天津市北辰區(qū)第四十七中學2023-2024學年高一上學期第二次階段性檢測數(shù)學試題

2023—2024天津市第四十七中學高一年級第一學期第二次階段性檢測數(shù)學試卷一、選擇題：（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.本大題共9個小題，每題5分，共45分）1.全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的補集和交集的運算公式進行計算即可.【詳解】因為，，，，所以，所以.故選：B2.已知，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式不等式解得的取值范圍，根據(jù)充分不必要條件的定義，可得答案.【詳解】由不等式，等價于，解得，由，故是的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的定義域可排除B，取特值可排除D，當趨近負無窮時，可排除C，即可得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，排除B；當時，，排除D；當趨近負無窮時，趨于正無窮，所以，排除C.故選：A.4.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質比較大小.詳解】，，，所以.故選：C.5.已知函數(shù)，若，則的值是（）A.3或 B.或5 C. D.3或或5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分類討論的范圍，得到方程，解出即可.【詳解】若，則方程可化為，∴或（舍去）；若，則方程可化為∴，綜上可得，或，故選：B.6.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求抽象函數(shù)定義域，只需要牢記對應法則括號中的式子取值范圍相同即可.【詳解】設，則，因為函數(shù)的定義域為，所以當時，有意義，所以，故當且僅當時，函數(shù)有意義，所以函數(shù)的定義域為，由函數(shù)有意義可得，所以，所以函數(shù)的定義域為，故選：D.7.已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由扇形的面積公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】設扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長為.故選：C8.若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調性求解即可.【詳解】由題意得，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.9.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若a，，且，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】先通過函數(shù)是冪函數(shù)以及單調性求出的解析式，再利用單調性和奇偶性可得答案.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，又因對任意，且，滿足，即對任意，都有，故函數(shù)是冪函數(shù)且在上單調遞增，所以，所以，則，明顯為上的奇函數(shù)，由得，所以，所以.故選：A.二.填空題：（本大題共6小題.每題5分，共30分）10.67°30′化為弧度，結果是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)角度制與弧度制的關系，轉化即可.【詳解】，，，故答案為：11.計算：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)換底公式、對數(shù)的運算性質計算可得.【詳解】解：．故答案為：．12.已知)是R上的奇函數(shù)，且當時，，則的解析式_________．【答案】【解析】【分析】函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的概念求出函數(shù)的解析式．【詳解】解：（1）由題得，設，則，又是奇函數(shù)，，故答案為：．13.已知，則______.【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)的定義求出，再根據(jù)換底公式和對數(shù)的運算性質計算即可.【詳解】由題意可得，，則，，故.故答案為：2.14.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)是函數(shù)遞增區(qū)間的子集求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵在上是增函數(shù)，，即，解得．故答案為：．15.設函數(shù)，若關于x的函數(shù)恰好有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】畫出圖象，換元后分析可知方程的一根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上，利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，令，函數(shù)恰好有四個零點．則方程化為，設的兩根為，因為，所以兩根均大于0，且方程的一根在區(qū)間內，另一根在區(qū)間內．令所以，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍為故答案為：【點睛】復合函數(shù)零點個數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當運用換元法，將零點個數(shù)問題轉化為二次函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點個數(shù).三、解答題：（本大題共5小題，75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由，先利用一元二次不等式的解法化簡集合M，N，然后利用集合的補集和交集運算求解.（2）由，得到，然后分和兩種情況討論求解.【詳解】（1）時，集合，，∴或，∴．（2）∵集合，，，∴，當時，，解得，成立，當時，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．17.已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關于的不等式，其中.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集性質進行求解即可；（2）化簡不等式，運用因式分解法，根據(jù)的正負性、一元二次不等式相對應的一元二次方程的根之間的大小關系分類討論求解即可.【詳解】（1）因為的解集為，所以的根為-1，2，故有，，即，；即.（2）由，化簡有，整理得，所以當時，不等式的解集為，當時：一元二次方程的兩根為：，若時，，不等式的解集為；若時，,不等式的解集為；若時，，不等式的解集為.當時，一元二次方程的兩根為：，則，不等式的解集為，綜上所述：當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵：1、是對二次三項式不等式的最高次項系數(shù)進行討論；2、是對一元二次不等式相對應的一元二次方程兩根之間的大小進行討論.18.已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，求的取值范圍；（3）若兩個不相等的正數(shù)滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可將條件代入求解；（2）要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調，由題意得，解之即可得解；（3）由題意可得的對稱軸為，若，，且有，則，結合基本不等式求解最值即可．【小問1詳解】設，由，得，又，則，解得，所以；【小問2詳解】，若函數(shù)在區(qū)間上不單調，由函數(shù)，其對稱軸為，要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調，則滿足，解得，故實數(shù)的取值范圍為；【小問3詳解】因為，則的對稱軸為，函數(shù)在單調遞增，則函數(shù)在單調遞減，若，，且有，則，∴，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為．19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的值；（2）用定義法證明函數(shù)在上的單調性；（3）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】19.20.證明見解析21.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點求得；（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證得函數(shù)在上單調遞增；（3）根據(jù)函數(shù)的單調性求得的最大值，然后以為主變量列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】由于奇函數(shù)在處有定義，所以，，所以，經檢驗，此時滿足為奇函數(shù)，所以.因為，所以.【小問2詳解】由（1）知.任取、且，所以，因為，則，，所以，則，所以，函數(shù)在上單調遞增.【小問3詳解】由（2）知在的最大值為所以對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范圍為.20.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，記.（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）定義在上的一個函數(shù)，用分法將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)，使得和式恒成立，則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)是否為在上的有界變差函數(shù)?若是，求的最小值；若不是，請說明理由.（參考公式：）【答案】（1）;（2）或;（3）是；的最小值為；【解析】【分析】(1)結合二次函數(shù)的性質求解；(