陜西省彬州市彬中2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

陜西省彬州市彬中2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義域為正整數(shù)集的函數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．2．若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知橢圓的左右焦點分別，，焦距為4，若以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，則此橢圓的方程為（）A． B．C． D．4．已知集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．C． D．5．若關于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．6．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．7．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為，下雨的概率為，既吹東風又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風的概率為（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內應填入的條件是（）A． B． C． D．9．在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令，若隨機變量X的分布列如下：010.3則（）A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.710．已知集合，集合中至少有3個元素，則（）A． B． C． D．11．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．12．有一個奇數(shù)列，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù)；第二組含二個數(shù)；第三組含有三個數(shù)；第四組數(shù)有試觀察每組內各數(shù)之和與組的編號數(shù)有什么關系（）A．等于 B．等于 C．等于 D．等于二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為__________．14．已知棱長為的正方體，為棱中點，現(xiàn)有一只螞蟻從點出發(fā)，在正方體表面上行走一周后再回到點，這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為__________．15．已知隨機變量，則的值為__________．16．已知，則_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數(shù)b的取值范圍．18．（12分）已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若在復平面內對應的點位于第一象限，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．20．（12分）已知函數(shù)的定義域為；（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)，，滿足，求的最小值.21．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間（分鐘）與道路的擁堵情況有關.小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間，其頻數(shù)統(tǒng)計如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時間的數(shù)學期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設一周內上班在路上所用時間不超過的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.22．（10分）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：通過求出，再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案.詳解：當時，有；當時，有；當時，有；…...，.故答案為：A.點睛：本題主要考查了數(shù)列求和以及通項公式的求法，考查計算能力與分析能力，屬于中檔題.2、D【解題分析】

由，得，設，，當時，遞減；當時，遞增，，，故選D.【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的范圍.3、A【解題分析】

已知，又以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，這兩個公共點只能是橢圓短軸的頂點，從而有，于是可得，從而得橢圓方程?！绢}目詳解】∵以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，∴這兩個公共點只能是橢圓短軸的頂點，∴，又即，∴，∴橢圓方程為。故選：A?！绢}目點撥】本題考查橢圓的標準方程，解題關鍵時確定的值，本題中注意橢圓的對稱軸，從而確定關系。4、D【解題分析】

由圖象可知陰影部分對應的集合為，然后根據(jù)集合的基本運算求解即可.【題目詳解】由Venn圖可知陰影部分對應的集合為，或，，，即，故選D.【題目點撥】本題主要考查集合的計算，利用圖象確定集合關系是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.5、A【解題分析】

根據(jù)方程和函數(shù)的關系轉化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值，利用數(shù)形結合進行求解即可．【題目詳解】當x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．當x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上遞減，在上遞增，又f（1）=0，∴當x=時，函數(shù)f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，∴設的圖象如下圖所示，則由題可知當直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，故．故答案為：A【題目點撥】（1）本題主要考查函數(shù)與方程的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結合分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是分離參數(shù)得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性得到函數(shù)的圖像.6、B【解題分析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模計算即可.詳解：，則.故選：B.點睛：復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．7、C【解題分析】

在下雨條件下吹東風的概率=既吹東風又下雨的概率下雨的概率【題目詳解】在下雨條件下吹東風的概率為，選C【題目點撥】本題考查條件概率的計算，屬于簡單題．8、A【解題分析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以條件為k＞5，故選B.9、D【解題分析】

先由概率和為1，求出，然后即可算出【題目詳解】因為，所以所以故選：D【題目點撥】本題考查的是離散型隨機變量的分布列的性質及求由分布列求期望，較簡單.10、C【解題分析】試題分析：因為中到少有個元素，即集合中一定有三個元素，所以，故選C.考點：1.集合的運算；2.對數(shù)函數(shù)的性質.11、B【解題分析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．12、B【解題分析】第組有個數(shù)，第組有個數(shù)，所以前組的數(shù)字個數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，所以前組的數(shù)字個數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，那么第組的數(shù)字和是，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：通過橢圓與雙曲線的定義，用和表示出的長度，根據(jù)余弦定理建立的關系式；根據(jù)離心率的定義表示出兩個離心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。詳解：，所以解得在△中，根據(jù)余弦定理可得代入得化簡得而所以的最小值為點睛：本題考查了圓錐曲線的綜合應用。結合余弦定理、基本不等式等對橢圓、雙曲線的性質進行逐步分析，主要是對圓錐曲線的“交點”問題重點分析和攻破，屬于難題。14、【解題分析】分析：由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構成與平面平行的平面，且圍成的圖形為菱形，從而求得答案.詳解：由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構成與平面平行的平面，設、分別為、中點，連接，，和，則為螞蟻的行走軌跡.正方體的棱長為2，易得，，，四邊形為菱形，故答案為.點睛：本題考查面面平行和正方體截面問題的應用，正確理解與平面的距離保持不變的含義是解題關鍵.15、【解題分析】

根據(jù)二項分布的期望公式求解.【題目詳解】因為隨機變量服從二項分布，所以.【題目點撥】本題考查二項分布的性質.16、【解題分析】

令分別代入等式的兩邊，得到兩個方程，再求值.【題目詳解】令得：，令得：，.【題目點撥】賦值法是求解二項式定理有關問題的常用方法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4﹣12ln2（2）【解題分析】

（1）當b＝﹣12時令由得x＝2則可判斷出當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，2]時，f（x）單調遞增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2時取得；（2）要使f（x）在定義域內既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點即使在（﹣1，+∞）有兩個不等實根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根這可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得解之求b的范圍．【題目詳解】解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（1，+∞）b＝﹣12時，由，得x＝2（x＝﹣2舍去），當x∈[1，2）時f′（x）＜1，當x∈（2，2]時，f′（x）＞1，所以當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，2]時，f（x）單調遞增，所以f（x）min＝f（2）＝4﹣12ln2．（2）由題意在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，設g（x）＝2x2+2x+b，則，解之得【題目點撥】本題第一問較基礎只需判斷f（x）在定義域的單調性即可求出最小值．而第二問將f（x）在定義域內既有極大值又有極小值問題利用數(shù)形結合的思想轉化為f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點即在（﹣1，+∞）有兩個不等實根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根此時可利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解．18、（1）（2）【解題分析】

（1）先進行化簡，結合復數(shù)為實數(shù)的等價條件建立方程進行求解即可．（2）結合復數(shù)的幾何意義建立不等式關系進行求解即可．【題目詳解】解：（1）由題意，根據(jù)復數(shù)的運算，可得，由，則，解得.（2）由在復平面內對應的點位于第一象限，則且，解得，即.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的計算以及復數(shù)幾何意義的應用，結合復數(shù)的運算法則進行化簡是解決本題的關鍵，屬于基礎題．19、(1)；(2)0123【解題分析】

(1)用古典概型概率計算公式直接求解；(2)的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應取值時的概率，最后列出分布列.【題目詳解】(1)所選3人中恰有一名男生的概率；(2)的可能取值為0,1,2,3.∴ξ的分布列為:0123【題目點撥】本題考查了古典概型概率計算公式、以及離散型隨機變量分布列，考查了數(shù)學運算能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由定義域為R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得實數(shù)m的取值范圍（2）根據(jù)（1）實數(shù)t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【題目詳解】(1)函數(shù)的定義域為R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0對任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根據(jù)絕對值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故實數(shù)m的取值范圍（﹣∞，3]；（2）由（1）可知m的最大值為3，即t＝3，那么a2+b2+c2＝t2＝9，則a2+1+b2+1+c2+1＝12，由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，∴（），當a＝b＝c時取等號，故得的最小值為．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)最值的求解，轉化思想和柯西不等式的應用．屬于中檔題21、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對應的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項分布求的分布列及數(shù)學期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上