2024屆山東省泰安四中高二數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題含解析

2024屆山東省泰安四中高二數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知f（x5）＝lgx，則f（2）等于（）A．lg2B．lg32C．lgD．2．已知α，β是相異兩個平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β3．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關，隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關”4．已知是四面體內(nèi)任一點，若四面體的每條棱長均為，則到這個四面體各面的距離之和為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象在點M(1,f(1))處的切線方程是+2,則的值等于()A．0 B．1 C． D．36．復數(shù)，則＝（）A．0 B． C． D．7．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．1 C． D．8．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.39．已知雙曲線my2－x2＝1(m∈R)與橢圓＋x2＝1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x10．如圖所示，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個直徑為2的圓，則這個幾何體的全面積是A． B． C． D．11．已知某隨機變量的概率密度函數(shù)為則隨機變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．12．設A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在點處切線的斜率為______14．已知（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上有三個不同的零點，則的取值范圍是________.15．已知命題，，則是_________________16．設函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.19．（12分）已知的展開式中第項是常數(shù)項.（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項，20．（12分）如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的直角三角形，，，，．（1）若線段上有一個點，使得平面，請確定點的位置，并說明理由；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有10人．在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過的人與性別有關；（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的數(shù)學期望.參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：令x5＝t，則x＝（t>0），∴f（t）＝lg＝．∴f（2）＝，故選D．考點：函數(shù)值2、B【解題分析】

在A中，根據(jù)線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據(jù)線面平行的判定判斷正誤；【題目詳解】對于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯；對于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對于C，不妨令α∥β，m在β內(nèi)的射影為m′，則當m′⊥n時，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯誤；對于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯．故選：B．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．3、A【解題分析】

根據(jù)題意知觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.【題目詳解】利用獨立性檢驗的方法求得，對照臨界值得出：有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”．故選A項．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．4、A【解題分析】

先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個面的距離.【題目詳解】解：因為正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，

設它到四個面的距離分別為，

由于棱長為1的正四面體，四個面的面積都是；

又頂點到底面的投影在底面的中心，此點到底面三個頂點的距離都是高的，

又高為，

所以底面中心到底面頂點的距離都是；

由此知頂點到底面的距離是；

此正四面體的體積是.

所以：，

解得.

故選：A.【題目點撥】本題考查了正四面體的體積計算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力與計算能力.5、D【解題分析】

根據(jù)導數(shù)定義，求得的值；根據(jù)點在切線方程上，求得的值，進而求得的值?！绢}目詳解】點M(1,f(1))在切線上，所以根據(jù)導數(shù)幾何意義，所以所以所以選D【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義及點在曲線上的意義，屬于基礎題。6、C【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，先化簡復數(shù)，再由復數(shù)模的計算公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以.故選C【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的除法，以及復數(shù)的模，熟記公式即可，屬于基礎題型.7、C【解題分析】

運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【題目詳解】由題意知，所以.故選C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎題．8、C【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關于對稱，根據(jù)，得到對稱區(qū)間上的概率，從而可求．詳解：由隨機變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關于軸對稱，

而，

則故，

故選：C．點睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解．9、A【解題分析】試題分析：由于的焦點為.雙曲線可化為.由題意可得.依題意得.所以雙曲線方程為.所以漸近線方程為.故選A.考點：1.橢圓的性質(zhì).2.雙曲線的性質(zhì).3.雙曲線的標準方程.10、C【解題分析】

由三視圖還原可知原圖形是圓柱，再由全面積公式求得全面積?！绢}目詳解】由三視圖還原可知原圖形是圓柱，圓柱底面半徑為1，高為2，所以，選C.【題目點撥】本題考查三視圖還原及圓柱的全面積公式，需要熟練運用公式，難度較低。11、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點撥】隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機變量在這一區(qū)間上概率．12、A【解題分析】求出集合中的函數(shù)的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，計算得，即可得到切線的斜率．【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義的應用，以及準確求解函數(shù)的導數(shù)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．14、【解題分析】

先按照和兩種情況求出，再對和分別各按照兩種情況討論求出，最后令，求出函數(shù)的零點，恰好有三個.因此只要求出的三個零點滿足各自的范圍即可.【題目詳解】解：當時，，當時，由，可得，當時，由，可得.當時，，當時，由，可得無解，當時，由，可得.因為在上有三個不同的零點，所以，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點，分段函數(shù)，分類討論的思想，屬于難題.15、，【解題分析】

根據(jù)的否定為寫結(jié)果.【題目詳解】因為的否定為，所以是，.【題目點撥】(1)對全稱(存在性)命題進行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定.的否定為，的否定為.16、[－1，＋∞)【解題分析】

對于，不等式恒成立，等價于的圖象在的圖象上方，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如圖，作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知：當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．故答案為[－1，＋∞)．【題目點撥】本題主要考查利用函數(shù)圖象解答不等式恒成立問題，屬于中檔題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）中點為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）設中點為，連接和，如圖所示，在中，，為中點，所以，又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，為中點，所以，又，所以平面，又因為平面，所以.（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，，，設平面的法向量，則，令，則，，所以；設平面的法向量，則，令，則，，所以；因為二面角是銳角，所以，即二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定、由線面垂直求線線垂直和利用空間向量求二面角，考查學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設,.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負判斷,屬于難題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）利用展開式的通項計算得到答案.（2）因為，所以二項系數(shù)最大的項為與，計算得到答案.【題目詳解】解：（1）展開式的通項為因為第項為常數(shù)項，所以第項,即（2）因為，所以二項系數(shù)最大的項為與即【題目點撥】本題考查了二項式的計算，意在考查學生的計算能力.20、（1）當P為AD的中點時，平面PBE（2）【解題分析】

要證線面平行，需證明線線平行，所以取中點，連接，即證明；（2）過B作于H，連結(jié)HE，證明兩兩垂直，以點為原點，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用公式求解.【題目詳解】解：（1）當P為AD的中點時，，又因為平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）過B作于H，連結(jié)HE，在等腰梯形ABCD中易知．在中，，，，可得．又因為，平面平面ADE，且平面平面，所以平面ADE，所以．如圖，以H為原點，HE，HD，HB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.則，，，.所以，.．設平面ABE的一個法向量，則，即，取，得.設直線CD與平面ABE所成角為，所以.【題目點撥】本題重點考查了線面角的求法，坐標法的一個難點是需建立空間直角坐標系，這個過程往往需要證明，證明后再建立空間直角坐標系，利用公式求解.21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系