江蘇省淮安、宿遷等2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省淮安、宿遷等2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的參數(shù)方程為，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為A． B． C．8 D．42．已知復數(shù)，則復數(shù)的模為（）A．2 B． C．1 D．03．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．4．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于15．在用反證法證明“已知，且，則中至少有一個大于1”時，假設應為（）A．中至多有一個大于1 B．全都小于1C．中至少有兩個大于1 D．均不大于16．若函數(shù)在時取得極值，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象在點M(1,f(1))處的切線方程是+2,則的值等于()A．0 B．1 C． D．38．設函數(shù)，則“”是“有4個不同的實數(shù)根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種10．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（）A． B． C． D．11．設向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．012．近年來隨著我國在教育科研上的投入不斷加大，科學技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國內(nèi)企業(yè)的國際競爭力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場，在海外設了多個分支機構(gòu)，現(xiàn)需要國內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計中年員工青年員工合計由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；B．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡無關(guān)”；C．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；D．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡無關(guān)”．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在二項展開式中，常數(shù)項是_______.14．若，，且，則的最小值為__________．15．函數(shù)的定義域是_____.16．在棱長為1的正方體中，點是對角線上的動點（點與不重合），則下列結(jié)論正確的是____.①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③的面積不可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點，使得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，且，，，、分別是、的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．19．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學成績在，與，兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值大于10的槪率．20．（12分）已知函數(shù).（1）計算??的值；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，試從中歸納出函數(shù)的一般結(jié)論，并證明這個結(jié)論；（3）若實數(shù)滿足，求證：.21．（12分）前段時間，某機構(gòu)調(diào)查人們對屯商平臺“618”活動的認可度（分為：強烈和一般兩類），隨機抽取了100人統(tǒng)計得到2×2列聯(lián)表的部分數(shù)據(jù)如表：一般強烈合計男45女10合計75100（1）補全2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)；（2）判斷能否有95%的把握認為人們的認可度是否為“強烈”與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87922．（10分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據(jù)點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去，根據(jù)韋達定理求得的值，進而根據(jù)拋物線的定義可知求得答案．詳解：拋物線的參數(shù)方程為，普通方程為，拋物線焦點為，且直線斜率為1，

則直線方程為，代入拋物線方程得，設根據(jù)拋物線的定義可知|，

故選：C．點睛：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)．對學生基礎知識的綜合考查．關(guān)鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可求得|AB|值，從而解決問題．2、C【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是正確求出復數(shù)，屬于基礎題．3、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設長方體體的長，寬，高分別為，，，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當且僅當，時，等號成立，此時利用率為，故選A.考點：1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實際應用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實際應用問題中提取出相應的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識求解；二是建立目標函數(shù)的數(shù)學思想，選擇合理的變量，或利用導數(shù)或利用基本不等式，求其最值.4、B【解題分析】

用反證法證明，假設同時大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設不成立，所以不能同時大于，所以至少有一個不大于，故選【題目點撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學命題，把要證的結(jié)論進行否定，在此基礎上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時還運用了基本不等式，本題較為綜合5、D【解題分析】

直接利用反證法的定義得到答案.【題目詳解】中至少有一個大于1的反面為均不大于1，故假設應為：均不大于1.故選：.【題目點撥】本題考查了反證法，意在考查學生對于反證法的理解.6、D【解題分析】

對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在時取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，又函數(shù)在時取得極值，所以，解得.故選D【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.7、D【解題分析】

根據(jù)導數(shù)定義，求得的值；根據(jù)點在切線方程上，求得的值，進而求得的值?！绢}目詳解】點M(1,f(1))在切線上，所以根據(jù)導數(shù)幾何意義，所以所以所以選D【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義及點在曲線上的意義，屬于基礎題。8、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的奇偶性將有四個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為時，有兩個零點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果.詳解：是偶函數(shù)，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數(shù)根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)與方程思想的應用，所以中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.9、B【解題分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選B．10、C【解題分析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.【題目詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=10，則其與該校學生人數(shù)之比為10÷100=0.1．故選C．【題目點撥】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．11、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A【題目點撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎題．12、A【解題分析】

由公式計算出的值，與臨界值進行比較，即可得到答案?！绢}目詳解】由題可得：故在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”，有90%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;故答案選A【題目點撥】本題主要考查獨立性檢驗，解題的關(guān)鍵是正確計算出的值，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】

首先寫出二項展開式的通項公式，并求指定項的值，代入求常數(shù)項.【題目詳解】展開式的通項公式是，當時，.故答案為：60【題目點撥】本題考查二項展開式的指定項，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎題型.14、【解題分析】分析：由對數(shù)運算和換底公式，求得的關(guān)系為，根據(jù)基本不等式確定詳解：因為，所以，所以，即所以當且僅當，即，此時時取等號所以最小值為點睛：本題考查了對數(shù)的運算和對數(shù)換底公式的綜合應用，根據(jù)“1”的代換聯(lián)系基本不等式求最值，綜合性強，屬于中檔題．15、【解題分析】

對數(shù)函數(shù)的定義域滿足真數(shù)要大于零【題目詳解】由，解得，故定義域為.【題目點撥】本題考查了對數(shù)的定義域，只需滿足真數(shù)大于零即可，然后解不等式，較為簡單16、①②④【解題分析】

逐項分析.【題目詳解】①如圖當是中點時，可知也是中點且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；②如圖取靠近的一個三等分點記為，記，，因為，所以，所以為靠近的一個三等分點，則為中點，又為中點，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正確；③如圖作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對稱性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故錯誤；④如圖設，在平面內(nèi)的正投影為，在平面內(nèi)的正投影為，所以，，當時，解得：，故正確.故填：①②④.【題目點撥】本題考查立體幾何的綜合問題，難度較難.對于判斷是否存在滿足垂直或者平行的位置關(guān)系，可通過對特殊位置進行分析得到結(jié)論，一般優(yōu)先考慮中點、三等分點；同時計算線段上動點是否滿足一些情況時，可以設動點和線段某一端點組成的線段與整個線段長度的比值為，然后統(tǒng)一未知數(shù)去分析問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC兩兩互相垂直，故可建立空間直角坐標系如下圖．根據(jù)線段長度可求出相應點的坐標，從而可推出，則，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，利用法向量夾角與二面角平面角的關(guān)系求出平面角的大?。绢}目詳解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上圖所示的坐標系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又設平面BDE的法向量為，則,即所以又因平面SBD的法向量為所以由圖可得二面角為銳角，所以二面角的平面角的大小為．考點：?平面與平面的垂直的證明?二面角大小的求法．18、（1）；（2）見解析【解題分析】

(1)根據(jù)前n項和與通項間的關(guān)系得到，，，兩式做差即可得到數(shù)列，數(shù)列為常數(shù)列，，即；（2）根據(jù)第一問得到，裂項求和即可.【題目詳解】（1）當時，，即，當時，①，②，得，即，所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【題目點撥】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等．19、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學成績不低于分的概率，由此能求出數(shù)學成績不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學成績在的學生為分，數(shù)學成績在的學生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學生的數(shù)學成績之差的絕對值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數(shù)學成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學成績在[40，50）的學生為40×0.05=2（人），數(shù)學成績在[90，100]的學生人數(shù)為40×0.1=4（人），設數(shù)學成績在[40，50）的學生為A，B，數(shù)學成績在[90，100]的學生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值大于10的槪率為．考點：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．20、（1），，.（2）一般結(jié)論為：對任意實數(shù)都有，證明見解析（3）證明見解析【解題分析】

代入計算可得所求和為定值；

可得，代入