2024屆河北省石家莊市新樂市第一中學(xué)等校高三上學(xué)期省級聯(lián)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆河北省石家莊市新樂市第一中學(xué)等校高三上學(xué)期省級聯(lián)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由此求得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因為，所以虛部為1.故選：D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對分式不等式、含絕對值不等式求解后結(jié)合集合運算即可得.【詳解】由，可得或，即，由，可得或，即，所以.故選：B．3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式運算即可得.【詳解】，，，，解得.故選：D．4．已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，由且與不共線求得的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷..【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當(dāng)時，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B．5．已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助的值域為可得要取遍所有的正數(shù)，對進行分類討論即可得.【詳解】若函數(shù)的值域為，則要取遍所有的正數(shù)．所以或，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A．6．已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，其中為切點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形邊與角的關(guān)系分析得到，當(dāng)最小時，最大，再根據(jù)當(dāng)時，最小即可求解.【詳解】要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離．由題意知，，，，且，所以最大時，最小．由題意知，．所以，則，即的最大值為.故選：A．7．已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知與函數(shù)單調(diào)，可得存在唯一，使，則，由求解，再由，根據(jù)指對函數(shù)的對稱性作出圖象比較大小，然后根據(jù)單調(diào)遞增，比較大小即可.【詳解】由已知，令，又因為是定義域為的單調(diào)函數(shù)．所以存在唯一，使，即，所以，解得，所以.如圖所示作出與的圖象，因為它們互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于直線對稱，由，在圖中作直線，則與的交點的橫坐標(biāo)依次為，可得，又因為是單調(diào)遞增的，所以，故選：C.8．已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，得出當(dāng)為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段上，求得，線段的取值范圍，得到答案.【詳解】在正方體中，平面平面，因為平面，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點為，如圖所示，

又因為平面，平面，即分別為，與平面所成的角，因為，則，且有，當(dāng)與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時，即為棱中點；當(dāng)點由點向點移動過程中，逐漸減小，點由點向點方向移動；當(dāng)點為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，又點與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．

因此．當(dāng)為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段（除點外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．【點睛】知識方法：對于空間共面、共線問題，以及幾何體的截面問題的策略：1、正面共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；二是證明兩個平面重合；2、證明共線的方法：一是先由兩個點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上；3、空間幾何體中截面問題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計算；二是結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及空間中的平行關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，找全空間幾何體的截面問題，并作出計算；4、空間幾何體中的動點軌跡等問題：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．展開式中項的系數(shù)為B．樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱C．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認為與獨立D．在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零【答案】ACD【分析】選項A，利用二項式定理的通項公式求解即可；選項B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可；選項C，根據(jù)獨立性檢驗的思想判斷；選項D，根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義判斷即可.【詳解】對于A，設(shè)展開式的通項為，令可得展開式中項的系數(shù)為，A正確；對于B，樣本相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負，相關(guān)性有正相關(guān)和負相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之．線性相關(guān)性越弱，B錯誤；對于C，由獨立性檢驗可知，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即認為與獨立，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差和為：，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零，D正確．故選：ACD．10．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的一個周期是4B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AC【分析】對于A：根據(jù)周期性的定義分析判斷；對于BC：根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義分析判斷；對于D：根據(jù)偶函數(shù)的定值結(jié)合周期性分析判斷.【詳解】對于A：由知，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對于BC：因為，所以，由為奇函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于點中心對稱．則，因此，即，且的定義域為，故是偶函數(shù)，不一定是奇函數(shù)，故B錯誤，C正確；對于D：因為是偶函數(shù)，即圖象的一個對稱軸是，且是周期為4的周期函數(shù)，所以的圖象對稱軸是，不一定關(guān)于點對稱，故D錯誤，故選：AC．11．如圖，在邊長為的等邊三角形中，圓與的三條邊相切，圓與圓相切且與、相切，，圓與圓相切且與、相切，設(shè)圓的半徑為，圓的外切正三角形的邊長為，則下列說法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，且C．當(dāng)圓的半徑小于時，的最小值為D．?dāng)?shù)列的前項和小于【答案】ABD【分析】利用等面積法可判斷A選項；利用三角形相似可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B選項；解不等式，可判斷C選項；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷D選項.【詳解】如圖，圓的外切正三角形的面積為，整理可得，故A正確；設(shè)圓切于點，易知，則，且，，，由可得，整理可得，由，得．所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，故B正確；由，得，即，因為，故正整數(shù)的最小值為，故C錯誤；數(shù)列的前項和為，故D正確，故選：ABD．12．已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．球在正方體外部的體積大于C．球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為D．若點在正方體外部（含正方體表面）運動，則【答案】ABD【分析】對A，可求得正方體棱切球半徑，運用表面積公式即可得；對B，由球在正方體外部的體積大于球體體積與正方體的體積之差計算即可得；對C，計算出球內(nèi)接球內(nèi)接圓柱的高及底面積即可得；對D，根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可得.【詳解】解析：對于A．如圖所示，正方體的棱切球的半徑，則球的表面積為，故A正確；對于B．若球體?正方體的體積分別為．球在正方體外部的體積，故B正確；對于C，球的半徑，設(shè)圓柱的高為，則底面圓半徑，所以，當(dāng)時取得最大值，且最大值為，所以C項錯誤；對于D，取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球上且在正方體外部（含正方體表面）運動，所以（當(dāng)為直徑時，），所以．故D正確．故選ABD．

三、填空題13．將六名志愿者分配到四個場所做志愿活動，其中場所至少分配兩名志愿者，其他三個場所各至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）【答案】660【分析】根據(jù)題意，分情況討論每個場所分配人數(shù)即可求解.【詳解】第一類：A場所2人，B，C，D其中一場所2人，共有種；第二類：A場所3人，，C，D每個場所1人，共有種；則不同的分配方案共有種．故答案為：660.14．若，則曲線在處的切線方程為．【答案】【分析】先求出后借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】因為，所以，令，得，解得，所以，則，所以曲線在處的切線方程為，即．故答案為：.15．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個最大值，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用三角恒等變換將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，平移后得到函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】因為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時，．則，解得．故答案為：.16．已知雙曲線的左?右頂點分別為是圓上一點，點關(guān)于的對稱點恰好在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】由題意，，，又在中，由余弦定理得，從而點的坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得解.【詳解】由圖可得，在圓上，所以是直角，又因為點關(guān)于的對稱點恰好在雙曲線上，所以是的垂直平分線，所以，所以，因為，所以，在中，由余弦定理得，所以點橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，將點代入雙曲線方程得，得，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率．故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)求出；（2）錯位相減法求和得到，結(jié)合，得到.【詳解】（1）由題知，當(dāng)時，，則．又．①當(dāng)時，，②①-②得，所以．當(dāng)時，也適合．綜上，數(shù)列的通項公式為．（2）因為．所以，①，②①-②得，整理得，因為．所以18．在中，角所對的邊分別是，已知，為在方向上的投影向量．(1)求；(2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助投影向量定義可得，代入等式運用正弦定理邊角互化后結(jié)合兩角和的正弦公式計算即可得；（2）借助正弦定理將求邊問題轉(zhuǎn)化為求角問題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】（1）由為在方向上的投影向量知，，所以，由正弦定理得，又，所以，又．所以；（2）由正弦定理得．所以，因為，所以，所以，所以，所以，故的周長的取值范圍是．19．如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若為上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；（2）由題意計算可得點所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計算即可得.【詳解】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中點．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．20．2023年第31屆大學(xué)生夏季運動會在成都舉行，中國運動員在賽場上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計178放獎牌的成績，位列金牌榜和獎牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項目情況統(tǒng)計如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項目相互獨立，用頻率估計概率．(1)已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請將表格內(nèi)容補充完整；（寫出計算過程）(2)記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項目的個數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當(dāng)上午的室外溫度低于20度時，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．【答案】(1)填表見解析(2)分布列見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式得到甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)，從而可補充表格內(nèi)容.（2）先用古典概型計算公式分別計算甲、乙上午、下午選擇同一種球和兩種球的概率，再確定的取值，根據(jù)每個值對應(yīng)的含義，求得每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，進而求得期望；（3）利用條件概率的計算公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)事件C為“甲上午選擇足球”，事件為“甲下午選擇足球”，設(shè)甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)為，則，解得，所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數(shù)為．體育鍛煉項目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天（2）由題意知，甲上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為；乙上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為．記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項目的個數(shù)差，則的所有可能取值為，．，，所以的分布列為所以．（3）記事件為“上午室外溫度在20度以下”，事件為“甲上午打羽毛球”，由題意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，則這一天上午室外溫度在20度以下的概率為．【點睛】本題考查概率與分布列問題，從素養(yǎng)上體現(xiàn)對學(xué)生的邏輯推理?數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查，考查學(xué)生的運算求解能力．21．已知橢圓的左?右頂點分別為為橢圓上任意一點（與不重合），直線和的斜率之積為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作斜率之和為1的兩條直線分別與橢圓交于兩點，直線是否過定點？若過定點，求出此定點；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)；(2)直線過定點.【分析】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及橢圓所過的點，建立方程并求出得解.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助斜率和為1求解，再討論直線的斜率不存在時即可得解.【詳解】（1）依題意，，設(shè)，由點在橢圓上，得，由直線和的斜率之積為，得，即，由點在橢圓上，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，點，由消去y并整理得，則，，點，由直線之和為1，得，即，于是，整理得，