《微積分》第二篇講義不定積分

《微積分》第二篇講義不定積分匯報(bào)人：AA2024-01-25不定積分基本概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)的不定積分contents目錄01不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分定義及幾何意義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對(duì)任意$xinI$成立，則稱(chēng)$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于任意常數(shù)$C$，$F(x)+C$也是$f(x)$的原函數(shù)。因此，不定積分可以表示為$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$int$表示積分號(hào)，$dx$表示微分元素。不定積分定義不定積分的幾何意義是求曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b(a<b)$及$x$軸所圍成的面積。當(dāng)$f(x)geq0$時(shí)，面積在$x$軸上方；當(dāng)$f(x)leq0$時(shí)，面積在$x$軸下方。幾何意義原函數(shù)與不定積分的聯(lián)系原函數(shù)是不定積分的核心，通過(guò)找到原函數(shù)可以方便地求解不定積分。不定積分的結(jié)果是一族函數(shù)，這些函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。原函數(shù)與不定積分的區(qū)別原函數(shù)是一個(gè)具體的函數(shù)，而不定積分是一個(gè)運(yùn)算過(guò)程，其結(jié)果是一族函數(shù)。原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，而不定積分的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上一個(gè)常數(shù)。原函數(shù)與不定積分關(guān)系區(qū)間可加性$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$a<c<b$。積分常數(shù)性質(zhì)$intkdx=kx+C$，其中$k$為常數(shù)。線性性質(zhì)$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$，其中$k_1,k_2$為常數(shù)。不定積分基本性質(zhì)基本初等函數(shù)的不定積分公式01如$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(nneq-1)$，$inte^xdx=e^x+C$，$intsinxdx=-cosx+C$等。換元積分法02通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化被積函數(shù)的形式，從而方便求解不定積分。常見(jiàn)的換元法有三角代換、根式代換等。分部積分法03將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積形式，然后利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求解。分部積分法適用于被積函數(shù)中含有不同類(lèi)型函數(shù)的情況。常見(jiàn)不定積分公式回顧02換元積分法原理通過(guò)湊微分，將復(fù)合函數(shù)的微分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的微分。示例求解∫cos(x)dx，可將其轉(zhuǎn)化為∫d(sin(x))，從而得到結(jié)果sin(x)+C。步驟觀察被積函數(shù)，尋找可以湊成微分的部分，進(jìn)行換元。第一類(lèi)換元法（湊微分法）03示例求解∫√(a^2-x^2)dx(a>0)，可令x=a*sin(t)，則dx=a*cos(t)dt，從而將原積分轉(zhuǎn)化為∫a^2*cos^2(t)dt。01原理通過(guò)變量代換，將原積分轉(zhuǎn)化為新變量的積分。02步驟選擇合適的代換變量，將原積分中的變量用新變量表示，并求出新變量的微分。第二類(lèi)換元法（變量代換法）原理利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行變量代換，簡(jiǎn)化積分計(jì)算。常見(jiàn)技巧弦化切、切化弦、降冪公式等。示例求解∫dx/(x^2*√(x^2-1))，可令x=sec(t)，則dx=sec(t)*tan(t)dt，從而將原積分轉(zhuǎn)化為∫cos(t)/sin^2(t)dt。三角函數(shù)代換技巧當(dāng)被積函數(shù)含有分式，且分子分母次數(shù)較高時(shí)，可采用倒數(shù)代換簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，求解∫dx/x(x^n+1)，可令x=1/t，則dx=-1/t^2dt。倒數(shù)代換當(dāng)被積函數(shù)含有指數(shù)函數(shù)時(shí)，可采用指數(shù)代換。例如，求解∫e^xdx/(1+e^x)，可令u=e^x，則du=e^xdx。指數(shù)代換倒數(shù)代換與指數(shù)代換應(yīng)用03分部積分法分部積分公式$intudv=uv-intvdu$適用條件當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積，且其中一個(gè)函數(shù)容易求導(dǎo)，另一個(gè)函數(shù)容易積分時(shí)，可以使用分部積分法。分部積分公式及適用條件多次使用分部積分法求解復(fù)雜問(wèn)題對(duì)于一些復(fù)雜的不定積分問(wèn)題，可能需要多次使用分部積分法才能求解。在使用分部積分法時(shí)，需要注意選擇合適的$u$和$dv$，以便簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。求解$intxe^xdx$例題1此題中被積函數(shù)是$x$和$e^x$的乘積，可以選擇$u=x$，$dv=e^xdx$進(jìn)行分部積分。分析$intxe^xdx=xe^x-inte^xdx=xe^x-e^x+C$解答典型例題解析與討論求解$intx^2sinxdx$例題2此題中被積函數(shù)是$x^2$和$sinx$的乘積，可以選擇$u=x^2$，$dv=sinxdx$進(jìn)行分部積分。分析$intx^2sinxdx=-x^2cosx+2intxcosxdx=-x^2cosx+2(xsinx-intsinxdx)=-x^2cosx+2xsinx+2cosx+C$解答典型例題解析與討論例題3求解$intlnxdx$分析此題中被積函數(shù)是$lnx$，可以選擇$u=lnx$，$dv=dx$進(jìn)行分部積分。解答$intlnxdx=xlnx-intxcdotfrac{1}{x}dx=xlnx-x+C$典型例題解析與討論04有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)定義形如$R(x)=frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$為多項(xiàng)式，且$Q(x)neq0$。分類(lèi)根據(jù)分子和分母多項(xiàng)式的次數(shù)，有理函數(shù)可分為真分式和假分式。真分式分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)。假分式分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)。有理函數(shù)概念及分類(lèi)部分分式分解法對(duì)于真分式，可以通過(guò)部分分式分解將其化為簡(jiǎn)單分式的和，然后分別進(jìn)行積分。長(zhǎng)除法對(duì)于假分式，首先使用長(zhǎng)除法將其化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式的和，然后分別對(duì)多項(xiàng)式和真分式進(jìn)行積分。直接積分法對(duì)于某些簡(jiǎn)單的有理函數(shù)，可以直接使用基本積分公式進(jìn)行求解。簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分求解方法復(fù)雜有理函數(shù)不定積分求解策略針對(duì)某些特殊形式的有理函數(shù)，可以使用一些特殊的技巧進(jìn)行求解，如倒代換、分子有理化等。特殊技巧對(duì)于分母含有不可約多項(xiàng)式的復(fù)雜有理函數(shù)，可以嘗試對(duì)分母進(jìn)行因式分解，然后使用部分分式分解法進(jìn)行求解。因式分解法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將復(fù)雜的有理函數(shù)化為簡(jiǎn)單的形式，然后進(jìn)行積分。常用的換元法有三角換元、根式換元等。換元法例1求解$intfrac{dx}{x^2+a^2}$（$a>0$）。解析此題可以通過(guò)三角換元法進(jìn)行求解。令$x=atantheta$，則$dx=asec^2thetadtheta$，代入原式可得$intfrac{asec^2thetadtheta}{a^2tan^2theta+a^2}=intfrac{dtheta}{a}=frac{theta}{a}+C=frac{arctanfrac{x}{a}}{a}+C$。例2求解$intfrac{x+1}{x^2+2x+5}dx$。典型例題解析與討論05無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)的不定積分無(wú)法表示為兩個(gè)整式之比的函數(shù)稱(chēng)為無(wú)理函數(shù)。根據(jù)無(wú)理部分的不同形式，無(wú)理函數(shù)可分為根號(hào)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型等。無(wú)理函數(shù)概念及分類(lèi)無(wú)理函數(shù)分類(lèi)無(wú)理函數(shù)定義變量代換法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二分部積分法利用分部積分公式，將無(wú)理函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分。無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)方法利用三角函數(shù)的萬(wàn)能公式，將三角函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分。萬(wàn)能公式法通過(guò)湊微分的方法，將三角函數(shù)的不定積