2024屆天津市七校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆天津市七校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若集合中含有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．2．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．3．已知i為虛數(shù)單位，z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣24．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．5．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.8，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線方程是（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題：“若，且，則a，b全為0”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．且 B．a(chǎn)，b不全為0C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)為0 D．a(chǎn)，b中只有一個(gè)為07．在空間中，“直線平面”是“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件8．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．9．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用表示所選3人中女生的人數(shù)，則為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，若，則的虛部為（）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為()A． B．C． D．12．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》巾有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”問(wèn)此人第4天和第5天共走了A．60里 B．48里 C．36里 D．24里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，且，則__________.14．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，且的最小值為，則常數(shù)__________．15．在直角中，，，，為斜邊的中點(diǎn)，則=．16．已知，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且在和處取得極值.（I）求函數(shù)的解析式.（II）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）2018年至2020年，第六屆全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作即將開(kāi)始．在2017年9月7日召開(kāi)的攀枝花市創(chuàng)文工作推進(jìn)會(huì)上，攀枝花市委明確提出“力保新一輪提名城市資格、確保2020年創(chuàng)建成功”的目標(biāo)．為了確保創(chuàng)文工作，今年初市交警大隊(duì)在轄區(qū)開(kāi)展“機(jī)動(dòng)車(chē)不禮讓行人整治行動(dòng)”．下表是我市一主干路口監(jiān)控設(shè)備抓拍的5個(gè)月內(nèi)“駕駛員不禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份違章駕駛員人數(shù)（Ⅰ）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預(yù)測(cè)該路口7月份不“禮讓斑馬線”違章駕駛員的人數(shù)；（Ⅲ）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過(guò)該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人，調(diào)查“駕駛員不禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計(jì)駕齡不超過(guò)年駕齡年以上合計(jì)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)？19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.21．（12分）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．求證：（1）求證：平面（2）求異面直線與所成角的余弦值.22．（10分）某地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：（I）求關(guān)于的線性回歸方程；（II）利用（I）中所求的線性回歸方程，分析該地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入.參考公式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求出，解方程得直線與曲線在上從左到右的五個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，再解不等式得解.【題目詳解】.由題意，在上有四個(gè)不同的實(shí)根.令，得或，即或.直線與曲線在上從左到右的五個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.據(jù)題意是，解得.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.2、A【解題分析】

由題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得，據(jù)此確定其夾角即可.【題目詳解】∵，∴，∴，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量夾角的計(jì)算，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案.【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】回歸直線斜率的估計(jì)值為1.8，且回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，，即.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是明確回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)反證法的定義，第一步要否定結(jié)論，即反設(shè)，可知選項(xiàng).【題目詳解】根據(jù)反證法的定義，做假設(shè)要否定結(jié)論，而a，b全為0的否定是a，b不全為0，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了反證法，命題的否定，屬于中檔題.7、A【解題分析】若“直線平面”則“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”，正確；反之，若“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”則“直線平面”是錯(cuò)誤的，故直線平面”是“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”的充分非必要條件.故選A.8、C【解題分析】分析：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，求得，利用離心率的公式，即可求解雙曲線的離心率．詳解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，即，所以雙曲線的離心率為，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問(wèn)題，其中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．9、B【解題分析】

先由題意得到的可能取值為，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可求出其期望.【題目詳解】由題意，的可能取值為，由題中數(shù)據(jù)可得：，，，所以.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記期望的概念，會(huì)求每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】由題意可得：，則，據(jù)此可得，的虛部為.本題選擇A選項(xiàng).11、D【解題分析】

通過(guò)原函數(shù)的單調(diào)性可確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合圖象即可選出答案.【題目詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，符合條件的只有D選項(xiàng)，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于中檔題.12、C【解題分析】

每天行走的里程數(shù)是公比為的等比數(shù)列，且前和為，故可求出數(shù)列的通項(xiàng)后可得.【題目詳解】設(shè)每天行走的里程數(shù)為，則是公比為的等比數(shù)列，所以，故（里），所以（里），選C.【題目點(diǎn)撥】本題為數(shù)學(xué)文化題，注意根據(jù)題設(shè)把實(shí)際問(wèn)題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這類(lèi)問(wèn)題往往是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．求得的值，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案.【題目詳解】隨機(jī)變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、-2.【解題分析】分析：畫(huà)出可行域，將變形為，平移直線由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為列方程求解即可.詳解：畫(huà)出表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為可得，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、【解題分析】試題分析：由于為直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.平面向量的數(shù)量積16、-2【解題分析】

利用定積分可求=2，則二項(xiàng)式為，展開(kāi)式的通項(xiàng)：．令5-2r=-1，解得r=1．繼而求出系數(shù)即可．【題目詳解】∵=2，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展開(kāi)式中x-1的系數(shù)為.故答案為：-2．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)的應(yīng)用，根據(jù)通項(xiàng)公式展開(kāi)即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)（2）存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).【解題分析】試題分析：解：（1），因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，所以和是＝0的兩個(gè)根，則解得經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件故（2）由題意知，令得，或，隨著變化情況如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

由上表可知：極大值＝，又取足夠大的正數(shù)時(shí)，；取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，，因此，為使曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，得：，∴或，即存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，同時(shí)能利用其極值于x軸的關(guān)系的求解交點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．18、(1);(2)66;(3)有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān).【解題分析】分析：（1）由表中數(shù)據(jù)知：，代入公式即可求得，，從而求得違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（2）把代入回歸直線方程即可；（3）求得觀測(cè)值，從而即可得到答案.詳解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)知：∴，，∴所求回歸直線方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則人,（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)．點(diǎn)睛：求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤．(注意線性回歸方程中一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同．)19、(1);(2)【解題分析】

(1)由絕對(duì)值不等式的解法可得解集；(2)由題意可得的最小值,運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得的最小值,再由一元二次不等式的解法可得所求范圍.【題目詳解】(1),可得或,解得或,即解集為.(2)，使得成立,即的最小值,由,當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號(hào),可得,解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查含有絕對(duì)值的不等式的解法,考查利用絕對(duì)值不等式解決能成立問(wèn)題中的最值,難度一般.20、（1）；（2），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當(dāng)是否成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：，證明當(dāng)也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當(dāng)時(shí)，可得，可得同理當(dāng)時(shí)：，可得當(dāng)時(shí)：，可得（2）猜想.證明如下：①時(shí)，符合猜想，所以時(shí)，猜想成立.②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對(duì)恒成立.則時(shí)，，所以時(shí)，猜想成立.綜合①②可知，對(duì)恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，從而，進(jìn)而可得平面；（2）設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，利用向量的加法和數(shù)量積求出，根據(jù)向量的夾角公式可求出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，又，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面；（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，異面直線與所成角為，則，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查