湖北十堰市部分普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

湖北十堰市部分普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．直線的斜率為（

）A．不存在 B． C． D．2．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．3．經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．4．設(shè)直線，的斜率和傾斜角分別為，和，，則“是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．6．已知，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，且，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C．3 D．7．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行B．三個(gè)平面兩兩相交，則交線平行C．一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，則交線平行D．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行10．已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的傾斜角等于 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．上存在與原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)11．已知直線：，：，則（

）A．恒過點(diǎn) B．若，則C．若，則 D．不經(jīng)過第三象限，則12．如圖，在棱長為4的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別在棱DA，DC上，且EFAC，若，，，則下列命題正確的是（

）A． B．時(shí)，BP與面ABC夾角為φ，則C．若，則P的軌跡為不含端點(diǎn)的直線段 D．時(shí)，平面ACD與平面BDP所夾的銳二面角為，三、填空題13．直線與直線平行，則．14．有一組數(shù)據(jù)2，2，3，3，3，5，7，8，這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是．15．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線方程是．16．如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則．四、問答題17．已知中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求角平分線所在直線的方程．18．如圖，已知正方體的棱長為4，M，N，G分別是棱，BC，的中點(diǎn)，設(shè)Q是該正方體表面上的一點(diǎn)，若．(1)求點(diǎn)Q的軌跡圍成圖形的面積；(2)求的最大值．五、計(jì)算題19．如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面夾角的正弦值．六、解答題20．已知直線：，直線：.（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，求直線的方程.七、證明題21．已知直線：．(1)求證：無論取何值，直線始終過第一象限；(2)若直線與，軸的正半軸交點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．八、解答題22．已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E為CD的中點(diǎn)，（1）證明:平面PBD平面ABCD；（2）若，PC與平面ABCD所成的角為，試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCD？”若存在，求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，得到直線表示與軸平行的直線，即可求解.【詳解】由直線，表示與軸平行的直線，所以直線的斜率為.故選：D.2．A【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,,所以，故在坐標(biāo)平面上的投影點(diǎn)為，故向量在坐標(biāo)平面上的投影向量為,故選：A3．C【解析】先由垂直關(guān)系，求出所求直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以其斜率為，又所求直線過點(diǎn)，因此，所求直線方程為，即.故選：C.4．D【解析】對(duì)直線的傾斜角分銳角和鈍角進(jìn)行討論，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】解：∵直線，的斜率和傾斜角分別為，和，，當(dāng)傾斜角均為銳角時(shí)，和均為鈍角時(shí)，若“”，則“”，若“”，則“”，當(dāng)傾斜角一個(gè)為銳角一個(gè)為鈍角時(shí)，若“”，則“與”的大小不能確定，若“”，則“與”的大小也不能確定，故則“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D．【點(diǎn)睛】直線的斜率，將斜率視為傾斜角的函數(shù)，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.5．C【分析】延長交于，得是中點(diǎn)，，然后由向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】延長交于，如圖，則是中點(diǎn)，，，故選：C．

6．B【分析】由，可得，再將，代入化簡，結(jié)合可求得答案.【詳解】因?yàn)?，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，所以，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得，故選：B7．D【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8．A【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中點(diǎn)為（1，2），AB的中垂線方程為，即x-2y+3=0．聯(lián)立解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．9．ABD【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系即可得出真命題.【詳解】由題意，A項(xiàng),垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故A錯(cuò)誤;B項(xiàng),三個(gè)平面兩兩相交，則交線平行或相交,故B錯(cuò)誤;C項(xiàng),由面面平行的性質(zhì)定理知，一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，則交線平行,故C正確;D項(xiàng),平行同一直線的平面，可以平行，也可以相交，故D錯(cuò)誤;故選:ABD.10．CD【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進(jìn)而可判斷A，B，C，對(duì)于計(jì)算出原點(diǎn)到直的距離即可判斷【詳解】解：因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，令，則，所以在軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，所以與直線垂直，所以C正確；因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以上存在與原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)，所以D正確，故選：CD【點(diǎn)睛】此題考查直線方程的求法，考查兩直線的位置關(guān)系，考查斜率與傾斜角的關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題11．AD【分析】應(yīng)用求定點(diǎn)方法判斷A選項(xiàng),根據(jù)兩直線平行求參判斷B選項(xiàng),根據(jù)兩直線垂直求參判斷C選項(xiàng),把直線不過第三象限轉(zhuǎn)化為截距關(guān)系判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?所以,可得，,恒過點(diǎn)，A選項(xiàng)正確;因?yàn)?所以，則或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?，所以則故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)椴唤?jīng)過第三象限，則直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，在軸截距大于等于0,在軸截距大于等于0,：，令,則令，則,當(dāng),：符合題意，當(dāng),：符合題意，所以不經(jīng)過第三象限，則，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.12．AD【分析】利用的范圍，根據(jù)向量數(shù)乘的意義得點(diǎn)軌跡，判斷AC，作出直線與平面所成的角，計(jì)算正弦值，作出二面角的平面角，計(jì)算正弦值，然后判斷BD．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，點(diǎn)的軌跡是內(nèi)部（不含邊界），的的最小值是點(diǎn)到平面的距離，最大值是棱長（取不到），設(shè)是的中心，則平面，從而有與平面內(nèi)所有直線垂直，，，所以的范圍是，故A正確．對(duì)于B，時(shí)，是中位線，點(diǎn)軌跡是線段（不含端點(diǎn)），作平面于，連接，則是與平面所成的角．點(diǎn)到平面的距離等于，是中位線，，由，平面，平面，得平面，所以等于到平面的距離，也等于點(diǎn)到平面的距離的一半，即，中，，，邊上的高為，所以，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)時(shí)，與重合，是兩個(gè)極限點(diǎn)（實(shí)際取不到），當(dāng)時(shí)，是中位線的中點(diǎn)．三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上取點(diǎn)，使得，連接，時(shí)，點(diǎn)軌跡是線段（不含端點(diǎn)），由A選項(xiàng)討論知平面，平面，則，作，垂足為，連接，由，則平面，又平面，所以，所以是平面與平面所的銳二面角的平面角，即．在（是中點(diǎn)）中，，，，由得，所以，，，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間動(dòng)點(diǎn)軌跡，考查向量的數(shù)乘運(yùn)算的意義，直線與平面所成的角，二面角，解題關(guān)鍵是掌握空間角的定義，由定義作出空間角的平面角，然后計(jì)算出平面角得空間角，考查學(xué)生的分析解題能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.13．【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的二次方程，解出實(shí)數(shù)的值，代入檢驗(yàn)即可得解.【詳解】由于直線與直線平行，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，兩直線的方程分別為、，此時(shí)，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為、，此時(shí)，兩直線重合.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．/【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由數(shù)據(jù)2，2，3，3，3，5，7，8，從小到大排列，共有8個(gè)數(shù)，可得，所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是.故答案為：.15．或【詳解】由題意直線斜率一定存在且不為0，設(shè)直線方程為，令，得；令，得．由條件得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，即．當(dāng)時(shí)，直線方程為，即．綜上可得所求直線方程為或．答案：或．16．【分析】以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2,用向量法求解.【詳解】如圖所示,以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體邊長為2,可得設(shè)，可得可得,可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即不妨令x=-2，則.因?yàn)槠矫妫?，解得：，?故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到邊上的高所在直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到角平分線的傾斜角為，求得，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以邊所在直線斜率，所以邊上的高所在直線的斜率，且過點(diǎn)，所以邊上的高所在直線的方程為．（2）解：由，可得，所以角平分線的傾斜角為，所以角平分線所在直線的斜率，且過點(diǎn)，所以角平分線所在直線l的方程為．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行得四點(diǎn)共面，進(jìn)而可得Q的軌跡是正六邊形OFNEMG，根據(jù)三角形的面積公式即可求解，（2）根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可結(jié)合圖形求解最值.【詳解】（1）因?yàn)椋帱c(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，連接因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，故，又由正方體可得，，，，故，，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對(duì)稱性可得六邊形為正六邊形．故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．（2）如圖，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)在上的投影最大，故，∴的最大值為12．19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）以為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，根據(jù)即可得證；（2）求出平面的法向量，根據(jù)求解即可.【詳解】（1）解：在長方體中，以為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，證明：因?yàn)?，，又由，所以，即，得證.（2）解：因?yàn)椋O(shè)為平面的法向量，則，，所以，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，又因，故，所以直線與平面夾角的正弦值為．20．（1）或；（2）.【解析】（1）分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況討論，分別求解即可.(2)若，則解得或,再驗(yàn)證從而得出答案.【詳解】（1）①若直線過原點(diǎn)，則在坐標(biāo)軸的截距都為，顯然滿足題意，此時(shí)則，解得，②若直線不過原點(diǎn)，則斜率為，解得.因此所求直線的方程為或（2）①若，則解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，滿足題意；因此所求直線：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查直線的截距概念和根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，在解決這類問題時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等（或互為相反數(shù)）時(shí)，要注意直線過原點(diǎn)時(shí)也滿足條件，這是在解題中容易漏掉的情況，在由直線平行求參數(shù)時(shí)，求出參數(shù)時(shí)要代回檢驗(yàn)，對(duì)重合的情況要舍去，這個(gè)也是容易出錯(cuò)的地方，要注意，屬于中檔題.21．(1)證明見解析(2)最小值為4；【分析】（1）由題可得，直線過定點(diǎn)且在第一象限，即證；（2）由題可，，再利用三角形面積公式及基本不等式即得.【詳解】（1）因?yàn)橹本€：，即，令，求得，，即直線過定點(diǎn)且在第一象限，所以無論取何值，直線始終經(jīng)過第一象限．（2）因?yàn)橹本€與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以，令，解得，令，得，即，，∴面積，∵，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，∴，∴面積的最小值為4此時(shí)直線的方程為，即．22．（1）見解析；（2）存在N點(diǎn)到平面ABC