安徽省黃山市黟縣中學2024屆數(shù)學高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

安徽省黃山市黟縣中學2024屆數(shù)學高二下期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學名著九章算術中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．2．如圖，已知棱長為1的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．3．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A． B． C． D．4．使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．5．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或6．平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A．或 B．或C．或 D．或7．已知，則的大小關系為()A． B． C． D．8．，，三個人站成一排照相，則不站在兩頭的概率為（）A． B． C． D．9．用數(shù)學歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項 B．項 C．項 D．項10．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于，反證假設正確的是()A．假設三內(nèi)角都大于 B．假設三內(nèi)角都不大于C．假設三內(nèi)角至多有一個大于 D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于11．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．12．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，則閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則．14．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張．從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張．不同取法的種數(shù)為．15．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.16．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，命題對任意，不等式恒成立；命題存在，使得成立.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若為假，為真，求的取值范圍.18．（12分）某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本，當年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于80千件時，（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？19．（12分）已知，橢圓C過點，兩個焦點為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．20．（12分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù)fx（1）當a=2，求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx22．（10分）已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．2、D【解題分析】

根據(jù)與平面的關系，先找到直線與平面的夾角，然后通過勾股定理求得各邊長，即可求得夾角的正弦值?！绢}目詳解】連接、相交于點M，連接EM、AM因為EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面則∠EAM即為直線與平面所成的角所以所以所以選D【題目點撥】本題考查了空間幾何體線面的夾角關系，主要是找到直線與平面的夾角，再根據(jù)各長度求正弦值，屬于中檔題。3、C【解題分析】

運行程序，當時退出程序，輸出的值.【題目詳解】運行程序，，判斷否，，判斷否，，……，以此類推，，判斷是，退出循環(huán)，輸出，故選C.【題目點撥】本小題主要考查計算循環(huán)結構程序框圖輸出的結果，屬于基礎題.4、A【解題分析】

首先解出不等式，因為是不等式成立的一個充分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可．【題目詳解】因為，所以或，需要是不等式成立的一個充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【題目點撥】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關系，屬于基礎題．5、C【解題分析】或．故選C．點睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點集還是其它集合．2、求集合的交、交、補時，一般先化簡，再由交、并、補的定義求解．3、在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．6、A【解題分析】設所求直線為，由直線與圓相切得，，解得．所以直線方程為或．選A.7、A【解題分析】分析：由，，，可得，，則，利用做差法結合基本不等式可得結果.詳解：，，則，即，綜上，故選A.點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.8、B【解題分析】分析：，，三個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，從而即可得到答案.詳解：，，三個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，則不站在兩頭的概率為.故選：B.點睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.9、D【解題分析】

分別寫出當，和時，左邊的式子，分別得到其項數(shù)，進而可得出結果.【題目詳解】當時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D【題目點撥】本題主要考查數(shù)學歸納法，熟記數(shù)學歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.10、B【解題分析】

反證法的第一步是假設命題的結論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設命題的結論不成立，即假設三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立，即假設三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點撥】本題考查了反證法的第一步的假設過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關鍵.11、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項公式的應用，屬于簡單題。12、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出韋恩圖即可得到答案．【題目詳解】根據(jù)題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為人故選B.【題目點撥】本題考查利用韋恩圖解決實際問題，屬于簡單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.16【解題分析】試題分析：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對稱軸為.由及正態(tài)分布的性質(zhì)，考點：正態(tài)分布及其性質(zhì).14、【解題分析】

利用間接法，計算取3張卡片的總數(shù)，然后分別計算取3張同色，2張紅色的方法數(shù)，最后做差，可得結果.【題目詳解】由題可知：16張取3張卡片的所有結果為取到3張都是同色的結果數(shù)為取到2張都是紅色的結果數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查組合的應用，巧用間接法，審清題意，細心計算，屬基礎題.15、【解題分析】

點滿足則點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【題目詳解】由題有點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故,又當在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎題型.16、【解題分析】

由條件可得【題目詳解】因為，分別是的中點所以所以故答案為：【題目點撥】本題考查的是空間向量的線性運算，較簡單.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）由題得，解不等式即得解；（2）先由題得，由題得，中一個是真命題，一個是假命題，列出不等式組，解不等式組得解.【題目詳解】(1)對任意，不等式恒成立，當，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當時，的最小值為，，解得.因此，若為真命題時，的取值范圍是.(2)存在，使得成立，.命題為真時，，且為假，或為真，，中一個是真命題，一個是假命題.當真假時，則解得；當假真時，，即.綜上所述，的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的恒成立問題的解法，考查復合命題的真假和存在性問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用利潤總售價總成本，根據(jù)的范圍分段考慮關于的解析式，注意每一段函數(shù)對應的定義域；（2）求解中的每段函數(shù)的最大值，然后兩段函數(shù)的最大值作比較得到較大值，即為最大利潤.【題目詳解】（1）當時，，當時，，所以；（2）當時，，所以當時，（萬元）；當時，，取等號時即，所以（萬元）（萬元），所以年產(chǎn)量為千件時，所獲利潤最大.【題目點撥】本題考查二次函數(shù)模型以及基本不等式在實際問題中應用，難度一般.（1）求解實際問題中的函數(shù)解析式時，一定要注意函數(shù)的定義域；（2）利用基本不等式求解最值時要注意取等號的條件.19、（1）；（2）0.【解題分析】

可設橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計算可得，進而得到b，即可得到所求橢圓方程；設直線AE：，代入橢圓方程，運用韋達定理可得E的坐標，由題意可將k換為，可得F的坐標，由直線的斜率公式計算可得直線EF的斜率，設出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線l的斜率，進而得到所求斜率之和．【題目詳解】解：由題意可設橢圓C的方程為，且，，即有，，所以橢圓的方程為；設直線AE：，代入橢圓方程可得，可得，即有，，由直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，可將k換為，可得，，則直線EF的斜率為，設直線l的方程為，代入橢圓方程可得：，由直線l與橢圓C相切，可得，化簡可得，解得，則．【題目點撥】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義，考查兩點斜率公式，還考查了韋達定理及直線與橢圓相切知識，考查化簡整理的運算能力和推理能力，屬于難題．20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（1）證明：因為是邊長為4的正方形，所以，又，，由線面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分別以AC，AB，為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，取，則，同理得平面的法向量，設二面角的平面角為，則.【題目點撥】本題考查了直線與平面垂直判定與證明，以及空間角的求解問題，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1）見解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．【題目詳解】（1）當a=2時，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘極小值f↗所以，當x=1時，fx有極小值f1=（2）①因為fx=x2-a當a≤0時，f'所以fx在0，+∞當a>0時，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上單調(diào)遞減，所以fx在x1°當a=2時，fx在0，1上單調(diào)遞減，fx2°當0<a<2時，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1設gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘極小值g↗所以，當x=1e，gx所以xlnx>-1e>-1因此，根據(jù)零點存在性定理知，在e-1a又x=1也是fx的一個零點，則f3°當a>2時，a2>1，故f