域；常見方法有：換元法，構(gòu)造方程組法，配方法等；考查了絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，一般先去掉絕對(duì)值，結(jié)合圖像研究函數(shù)性質(zhì).20、（1）證明見解析．（2）的最小值為【解題分析】

試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論，寫出距離的乘積，再利用點(diǎn)在雙曲線上得出定值；（2）用點(diǎn)點(diǎn)距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為和，則，得證；（2）設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有最小值.21、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點(diǎn)P到直線l距離的最大值，將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【題目詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動(dòng)點(diǎn)P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝，當(dāng)＝－1時(shí)，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，以及利用圓的參數(shù)方程求最值，屬于中檔題.22、(