2024屆北京市第四十四中學數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆北京市第四十四中學數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．2．若是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．33．若關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．24．已知函數(shù)則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點的實數(shù)m的取值范圍是()A．[0，1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)5．設(shè)，，則（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，當時，，則的值為A． B． C．0 D．17．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)的圖像如下圖所示，則函數(shù)的圖像有可能是（）A． B． C． D．10．5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．11．若函數(shù)，對任意實數(shù)都有，則實數(shù)的值為（）A．和 B．和 C． D．12．已知函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則________14．已知直線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，若它們總有公共點，則取值范圍是___________．15．已知直線上總存在點，使得過點作的圓：的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是______．16．的展開式中常數(shù)項是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點，求的長.19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，點在平而內(nèi)的射影為(1)證明：四邊形為矩形；(2)分別為與的中點，點在線段上，已知平面，求的值.(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以軸正半軸為極軸，以坐標原點為極點建立極坐標系，點的極坐標為，過點的直線與曲線相交于，兩點.（1）若直線的斜率，求直線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.21．（12分）橢圓過點，離心率為，左右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的方程；（2）當?shù)拿娣e為時，求直線的方程．22．（10分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）當m=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整數(shù)m的最小值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算，化簡復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)概念得結(jié)果【題目詳解】，故的共軛復數(shù).故選B.【題目點撥】本題考查復數(shù)除法運算以及共軛復數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

先利用復數(shù)的模長公式得到，再根據(jù)復數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復數(shù)相等的定義，故選：B【題目點撥】本題考查了復數(shù)的模長和復數(shù)相等的概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

根據(jù)一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系，列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意不等式的解集是，所以方程的解是，則，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】試題分析：函數(shù)的零點就是方程的根，作出的圖象，觀察它與直線的交點，得知當時，或時有交點，即函數(shù)有零點.考點：函數(shù)的零點．點評：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點，做題時注意三者之間的等價轉(zhuǎn)化．5、A【解題分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知;通過比較與1的大小關(guān)系,即可判斷,從而可選出正確答案.【題目詳解】解:,,則,故選:A.【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)的運算，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.在比較對數(shù)的大小時,常常結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對于,若,則(1)當時,;(2)當時,;(3)當時,;若,則(1)當時,;(2)當時,;(3)當時,.6、C【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且是上的奇函數(shù)，可求出函數(shù)的最小正周期，再由時，，即可求出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，則有，變形可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，故.故選C【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，周期性、奇偶性、對稱性等，熟記相關(guān)性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】

試題分析：令，則，當時，，由的導數(shù)為，當時，在遞增，即有，則方程無解；當時，成立，由，即，解得且；或解得，即為，綜上所述實數(shù)的取值范圍是，故選C.考點：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等知識點的綜合考查，注重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及學生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.8、A【解題分析】

對函數(shù)求導，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【題目詳解】，，令，由于，得.當時，；當時，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導，利用導數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．9、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖象的增減性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系求解。【題目詳解】由的圖象可知：在，單調(diào)遞減，所以當時，在，單調(diào)遞增，所以當時，故選A.【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的增減性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是答案為D【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.11、A【解題分析】由得函數(shù)一條對稱軸為,因此,由得,選A.點睛：求函數(shù)解析式方法：(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.（4）由求對稱軸12、D【解題分析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)曲線交點的個數(shù)問題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.詳解：當時，，，在同一坐標系內(nèi)畫出的圖像，動直線過定點，當再過時，斜率，由圖象可知當時，兩圖象有兩個不同的交點，從而有兩個不同的零點，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要先確定函數(shù)的解析式，之后在同一個坐標系內(nèi)畫出相應(yīng)的曲線，將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點個數(shù)來解決，非常直觀，在做題的時候，需要把握動直線中的定因素.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問題.【題目詳解】令，則有，且定義域為，關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，則，即，所以.【題目點撥】本題考查類奇偶函數(shù)的運用，難度較易.關(guān)鍵是先構(gòu)造出奇偶函數(shù)，然后利用新函數(shù)的值去分析結(jié)果.14、【解題分析】

把參數(shù)方程化為普通方程，若直線與橢圓有公共點，對判別式進行計算即可.【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t化為普通方程為ax﹣y﹣1＝0，且,橢圓C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為．聯(lián)立直線與橢圓，消y整理得，若它們總有公共點，則，解得且,故答案為．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的互化，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即可求出實數(shù)m的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)切點分別為A，B．連接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故，若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案為：﹣2≤m≤10.點睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出.16、60.【解題分析】分析：根據(jù)二項式的展開式得到第r項為項為，常數(shù)項即r=2時，即可.詳解：的展開式中的項為，則常數(shù)項即常數(shù)項為第三項，60.故答案為：60.點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）中點為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）設(shè)中點為，連接和，如圖所示，在中，，為中點，所以，又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，為中點，所以，又，所以平面，又因為平面，所以.（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以；因為二面角是銳角，所以，即二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定、由線面垂直求線線垂直和利用空間向量求二面角，考查學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）通過正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的長.【題目詳解】（1）因為所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，，，得：所以在中，，所以【題目點撥】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的實際應(yīng)用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力，難度不大.19、（1）詳見解析（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)投影分析線段長度關(guān)系，由此得到長度關(guān)系，由此去證明四邊形為矩形；（2）通過取中點，作出輔助線，利用線面平行確定點位置，從而完成的計算；（3）建立合適空間直角坐標系，利用向量法求解銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：平面，在平面，在與中，又，，四邊形為矩形；（2）取的中點，連結(jié)交于，分別為的中點，，，又為的中點，，四邊形為平行四邊形，即，平面，；（3）如圖，以為坐標原點，過分別與平行的直線為軸，軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，，平面的法向量，，設(shè)為平面的法向量得，平面與平面所成銳二面角的余弦值為【題目點撥】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，難度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值時，要注意一個問題：有時候求解出的余弦值是負值，但實際結(jié)果卻是正值，這里其實我們需要回原圖中去觀察一下兩個面所成的二面角是銳角還是鈍角，然后給出判斷即可.20、（1）,；（2）7.【解題分析】

（1）先求出直線的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)換為直線的極坐標方程即可（2）利用直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義求解【題目詳解】（1）將點的極坐標化為直角坐標為，因為直線的斜率，所以直線的直角坐標方程為，由可知直線的極坐標方程為.因為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），代入，整理得，設(shè)點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，.【題目點撥】本題考查坐標系中點的極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換、直線直角坐標方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求值21、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）由已知條件推導出，由此能求出橢圓C的方程．

（2）由（1）知F1（-1，0），①當l的傾斜角是時，,不合題意；當l的傾斜角不是時，設(shè)l的方程為，由消去y得：，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韋達定理能求出直線l的方程．【題目詳解】（1）橢圓過點離心率為又,解得橢圓C的方程.（2）由（1）知，