廣東省廣雅中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東省廣雅中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在處的切線的傾斜角是（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A．1 B．2 C．3 D．43．函數(shù)在處切線斜率為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為6．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．學校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓，每人只參加其中1期培訓，每期至多派2人，由于時間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓，則學校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種8．甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．60 C．72 D．1209．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，則（）A．45 B．75 C．180 D．36011．已知數(shù)據(jù)，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)相對于原數(shù)據(jù)()A．一樣穩(wěn)定 B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定 D．穩(wěn)定性不可以判斷12．設函數(shù)在處存在導數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定為____________________．14．如圖，在底面半徑和高均為的圓錐中，是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到其準線的距離為______________．15．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.16．已知隨機變量，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求證：面；（2）在線段上求一點，使銳二面角的余弦值為.18．（12分）設（I）若的極小值為1，求實數(shù)的值；（II）當時，記，是否存在整數(shù)，使得關于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結論；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.21．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB22．（10分）已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，且復數(shù)為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）在復平面內(nèi)，若復數(shù)對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得斜率，最后得傾斜角.詳解：因為，所以所以曲線在處的切線的斜率為因此傾斜角是，選B.點睛：利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉(zhuǎn)化.2、B【解題分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋3、C【解題分析】分析：首先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后結合導函數(shù)研究函數(shù)的切線即可.詳解：由函數(shù)的解析式可得：，則，即函數(shù)在處切線斜率為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)切線之間的關系，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、D【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，則，在區(qū)間上是增函數(shù)，再根據(jù)定義域則在區(qū)間上恒成立求解.【題目詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立.所以且，解得.故選：D【題目點撥】本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，還考查了理解辨析和運算求解的能力，屬于中檔題.5、A【解題分析】由題意得由題意得所以，因此當時，的最小值為，選A.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.6、A【解題分析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.7、B【解題分析】

由題意可知這是一個分類計數(shù)問題.一類是：第一期培訓派1人；另一類是第一期培訓派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計數(shù)原理，求出學校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓派1人時，有種方法,第一期培訓派2人時，有種方法,故學校不同的選派方法有，故選B.【題目點撥】本題考查了分類計數(shù)原理，讀懂題意是解題的關鍵，考查了分類討論思想.8、C【解題分析】

因為甲和乙不能相鄰，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.【題目詳解】甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在這3人之間的4個空里，所以不同的排法種數(shù)為，故選C項.【題目點撥】本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.9、D【解題分析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10、C【解題分析】

由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結果.【題目詳解】由，得到，則．故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于基礎題.解與等差數(shù)列有關的問題時，要注意應用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.11、C【解題分析】

根據(jù)均值定義列式計算可得的和，從而得它們的均值，再由方差公式可得，從而得方差．然后判斷．【題目詳解】由題可得：平均值為2，由，，所以變得不穩(wěn)定.故選：C.【題目點撥】本題考查均值與方差的計算公式，考查方差的含義．屬于基礎題．12、A【解題分析】

通過變形，結合導數(shù)的定義可以直接得出答案.【題目詳解】.選A.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的定義，適當?shù)淖冃问墙忸}的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】特稱命題的否定為全稱，所以“”的否定為“”.點睛：命題的否定和否命題要做好區(qū)別：（1）否命題是指將命題的條件和結論都否定，而且與原命題的真假無關；（2）否命題是只否結論，特別的全稱命題的否定為特稱，特稱命題的否定為全稱.14、【解題分析】

結合拋物線的解析式分析可知，若要求解解析式，則至少需要求出一個拋物線上的點，因拋物線所在平面為平面，故可考慮先求出長度，作，先求出，再以平面建立直角坐標系，求出點，代入拋物線解析式即可求解【題目詳解】如圖，作交于點，由是母線的中點，底面半徑和高均為可得，則，以平面建立直角坐標系，以為原點，如圖：則，設拋物線方程為，將代入可得，則拋物線的焦點到其準線的距離為故答案為【題目點撥】本題考查圓錐中具體線段的求解，拋物線解析式的求法，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題15、【解題分析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系可求．【題目詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當時，可得，當時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．16、【解題分析】

根據(jù)二項分布的期望公式求解.【題目詳解】因為隨機變量服從二項分布，所以.【題目點撥】本題考查二項分布的性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）為線段的中點.【解題分析】

（1）利用面面平行的判定定理證明出平面平面，再利用平面與平面平行的性質(zhì)得出平面；（2）由，，由二面角的定義得出，證明出平面平面，過點在平面內(nèi)作，可證明出平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，設點的坐標為，利用向量法結合條件銳二面角的余弦值為求出的值，由此確定點的位置.【題目詳解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可證平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，則矩形所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平面角為，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以為原點，、所在直線分別為軸、軸如圖建立空間直角坐標系，則、，設.則，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，則平面的一個法向量為..又平面的一個法向量為，，解得或（舍去）.此時，，即所求點為線段的中點.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，以及二面角的計算，解題時要注意二面角的定義，本題考查二面角的動點問題，一般要建立空間直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量進行求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.18、（I）；（II）【解題分析】

（I）求出的定義域以及導數(shù)，討論的范圍，求出單調(diào)區(qū)間，再結合的極小值為1，即可求得實數(shù)的值；（II）求出的定義域以及導數(shù)，利用導數(shù)研究最小值的范圍，即可求出?！绢}目詳解】（I）①時，，故在上單增，故無極小值。②時，故在上單減，在上單增，故.故（II）當時，由于在上單增，且故唯一存在使得，即故在上單減，在上單增，故又且在上單增，故，即依題意：有解，故，又，故【題目點撥】本題考查已知極值求參數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及最值，綜合性強，屬于中檔題。19、（Ⅰ）極大值，極小值；（Ⅱ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導數(shù)，求出極值點，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)為，對分、、和四種情況討論，分析導數(shù)在區(qū)間上的符號，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，函數(shù)的定義域為，，令，或.列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值，極小值；（Ⅱ）由題意得，（1）當時，令，解得；，解得.（2）當時，①當時，即時，令，解得或；令，解得；②當時，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；③當時，即當時，令，解得或；令，解得.綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在處理含參數(shù)的函數(shù)問題時，要弄清楚分類討論的基本依據(jù)，結合導數(shù)分析導數(shù)符號進行求解，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結論，替換括號內(nèi)部分即得證.【題目詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應各式右端為，所以，不等式的一般結論為：（2）證明：①當時顯然成立；②假設時結論成立，即：成立，當時，即當時結論也成立.由①②可知對任意，結論都成立.【題目點撥】本題考查了歸納推理和數(shù)學歸納法，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.21、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，則n=(1,0，1)cos<∴直線AB1與平面A1(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為取平面ABC的法向量m=(0,0，1)則cos<由圖可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角為(3)作CM⊥AB，M為垂足．由B1C⊥平面又B1∴AB⊥平面MCB∴平面B1CM⊥平面作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面在Rt△MCB1，CM=AC×CBB1B1∴B可得CG=CBCG=pCA+qCB+rCB∴(49,-49∴q=49，p=4【題目點撥】本題考查了空間位置關系、空間角、法向量的應用、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計算能力，屬于