浙江省重點(diǎn)2023學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2s“=2.+/1,則X的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

2.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②*、y是直線，z是平面；③z是

直線，x、y是平面；④小y、z均為平面.其中使“x_Lz且>^2=>x〃P，為真命題的是（）

A.③④B.①③C.②③D.①②

3.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l—i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.-iB.iC.1D.-1

4.已知函數(shù)y=log“（尤+C）（。，C是常數(shù)，其中a>o且awl）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于a,。的表述正確

的是（）

C.0<a<l,c>lD.0<a<l?0<c<l

5.如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三

角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，取

百七1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.20B.27C.54D.64

Y

6.已知x>0,a=x,b=--,c=ln(l+x),貝!!()

x2

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

22

7.已知P是雙曲線三一4=1漸近線上一點(diǎn)，E，工是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，NFiPF,=%，記PFi，PO,PF,的

ab-2

斜率為勺，k,k2,若h，-2k,自成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（）

A.72B.立C.73

D.R

2

8.在正方體ABC。-A耳GR中，球。I同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球。2同時(shí)與以G為公共頂點(diǎn)的三個(gè)

n

面相切，且兩球相切于點(diǎn)尸.若以尸為焦點(diǎn)，AB1為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過(guò)q,q,設(shè)球?,。2的半徑分別為32，則,=

r2

（）

A.B.V3-V2C.1--D.2->/3

22

9.已知集合A/={M-4VX<2},A^={X|X2-X-6<0},則McN二

A.{x|-4<x<3}B.{乂-4<尤<一2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

22

10.已知雙曲線與-與=1（4>0,。>0）的離心率為。，拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,若e=p,則雙

a"b~

曲線C的漸近線方程為（）

A.y-+y/3xB.y=±2\/2x

「a小n小五

C.y=±——xD.y=±---x

22

11.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

甲乙

9724

228819

13969

A.甲得分的平均數(shù)比乙大B.甲得分的極差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位數(shù)和乙相等

X2￡■=l（a>（）力>0）的左，右焦點(diǎn)分別是耳（一GO）,8（c,0）,直線y=與雙曲線。的

12.如圖，雙曲線。：二一

a

77

兩條漸近線分別相交于A6兩點(diǎn).若N3月鳥(niǎo)=g,則雙曲線。的離心率為（）

40

亍

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線,一/=1（a>0,ft>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為《一號(hào)，0、巴（等，°|，點(diǎn)產(chǎn)是第一象限內(nèi)雙曲線上

的點(diǎn)，且柩〃/尸/花=g,3/尸尸2尸1=-2,則雙曲線的離心率為.

14.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù)：.

15.已知函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)xe（O,l］時(shí)，〃力=一瞪（其中e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若/（2020-ln2）=8,則實(shí)數(shù)。的值為.

16.在矩形ABCD中，AB=2,4）=1,點(diǎn)E,尸分別為BC,CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足所=1,則AE-AR的最大

值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)〃x)=21n(x+l)+sinx+l,函數(shù)g(x)=or-l-Mnx(.a,beR,ab^O').

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)x2O時(shí)，f(x)<3x+l.

⑶證明：當(dāng)x>—1時(shí)，/(x)<(x2+2x+2)esinx.

18.(12分)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓G與焦點(diǎn)在)'軸上的橢圓都過(guò)點(diǎn)”(0,1)，中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓G

與C,的離心率均為

2

(I)求橢圓G與橢圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過(guò)點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與G，交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)4、8不同于點(diǎn)M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值

時(shí)，求兩直線MA,MB斜率的比值.

19.(12分)新高考，取消文理科，實(shí)行“3+3”，成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中

學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在［15,45)稱為

中青年，年齡在［45,75)稱為中老年)，并把調(diào)查結(jié)果制成下表:

年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)515101055

了解4126521

（1）分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率；

（2）請(qǐng)根據(jù)上表完成下面2x2列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？

了解新高考不了解新高考總計(jì)

中青年

中老年

總計(jì)

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（3）若從年齡在[55,65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X,求X的分

布列以及E（X）.

21

20.（12分）已知橢圓。：於+本v=1（。＞?！?）的離心率為是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)”（0,2）,直線管的斜

率為1.

（1）求橢圓。的方程；

（1）若過(guò)點(diǎn)M的直線/與橢圓。交于A8兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N,是否存在直線/使得|A3|=2|MN]?若存

在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（12分）已知函數(shù)＞=/。）與〉=靖的圖象關(guān)于直線＞=》對(duì)稱.（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若丁=/。）的圖象在點(diǎn)A（Xo，/（X。））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一6-1）,求七的值；

（2）若不等式/（尤）,，go?—?！?。）*一1恒成立，求正整數(shù)〃的最小值.

22.（10分）近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛(ài)，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到

了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）

的關(guān)系如下：

X13412

y51.522.58

y與x可用回歸方程y=/；lgx+a（其中”，力為常數(shù)）進(jìn)行模擬.

（I）若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱，試預(yù)測(cè)該新奇水果100箱的利潤(rùn)是多少元.I.

（D）據(jù)統(tǒng)計(jì)，10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.

（i）若從箱數(shù)在［40,120）內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天，估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在［80,120）內(nèi)的概率；

（ii）求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.（每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)f=lgx,則

2

T￡（-）（%-9）iu-n

;=1i=l

0.541.81.530.45

,￡（-）（力-刃

線性回歸直線y=Rgx+a中，b=~~~；,a=y-bT-

i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.c

【解析】

利用s“先求出an,然后計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

4+4

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，2S1=2?,=4+A,.-.a,=-^-,

故當(dāng)“22時(shí)，a“=S"—Sa=2"T,

數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列，

則％=1,故號(hào)^=1,

解得力=-2,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

2.C

【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的

兩平面平行判斷.④舉例，如X、y、Z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).

【詳解】

①當(dāng)直線X、八z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)，不正確；

②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；

③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；

④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)，不正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.

3.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,利用復(fù)數(shù)的除法求得二，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=l—i,

l-z_(1-z)2

所以z

1+z(l+z)(l-z)

所以z的虛部為—1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<1,log,,c>0,log,,(1+c)>0,

故得()<C<1,0<?<1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為X,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為正設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,利用概率模

22

擬列方程即可求解。

【詳解】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為X,則小正方體的邊長(zhǎng)為正X—Lx,

22

設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,

住_1T

則N'解得：N*27

-7?"200

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

6.D

【解析】

(2\j.2

令/(x)=ln(l+x)-x,求/'(X),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得ln(l+x)>x—二，設(shè)

、2J2

g(x)=ln(l+x)—x,利用導(dǎo)數(shù)證出g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出Vx>O,ln(l+x)<x,即可得到答案.

【詳解】

x>0,x>x——

2

(1/

令/(x)=ln(l+x)—x——,求導(dǎo)/(1)=-----1+x=———

I2J1+x1+x

V%>0,r(x)>0,故/。)單調(diào)遞增：/(%)>/(0)=0

x2

ln(l+x)>x——>

當(dāng)x>0,設(shè)g(x)=ln(l+x)-x,

??.g'(x)=y^--1=產(chǎn)<0,

又g(O)=O,

二.g(x)=ln(l+x)-x<0,即Vx>0,ln(l+x)<x,

尤2

故龍〉ln(l+x)>x--.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.

7.B

【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，由題意求得P(a,b),運(yùn)用直線的斜率公式可得人，k,k2,再由等

差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值.

【詳解】

22/

設(shè)雙曲線「一與=1的一條漸近線方程為y=-x,

aba

且p?！?當(dāng)"),由/片2工=工，可得以。為圓心，c為半徑的圓與漸近線交于2，

a2

可得加2+(3?)2=/,可取力=。，則P(a,Z?),

a

設(shè)耳(一c,0),工(c,0),貝!]匕=上，幺=2,k=~,

Q+Ca-ca

由人，-2k9網(wǎng)成等差數(shù)列，可得TZ=K+&，

?.42a232

化為—=----29n即n。=不。9

aa-c12

可得e=￡=^-,

a2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平.

【解析】

由題先畫(huà)出立體圖，再畫(huà)出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)Q到點(diǎn)尸的距離即半徑與，也即

點(diǎn)02到面CDDG的距離，點(diǎn)02到直線AB,的距離即點(diǎn)02到面ABB^的距離因此球Q內(nèi)切于正方體，設(shè)4=1，

兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線AC上，通過(guò)幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出弓，進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離即半徑弓，也即點(diǎn)。2到

面COAG的距離，點(diǎn)。2到直線A&的距離即點(diǎn)。2到面A8A4的距離，因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)弓=1,兩

個(gè)球心。，Q和兩球的切點(diǎn)尸均在體對(duì)角線AG上，兩個(gè)球在平面A4G。處的截面如圖所示，則

02F—r2—1,A02—,2'1=，所以AF=AO-,-0,F=y/3_1.又因?yàn)锳F=AO]+O]F=\/3i\+q,因此+l)/j=y/3—1,

得12-6,所以2=2-6.

弓

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

9.C

【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

【詳解】

由題意得，M={x[T<x<2},N={x|—2Vx<3},則

McN={x[—2<x<2}.故選C.

【點(diǎn)睛】

不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

10.A

【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a,b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則〃=2,

又e=p,所以e=￡=2,可得c2=4a2=a2+",可得：b=0,所以雙曲線的漸近線方程為：y=土瓜.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.

11.B

【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論.

【詳解】

“TB-79+88+82+82+93+91…

對(duì)于甲，用=----------------------x85.8；

6

―72+74+81+89+96+99。

對(duì)于乙，％=----------------------X85.2,

一6

故A正確；

甲的極差為93-79=14,乙的極差為99-72=27,故3錯(cuò)誤;

對(duì)于甲，方差S：a26.5,

對(duì)于乙，方差=106.5,故C正確;

甲得分的中位數(shù)為竿=85,乙得分的中位數(shù)為等=85.故。正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于

基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

cbeBT

易得5（-不?。?，過(guò)B作x軸的垂線，垂足為3在中，利用tan工即可得到見(jiàn)反。的方程.

22a4/3

【詳解】

由已知，得伙一;?。?，過(guò)8作x軸的垂線，垂足為7,故"7=￡,

22a2

兒

兀BT71fT五

又N86瑪=5,所以萬(wàn)=tan彳=J3,￡-=

2

所以雙曲線C的離心率2=

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率問(wèn)題，在作雙曲線離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到4/,。的方程或不等式，本題屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.辿

5

【解析】

根據(jù)正弦定理得痣==2,根據(jù)余弦定理得PF；+PF；-2PF^PF1cos^FiPFi==3,聯(lián)立方程

1r)>JifiL?r,

得到PF、=3g,「6=呼，計(jì)算得到答案?

【詳解】

R)RppsinZ.PFF

?.?△尸產(chǎn)擊中，s加s加NPFif2=會(huì)2，.?.由正弦定理得崇=.①

55PF2sinNPRF]

又;tanAPF}F2=；,tanZ.PFiF\=-2,

1-2

o34

：.tanZFiPF2=-tan(ZPF2F1+ZPF1F2)=一一——=-,可得cosNRPg=—，

1+1x245

2

△PF1尸2中用余弦定理，得+一2PF1?PF2COSN尸1尸尸2=6工2=3,②

①②聯(lián)解，得P￡=2乎，叵，可得PF「PF2=叵,

...雙曲線的2a=@5,結(jié)合2c=6，得離心率e=%=定.

32a5

故答案為：之叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

14.231,321,301,1

【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論，即得解

【詳解】

0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有：

(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí)，數(shù)字可以是231,321,301；

(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.

故答案為：231,321,30b1

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.3

【解析】

先推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的周期為4,可得出/(2020—ln2)=/(—ln2)=—.f(ln2)=8,代值計(jì)算，即可求出實(shí)數(shù)。

的值.

【詳解】

由于函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(—力=一/(力，

又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則/(l-x)=/(l+x),

所以，/(2+x)=/[l-(l+x)]=/(-x)=-/(x),則〃4+x)=—/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

所以“2020—ln2)=/(—ln2)=—“InZbeRnzHeinzy=2"=8,解得q=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期，考查推理能

力與計(jì)算能力，屬于中等題.

16.4

【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E,尸的坐標(biāo)，由E戶=1可得(4-1)2+優(yōu)-2)2=1,利用數(shù)量積運(yùn)算求得

AE-AF=2b+a＞再利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出f=。+2Z＞的最大值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示：

設(shè)磯2,磯網(wǎng)反1),

EF=\,

■■^(2-/?)2+(1-?)2=1.

即(即1)2+伍_(kāi)2)2=],

又AE-4E=28+a，

^t=a+2b,其中0＜。＜1,0＜匕＜2,

畫(huà)出圖形，如圖(2)所示：

當(dāng)直線/=。+2匕經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,2)時(shí)，，取得最大值1=4.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)答案不唯一，具體見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)求出g(X)的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)。、b分類討論得到答案.

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-(3x+l),求導(dǎo)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.

(3)由(1)可知xNl+lnx,可得(x+l)2eSi"，Nl+ln[(x+l)2esm1,即(x+iye"11，221n(x+l)+sinx+l又

(x2+2%+2)esinx>(x+l)2esinv即可得證.

【詳解】

⑴解:8(力的定義域?yàn)?0,+巧，,(力=竺之

當(dāng)4>O,Z?<0時(shí)，g，(x)>o,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0,0>0時(shí)，令g'(x)>0,得x>2,令夕(力<0,得0<x<2,則g(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，在化+8

aaVaj\a

上單調(diào)遞增；

當(dāng)avO,b>0時(shí)，g'(x)<0,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0,b<0時(shí)，令g'(x)>0,得0<x<\,令g'(x)<0,得x>g,則g(x)在［0,：)上單調(diào)遞增，在1g，+8

上單調(diào)遞減；

/、/、/2

(2)證明:設(shè)函數(shù)/z(x)=〃x)-(3x+l),則〃(%)=----+cosx-3.

X+1

2

因?yàn)閤NO,所以-^€(0,2],cosxe[-1,1],

則/2'(x)?0,從而/z(x)在［(),一)上單調(diào)遞減,

所以/2(X)=〃X)—(3X+1)W/Z(0)=0,即〃X)W3X+1.

(3)證明：當(dāng)a=8=l時(shí)，g(x)=x-l-lnx.

由(1)知，g(x%n=g(l)=0,所以g(x)=x-l-lnxN0,

即xNl+lnx.

2sinA

當(dāng)X>—1時(shí)，(x+l)2>0,(x+1)e>0,

則(x+lpesm,>l+ln[(x+l)2esinA']

即(x+1)-e""*>21n(x+l)+sinx+l,

又(V+2x+2)*>(%+l)2esinjt,

所以(d+2x+2)eS|n*>21n(x+l)+sinx+l,

即/(%)<(r+2^+2)esinv.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.

2_

to/1、x?2?y~=1/、、9—<97

18.(1)一+y'=l,-1(2)——--

4-8

4

【解析】

分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對(duì)應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：(I)依題意得對(duì)G：b=l,e=—^e2=-=^^-,得G：—+y2=l;

24a24

2X2_

+=1

同理。2：，T.

4

(n)設(shè)直線M4,MB的斜率分別為冷k2,則MA：y=匕無(wú)+1,與橢圓方程聯(lián)立得:

v2

12_i,甌-4k,2+1

一=>/+4(%/+1)2-4=0,得(4婷+1)一叫=()，得中一方二2罰,所以

y=勺x+l

%甌W+l、

(4婷+>秋2+J

'-2月

同理可得8.所以M4=(-

卻瑞)》4+V，4+22?

—2k；

從而可以求得s=g-a4+心-2%2-8&J116ktk2yk2

因?yàn)?2=T，

24+V4Z：+i2(4V+1)(4+V)

8(勺+婷)4+婷―鉀―網(wǎng)2+1

，不妨設(shè)匕＞0,/(%)=Q，f'(k)=

所以S=4

(%+1『

f'(k)=0,.-.^V-9V+l=0,小婀二9,所以當(dāng)S最大時(shí),

2=叵二2,此時(shí)兩直線MA,MB斜率的比

8'8

9-V97

哈-好8

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過(guò)程中，注意橢圓的對(duì)稱性，以及其特殊性，與y軸的交點(diǎn)

即為橢圓的上頂點(diǎn)，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在

研究直線與橢圓相交的問(wèn)題時(shí)，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問(wèn)題.

2

19.(1)P=~；(2)見(jiàn)解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián)；(3)分布列見(jiàn)解析,

￡(X)=|.

【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù)，即可求出概率;

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出K?的觀測(cè)值，對(duì)照表格，即可得出結(jié)論;

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值為0,b2,分別求出概率，列出隨

機(jī)變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.

【詳解】

2211

(1)由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對(duì)新高考了解的概率P=1,

Q7

中老年對(duì)新高考了解的概率P=2:.

205

(2)2x2列聯(lián)表如圖所示

了解新高考不了解新高考總計(jì)

中青年22830

老年81220

總計(jì)302050

250x(22x12-8x8)2

?5.56>3.841,

30x20x20x30

所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人,

則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)X可能取值為0,L2,

3

則P(X=O)=普擊P—D=警*

5

c2c'3

P(X=2)=中

10

所以X的分布列為

X012

133

P

W510

￡(X)=Ox—+1X-+2XA=^.

105105

【點(diǎn)睛】

本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

20.(1)—+^-=1(1)不存在，理由見(jiàn)解析

43

【解析】

(1)利用離心率和過(guò)點(diǎn)加(0,2),列出等式，即得解

(D設(shè)/的方程為y=Ax+2,與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示|AB|=2|MN|,利用

韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于A的等式，即可得解.

【詳解】

a7a=/

(1)由題意，可得:解得4

—2=2c,c=l

貝!Jb1=a2—c2=3，

22

故橢圓C的方程為土+匕=1.

43

(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

|AB|=2^,|MN\=2,|ABMMN\,不符合題意.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，

設(shè)/的方程為丁=依+2,

J22

工+二=1

聯(lián)立《43'得(3+4/)無(wú)2+16米+4=(),

y-kx+2,

設(shè)A(X1,y)B(x2,y2),

則%+/=一

3+4-1-3+4公

A=(16A:)2-16(3+4k2)=192k2-48>0,即公

x+x_8k

設(shè)N(x0,%),則XQ=}2

23+4公

■\AB\=2\MN\9

Jl+k~W-/I=2A/1+k~|XQ—0|,

則+々)2-%々=2闖，

Hn16k4，12%2-3

即--------=--------------f

3+4/3+4公

,3

整理得公=一二，此方程無(wú)解，故/的方程不存在.

綜上所述，不存在直線/使得|AB|=2|MN|.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長(zhǎng)和中點(diǎn)問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難

題.

21.(1)e；(2)2.

【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出/(x)=lnx,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線為

y-yQ=—(x-xa),構(gòu)造函數(shù)〃(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出與的值;

19

(2)設(shè)g(x)=Inx-50r■+(1—4)無(wú)+1,求導(dǎo),求出g(x)的單調(diào)性，從而得出最大值

為g-由。，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)〃的最小值.

\aj2a

【詳解】

(1)根據(jù)題意，丁=/(力與/="的圖象關(guān)于直線丁=彳對(duì)稱,

所以函數(shù)/(x)的圖象與y="互為反函數(shù)，則/(X)=Inx,,

設(shè)點(diǎn)A(Xo，X))，%=1nxo，又y'=g.

1

當(dāng)x=/時(shí)，

曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線為y-No=—(％-%),