2024屆湖南長沙市第一中學數(shù)學高二第二學期期末調研模擬試題含解析

2024屆湖南長沙市第一中學數(shù)學高二第二學期期末調研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．2．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種3．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為A．100 B．200 C．300 D．4004．某校1000名學生的某次數(shù)學考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內取值的概率分別是，，，則成績X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A．997B．954C．683D．3415．已知,為的導函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．6．展開式中的常數(shù)項為A．B．C．D．7．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總人數(shù)的，則此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為（）A．150 B．200 C．300 D．4008．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設事件為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結論正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．任何兩個事件均互斥 D．任何兩個事件均不互斥9．設是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．10．已知，若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為（）A． B． C． D．11．在0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．36012．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表的第1行第4列數(shù)由左到右由上到下開始讀取，則選出來的第5個個體的編號為____．第1行78166571023060140102406090280198第2行3204923449358200362348696938748114．下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角：按照圖中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為______（用含的多項式表示）．15．已知方程x2-2x+p=0的兩個虛根為α、β，且α-β=4，則實數(shù)16．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中能被5整除的數(shù)共有______個．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線，直線（t為參數(shù)）.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過曲線C上任意一點作與直線夾角為30°的直線，交于點A，求的最大值與最小值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線相切．（1）求與；（2）設該橢圓的左、右焦點分別為和，直線過且與軸垂直，動直線與軸垂直，交與點．求線段垂直平分線與的交點的軌跡方程，并指明曲線類型．19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求的最小值；（2）當時，若存在，使得對任意的恒成立，求的取值范圍．20．（12分）已知的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點，求的長.21．（12分）一個多面體的三視圖如圖：主視圖和左視圖均為一個正方形上加一個等腰直角三角形，正方形的邊長為，俯視圖中正方形的邊長也為.主視圖和左視圖俯視圖（1）畫出實物的大致直觀圖形；（2）求此物體的表面積；（3）若，一個螞蟻從該物體的最上面的頂點開始爬，要爬到此物體下底面四個項點中的任意一個頂點，最短距離是多少?（精確到個單位）22．（10分）為了促進學生的全面發(fā)展，某市教育局要求本市所有學校重視社團文化建設，2014年該市某中學的某新生想通過考核選撥進入該校的“電影社”和“心理社”，已知該同學通過考核選撥進入這兩個社團成功與否相互獨立根據(jù)報名情況和他本人的才藝能力，兩個社團都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，并且進入“電影社”的概率小于進入“心理社”的概率（Ⅰ）求該同學分別通過選撥進入“電影社”的概率和進入心理社的概率；（Ⅱ）學校根據(jù)這兩個社團的活動安排情況，對進入“電影社”的同學增加1個校本選修課學分，對進入“心理社”的同學增加0.5個校本選修課學分．求該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于1分的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將橢圓方程化成標準式，根據(jù)橢圓的方程可求，進而可得長軸.【題目詳解】解：因為，所以，即，，所以，故長軸長為故選：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎題．2、C【解題分析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.3、B【解題分析】

試題分析：設沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則，，所以考點：二項分布【方法點睛】一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X～B（n，p）），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.4、C【解題分析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因為，所以成績X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對應人數(shù)為選C.點睛：利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個.5、A【解題分析】

先求得函數(shù)的導函數(shù)，再對導函數(shù)求導，然后利用特殊點對選項進行排除，由此得出正確選項.【題目詳解】依題意，令，則.由于，故排除C選項.由于，故在處導數(shù)大于零，故排除B,D選項.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題.6、B【解題分析】解：因為則可知展開式中常數(shù)項為,選B7、C【解題分析】

求出，即可求出此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)．【題目詳解】∵，，所以，所以此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為．故選C．【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想．屬于基礎題．8、B【解題分析】

根據(jù)互斥事件的定義，逐個判斷，即可得出正確選項．【題目詳解】為三件產(chǎn)品全不是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件產(chǎn)品全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件由此知：與是互斥事件；與是包含關系，不是互斥事件；與是互斥事件，故選B．【題目點撥】本題主要考查互斥事件定義的應用．9、C【解題分析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．10、B【解題分析】

通過各項系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，注意各項系數(shù)之和和二項式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學生的計算能力，難度不大.11、C【解題分析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0，可分類討論末位數(shù)字，即可得總個數(shù).【題目詳解】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當末位數(shù)字為0時，其余五個數(shù)為任意全排列，即有種；當末位數(shù)字為2或4時，最高位從剩余四個非零數(shù)字安排，其余四個數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個.故選：C.【題目點撥】本題考查了排列組合的簡單應用，分類分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.12、C【解題分析】因為，所以，即，應選答案C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、02；【解題分析】

第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02.【題目詳解】第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02，所以第5個個體的編號為02.【題目點撥】隨機數(shù)表中如果個體編號是2位數(shù)，則從規(guī)定的地方數(shù)起，是每次數(shù)兩位數(shù)，如果碰到超出編號范圍，則不選；如果碰到選過的，也不選.14、【解題分析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出?！绢}目詳解】按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個數(shù)為。【題目點撥】本題考查了歸納推理的問題，關鍵找到規(guī)律，屬于基礎題。15、5【解題分析】

根據(jù)題意得出Δ<0，然后求出方程x2-2x+p=0的兩個虛根，再利用復數(shù)的求模公式結合等式α-β=4可求出實數(shù)【題目詳解】由題意可知，Δ=4-4p<0，得p>1.解方程x2-2x+p=0，即x-12=1-p，解得所以，α-β=2p-1故答案為5.【題目點撥】本題考查實系數(shù)方程虛根的求解，同時也考查了復數(shù)模長公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.16、216【解題分析】

分個位是0或者5兩種情況利用排列知識討論得解.【題目詳解】當個位是0時，前面四位有種排法，此時共有120個五位數(shù)滿足題意；當個位是5時，首位不能是0，所以首位有4種排法，中間三位有種排法，所以此時共有個五位數(shù)滿足題意.所以滿足題意的五位數(shù)共有個.故答案為：216【題目點撥】本題主要考查排列組合的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（為參數(shù)），；（2）最小值為，最大值為.【解題分析】

（1）令，進而可求出曲線的參數(shù)方程；消去參數(shù)，整理即可.（2）根據(jù)題意可知是點P到直線的距離的兩倍，利用點到直線的距離公式以及輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質即可求解.【題目詳解】（1）曲線（為參數(shù)），直線.（2）易知是點P到直線的距離的兩倍，所以：，最小值為，最大值為.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的相互轉化、點到直線的距離公式、輔助角公式以三角函數(shù)的最值，屬于基礎題.18、（1），．（2），該曲線為拋物線（除掉原點）．【解題分析】

（1）由題可知，直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，結合離心率，即可求出與.（2）求出焦點坐標，設點坐標，從而得出的坐標，同時設，利用垂直關系可得出關于的式子即為的軌跡方程.【題目詳解】解：（1），，．（2），兩點分別為，，由題意可設那么線段中點為，設是所求軌跡上的任意點由于，即，所以．又因為，消參得軌跡方程為.該曲線為拋物線（除掉原點）．【題目點撥】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，包括離心率、短半軸長、焦點坐標，還涉及中點坐標公式，以及兩直線垂直時斜率相乘為-1，還利用消參法求動點的軌跡方程.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）求出f（x）的定義域，求導數(shù)f′（x），得其極值點，按照極值點a在[1，e2]的左側、內部、右側三種情況進行討論，可得其最小值；（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x）min，由（1）知f（x）在[e，e2]上遞增，可得f（x）min，利用導數(shù)可判斷g（x）在[﹣2，0]上的單調性，可得g（x）min，由f（x）min＜g（x）min，可求得a的范圍；【題目詳解】（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）（a∈R），當a≤1時，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；當1＜a＜e2時，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）為減函數(shù)，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；當a≥e2時，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）為減函數(shù)，所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）；綜上，當a≤1時，f（x）min＝1﹣a；當1＜a＜e2時，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；當a≥e2時，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x）min，當a＜1時，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）為增函數(shù)，∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）g′（x）＝x+ex﹣xex﹣ex＝x（1﹣ex），當x∈[﹣2，0]時g′（x）≤0，g（x）為減函數(shù)，g（x）min＝g（0）＝1，∴e﹣（a+1）1，a，∴a∈（，1）．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分類討論思想，考查了分析解決問題的能力，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最值是常用方法，屬于較難題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）通過正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的長.【題目詳解】（1）因為所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，，，得：所以在中，，所以【題目點