專(zhuān)題 勾股定理與特殊角

1、專(zhuān)題 勾股定理與特殊角方法歸納：解決非直角三角形的求值問(wèn)題時(shí)，一般要做垂線構(gòu)造含特殊角的直角三角形來(lái)處理。一、直接運(yùn)用300或450的直角三角形1、 如圖，ABC中，C=90°，B=30°，AD是ABC的角平分線，若AC=，求AD的長(zhǎng).2、 如圖，ABC中，ACB=90°,CDAB于D，A=30°，CD=2，求AB的長(zhǎng).3、 如圖，ABC中，ADBC于D，B=60°，C=45°，AC=2，求BD的長(zhǎng)二、作垂線構(gòu)造300或450的直角三角形（一）將1050轉(zhuǎn)化為450和600 4、 如圖，在ABC中，B=45°，A=105&#

2、176;，AC=2，求BC的長(zhǎng).（二）將750轉(zhuǎn)化為450和300 5、 如圖，在ABC中，ACB=75°，B=60°，BC=，求SABC6、 如圖，在ABC中，B=45°，BAC=75°，AB=，求BC的長(zhǎng).專(zhuān)題 運(yùn)用勾股定理列方程方法歸納：運(yùn)用勾股定理列方程是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)一、直接用勾股定理列方程1、 如圖，在ABC中，C=90°，AD平分CAB交CB于D，CD=3，BD=5，求AD的長(zhǎng).2、 如圖，在ABC中，ADBC于D，且CAD=2BAD,若BD=3，CD=8，求AB的長(zhǎng).二、巧用“連環(huán)勾”列方程3、 如圖，在ABC中，AB=5，

3、BC=7，AC=，求SABC.4、 如圖，ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AC=3，BC=4，求AD的長(zhǎng).5、 如圖，ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AD=1，BD=4，求AC的長(zhǎng)6、 如圖，ABC中，ACB=90°，CDAB于D，CD=3，BD=4，求AD的長(zhǎng)專(zhuān)題 勾股定理與折疊問(wèn)題方法歸納：摳住折疊前后的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中用勾股定理來(lái)解決。一、折疊三角形1、 如圖，在ABC中，A=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊ABC，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A處，AB=4，AC=3，求BD的長(zhǎng). 二、折疊長(zhǎng)方形2、

4、 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)3、 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C'重合.（1）求DE的長(zhǎng)（2）求折痕EF的長(zhǎng). 4、 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折疊使A到A處DA交BC于F點(diǎn).（1）求證：FB=FD（2）求證：CABD（3）求DBF的面積三、折疊正方形5、 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG、CF.（1）求證：AGCF（2）求的

5、值.專(zhuān)題 勾股定理與分類(lèi)討論方法歸納：在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形面積、高等問(wèn)題時(shí)往往需要分類(lèi)討論一、銳角和鈍角不明時(shí)需分類(lèi)討論1、 在ABC中，AB=AC=5，SABC.=7.5，求BC的長(zhǎng)2、 在ABC中，AB=15，AC=13，AD為ABC的高，且AD=12，求BC二、腰和底不明時(shí)需分類(lèi)討論3、 如圖1，ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為射線AC上一點(diǎn)，且ABD是等腰三角形，求ABD的周長(zhǎng).三、直角邊和斜邊不明時(shí)需分類(lèi)討論4、 已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)5、 在ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB為邊向

6、外作等腰直角三角形ABD，求CD的長(zhǎng)專(zhuān)題 利用勾股定理逆定理證垂直方法歸納：證垂直的方法較多，用勾股定理的逆定理證垂直可實(shí)現(xiàn)由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化1、 如圖，在ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，其求CD的長(zhǎng).2、 如圖，在四邊形ABCD中，B=90°，AB=2，BC=，CD=5，AD=4，求3、 如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的長(zhǎng).4、 已知ABC中，CA=CB, ACB=，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CD，連AD  （1）如圖1，當(dāng)=60°，PA= 10

7、，PB=6，PC=8時(shí)，求BPC的度數(shù)（2）如圖2，當(dāng)=90°，PA=3，PB=1，PC=2時(shí)，求BPC的度數(shù)專(zhuān)題 問(wèn)題的證明方法歸納：將a，b轉(zhuǎn)化成某等腰三角形的斜邊與直角邊是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。一、直接以a，b為邊構(gòu)造等腰直角三角形1、 如圖，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90°，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，連MN、ON.求證：MN=ON.2、 已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，AE=CF，連DE、EF.  （1）如圖1，若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE（2）如圖2，若E、F分別在BA、AC的延

8、長(zhǎng)線上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由二、利用等線段代換構(gòu)造等腰直角三角形3、 如圖，ABD中，O為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ACO=135°，ODB=45°探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系4、 如圖，ABD是等腰直角，BAD=90°，BCAD，BC=2AB，CE平分BCD，交AB于E，交BD于H求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH專(zhuān)題 問(wèn)題的證明方法歸納：將轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化到300或450的等腰直角三角形中去解決此類(lèi)問(wèn)題。1、 如圖1，ABC中，CA=CB，ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，M、N分別為AC、BC上一點(diǎn)，且D

9、MDN.   （1）求證：CM+CN=BD（2）如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長(zhǎng)線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式2、 已知BCD=，BAD=，CB=CD. （1）如圖1，若=90°，求證：AB+AD=AC      （2）如圖2，若=90°，求證：AB-AD=AC（3）如圖3，若=120°，=60°，求證：AB=AD=AC（4）如圖3，若=120°，求證：AB-AD=AC專(zhuān)題 勾股定理綜合（一）純幾何問(wèn)題方法歸納：將研究的線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中去

10、，是解決與勾股定理有關(guān)的綜合題的關(guān)鍵。1、 已知，在RtABC中，C=90°，D是AB的中點(diǎn)，EDF= 90°，DE交射線AC于E，DF交射線CB于F    （1）如圖1，當(dāng)AC=BC時(shí)，EF2、AE2、BF2之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（2）如圖2，當(dāng)ACBC時(shí)，試確定EF2、AE2、BF2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)ACBC時(shí)，(2)中結(jié)論是否仍成立？2、 已知OMN為等腰直角，MON=90°，點(diǎn)B為NM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OCOB，且OC=OB.    （1）如圖1，連CN，求證：CN=BM;（2）如圖2，作BOC的平分線交MN于A，求證：AN2+BM2=AB2（3）如圖3，在(2)的條件下，過(guò)A作AEON于E，過(guò)B作BFOM于F，EA、BF的延長(zhǎng)線交于P，請(qǐng)?zhí)骄緼E2、BF2、AP2之間的數(shù)量關(guān)系式專(zhuān)題 勾股定理綜合（二）與代數(shù)有關(guān)結(jié)合方法歸納：在坐標(biāo)系中研究勾股定理的應(yīng)用，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。1、 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-3），OAB=90°，OA=OB.（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐