河北省保定市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

河北省保定市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．2．過圓的圓心且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．3．已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的實(shí)軸長為D．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為5．加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日圓方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓的離心率為B．若為正方形，則的邊長為C．橢圓的蒙日圓方程為D．長方形的面積的最大值為6．已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長為（

）A．3 B． C．9 D．68．下列命題中，是假命題的是（

）①若直線與直線平行，則的值為或0；②若為雙曲線上兩點(diǎn)，則可以是線段的中點(diǎn)；③經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示；④向量的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.A．①④ B．③④ C．①②④ D．②④二、多選題9．下列命題中是假命題的是（

）A．若為空間的一個(gè)基底，則不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底B．若非零向量與平面內(nèi)一個(gè)非零向量平行，則所在直線與平面也平行C．若平面的法向量分別為，則D．已知為直線的方向向量，為平面的法向量，則10．若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離可以為（

）A．0 B． C．3 D．511．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為12B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．若為橢圓上一點(diǎn)，且與的夾角為，則的面積為D．若為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)之間的最大距離是912．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面是線段上的一點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．B．C．若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面D．若，則直線與平面所成角的余弦值為三、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)到直線的距離為.14．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.15．如圖，已知一個(gè)二面角的平面角為，它的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，則線段的長為.16．某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點(diǎn)到村的距離比到村的距離遠(yuǎn)，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災(zāi)民，救援隊(duì)在曲線上的處收到了一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運(yùn)藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為.四、解答題17．已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)如果把倍改成倍，求點(diǎn)的軌跡.18．已知橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足，若為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.19．如圖，已知正方體的棱長為，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面和底面夾角的正弦值.20．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切.(1)求的“歐拉線”方程；(2)若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；(3)若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值.21．已知圓與直線相切，圓心在直線上，且直線被圓截得的弦長為.(1)求圓的方程；(2)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；(3)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.22．已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若與軸垂直，且是與在第一象限的交點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的面積.參考答案：1．A【分析】由直線與平面所成角的向量計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，故直線與平面所成角為.故選：.2．C【分析】求出圓的圓心，直線斜率，通過點(diǎn)斜式求直線方程【詳解】因?yàn)閳A，即，所以圓心為，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，∴所求直線的方程為，即.故選：C3．D【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.故選：D.4．A【分析】根據(jù)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可知漸近線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線方程，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】由直線過點(diǎn)，得，，所以，又直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，，可得，雙曲線方程為，當(dāng)直線與雙曲線漸近線不平行時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線，得，，即，又，則，無解，所以雙曲線方程為，A選項(xiàng)正確；離心率，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；實(shí)軸長為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.5．B【分析】根據(jù)橢圓方程可求得離心率，知A正確；根據(jù)蒙日圓方程定義可知C正確；結(jié)合長方形的對角線長和基本不等式可求得BD錯(cuò)誤.【詳解】對于A，由橢圓方程知：，，則，橢圓的離心率，A正確；對于BC，由A知：橢圓對應(yīng)的蒙日圓方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯(cuò)誤，C正確；對于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對角線長為圓的直徑，，長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即長方形的面積的最大值為，D正確.故選：B.6．D【分析】尋找的內(nèi)切圓半徑與三角形面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積的取值范圍可以得到的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，橢圓方程為，則，，，即，又，所以，由于，所以.故選：D7．A【分析】根據(jù)基底的定義結(jié)合題意直接求解即可【詳解】由題意得向量在基底下的坐標(biāo)為：，則，所以向量在下的坐標(biāo)為：，所以模長為，故A項(xiàng)正確.故選：A.8．C【分析】時(shí)，兩直線重合，①錯(cuò)誤，利用點(diǎn)差法計(jì)算直線方程，與雙曲線無交點(diǎn)，②錯(cuò)誤，考慮和兩種情況得到③正確，時(shí)不成立，④錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對①：當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，錯(cuò)誤；對②：若成立，設(shè)，，直線斜率存在設(shè)為，則，，相減得到，即，解得，直線：，，整理得到，無解，錯(cuò)誤；對③：當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為，兩種情況可以合并為：，正確；對④：當(dāng)時(shí)，，，夾角為，錯(cuò)誤；故選：C9．BCD【分析】由可判斷選項(xiàng)A；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷B，C，D.【詳解】選項(xiàng)A.設(shè),即由為空間的一個(gè)基底，即不共面，則，解得即，所以共面，即不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.若非零向量與平面平行，則所在直線可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C.顯然向量不共線，因此平面不平行，選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D.由，得直線與平面平行，也可能直線在平面內(nèi)，選項(xiàng)D不正確；故選：BCD10．ABC【分析】根據(jù)圓上動(dòng)點(diǎn)到過定點(diǎn)直線的距離最大為：圓心到定點(diǎn)的距離加上半徑；當(dāng)直線與圓相交時(shí)有最小距離，從而可判斷求解.【詳解】由題意得：圓心，半徑：，直線過定點(diǎn)：，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直直線時(shí)，到直線有最大的距離且為：，當(dāng)直線與圓相交時(shí)有最小距離，故到直線的距離范圍為：，故選項(xiàng)ABC符合題意，D項(xiàng)不符合題意.故選：ABC.11．BC【分析】根據(jù)的周長為即可判斷A；設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷B；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出即可判斷C；求出的最大值，再根據(jù)即可判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，所以，對于A，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為，故A錯(cuò)誤；對于B，可取，設(shè)，則，所以，則，所以，解得，所以橢圓上存在點(diǎn)，使得，故B正確；對于C，由題意可得，在中，由余弦定理得，即，所以，所以的面積為，故C正確；對于D，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

12．BCD【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的判斷定理即可判斷AB，由線面平行的判定定理即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可判斷D.【詳解】連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長為的菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；因?yàn)槠矫嫫矫妫瑸檎切?，為中點(diǎn)，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與平面不垂直，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，才有，故A錯(cuò)誤；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD13．【分析】先求出在上的投影向量的模長，然后利用勾股定理求解即可【詳解】在上的投影向量的模長.則點(diǎn)到直線的距離為故答案為：14．【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再表示出漸近線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可得到，即可求出離心率.【詳解】圓即，圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，所以，所以離心率.故答案為：15．【分析】過點(diǎn)作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解.【詳解】過點(diǎn)作，且，則四邊形為平行四邊形，，又，，，即為二面角的平面角，即，在中，，即，又，，平面，平面，平面,，，在中，，即，故答案為：.16．【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合雙曲線定義可知曲線的軌跡為雙曲線的右支，從而求得其軌跡方程，結(jié)合圖像得到，由此得解.【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號成立，所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.故答案為：.17．(1)(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式化簡即可；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式化簡，化簡過程中注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，化簡得，即.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，化簡得，當(dāng)時(shí)，方程為，可知點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；當(dāng)且時(shí)，方程可化為，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.18．.【分析】先求出橢圓方程，再利用點(diǎn)差法得到直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓方程為，因?yàn)椋栽跈E圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因?yàn)闉橹本€上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理得證；（2）利用向量法求點(diǎn)面距離；（3）利用向量法求兩個(gè)平面的夾角.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，故，所以，所以，又，平面，因此平面.（2）平面的法向量為，，則取，可得，又，則點(diǎn)到平面的距離為.（3）設(shè)平面和底面夾角為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，故，所以平面和底面夾角的正弦值為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，得出等腰三角形歐拉線為底邊上的垂直平分線，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）因兩圓有公共點(diǎn)，利用兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系求出的范圍（3）依題意，轉(zhuǎn)化為直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱求出對稱點(diǎn)即可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由可得：的中點(diǎn)，即，所以，故的方程為.（2）因?yàn)榕c圓相切，故，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，所以.（3）因?yàn)椋栽撌阶邮潜硎军c(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有解得，即.所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.21．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件可知圓心坐標(biāo)為，結(jié)合圓與直線相切得到半徑，再利用弦長公式求解即可；（2）由（1）可知點(diǎn)P即為原點(diǎn)，根據(jù)條件得到原點(diǎn)O到直線l的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可；（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形的面積最小進(jìn)行求解.【詳解】（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，所以.又直線被圓截得的弦長為，所以，解得即圓心坐標(biāo)為，所以圓