江西省九江市彭澤一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

江西省九江市彭澤一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．3．若，則等于（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知全集，則A． B． C． D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．7．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為8．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內(nèi)取值的概率分別是，，，則成績X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A．997B．954C．683D．3419．對于函數(shù)，有下列結(jié)論：①在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③的圖象關(guān)于直線對稱；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④10．已知曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則等于（）A．2B．-2C．3D．-111．若在曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”.下列方程：①②；③④對應(yīng)的曲線中存在的“自公切線”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④12．某市交通部門為了提高某個(gè)十字路口通行效率，在此路口增加禁止調(diào)頭標(biāo)識（即車輛只能左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行），則該十字路口的行車路線共有（）A．24種 B．16種 C．12種 D．10種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列中，，則公比______；______．14．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是.15．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．16．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1，則函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，證明：關(guān)于的不等式在上恒成立．19．（12分）某大學(xué)學(xué)生會為了調(diào)查了解該校大學(xué)生參與校健身房運(yùn)動的情況，隨機(jī)選取了100位大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：參與不參與總計(jì)男大學(xué)生30女大學(xué)生50總計(jì)45100（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動與性別有關(guān)？請說明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo)．為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展，不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì)，九江市某校高二年級開設(shè)了《心理健康》選修課，學(xué)分為2分．學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時(shí)上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評價(jià)，獲得“合格”評價(jià)的學(xué)生給予41分的平時(shí)分，獲得“不合格”評價(jià)的學(xué)生給予31分的平時(shí)分，另外還將進(jìn)行一次測驗(yàn)．學(xué)生將以“平時(shí)分×41%+測驗(yàn)分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學(xué)分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時(shí)分及測驗(yàn)分結(jié)果如下：測驗(yàn)分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時(shí)分41分人數(shù)1113442平時(shí)分31分人數(shù)1111111（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并分析是否有94%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)？選修人數(shù)測驗(yàn)分達(dá)到51分測驗(yàn)分未達(dá)到51分合計(jì)平時(shí)分41分平時(shí)分31分合計(jì)（2）用樣本估計(jì)總體，若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82821．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為，并求使得取得最大值的序號的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2、D【解題分析】

由二項(xiàng)分布的期望公式，可計(jì)算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布的期望公式，可得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的期望公式及概率公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

中最大的數(shù)為，包含個(gè)數(shù)據(jù)，且個(gè)數(shù)據(jù)是連續(xù)的正整數(shù)，由此可得到的表示.【題目詳解】因?yàn)?，所以表示從連乘到，一共是個(gè)正整數(shù)連乘，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)的表示，難度較易.注意公式：的運(yùn)用.4、D【解題分析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，因?yàn)?，所以，所以函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，對于解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)是試題的易錯(cuò)點(diǎn)．5、C【解題分析】

根據(jù)補(bǔ)集定義直接求得結(jié)果.【題目詳解】由補(bǔ)集定義得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【題目詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7、D【解題分析】

根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【題目詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因?yàn)?，所以成績X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對應(yīng)人數(shù)為選C.點(diǎn)睛：利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè).9、C【解題分析】

將原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來，分析其符號即可得出原函數(shù)的單調(diào)性，又，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【題目詳解】由得令得當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)為減函數(shù)，故②正確因?yàn)樗院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故③正確故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.10、A【解題分析】因?yàn)?，所以，由已知得，解得，故選A.11、B【解題分析】

化簡函數(shù)的解析式,結(jié)合函數(shù)的圖象的特征,判斷此函數(shù)是否有自公切線．【題目詳解】①是一個(gè)等軸雙曲線,沒有自公切線;②,在和處的切線都是,故②有自公切線;③此函數(shù)是周期函數(shù),過圖象的最高點(diǎn)的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線;④即結(jié)合圖象可得,此曲線沒有自公切線.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力,難度一般.12、C【解題分析】

根據(jù)每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【題目詳解】每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，故該十字路口行車路線共有（種）故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了分布乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造方程求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：；【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量的求解，關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分，看作兩點(diǎn)，連線的斜率，根據(jù)上圖可求最大值為考點(diǎn)：線性規(guī)劃。15、【解題分析】

變換得到，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，畫出圖像得到答案.【題目詳解】由題可知函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，等價(jià)于有實(shí)數(shù)根，即，設(shè)，則.則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，畫出圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)，參數(shù)分離畫出圖像是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系式解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論可得不等式的解集為(2)原問題等價(jià)于，結(jié)合(1)中的結(jié)論可得時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為試題解析：（1）由題得，，則有或或解得或或，綜上所述，不等式的解集為（2）存在，使不等式成立等價(jià)于由（1）知，時(shí)，，∴時(shí)，，故，即∴實(shí)數(shù)的取值范圍為18、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，確定定義域，求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式或，中間涉及到解含參的一元二次不等式的解法，注意分類討論；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，再利用題目條件進(jìn)行放縮，得到，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，即可證出?！绢}目詳解】定義域?yàn)镽，,令，則，則結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）令，當(dāng)時(shí)，，而，故，故，令，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，即關(guān)于x的不等式在上恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，最值問題，證明恒成立問題，涉及到轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。靈活構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，合理放縮也是關(guān)鍵點(diǎn)，意在考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的能力。19、（1）見解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動與性別有關(guān)【解題分析】

（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.（2）將表格中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算即可求出k的取值，根據(jù)參考值得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）參與不參與總計(jì)男大學(xué)生302050女大學(xué)生153550總計(jì)4555100（2）因?yàn)榈挠^測值，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動與性別有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填表，然后計(jì)算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)計(jì)算，可得未獲得分?jǐn)?shù)的人數(shù)，然后可知獲得分?jǐn)?shù)的概率，依據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可得2x2列聯(lián)表選修人數(shù)測驗(yàn)分合計(jì)達(dá)到51分未達(dá)到51分平時(shí)分41分13214平時(shí)分31分234合計(jì)14421，∴有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)（2）分析學(xué)生得分，，，平時(shí)分41分的學(xué)生中測驗(yàn)分只需達(dá)到41分，而