山東省泰安市東平縣2021年中考數(shù)學(xué)一模試卷(含解析)

2021年山東省泰安市東平縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.每小題給出的四個答案中，只有

一項是正確的.）

1.（4分）-■!的倒數(shù)是（）

2

A.AB.-2C.2D.-A

22

2.（4分）下列計算錯誤的是（）

A.（°%）?（蘇）=a4b3B.(-wn3)2=m2n6

C.a5-r-a2=a3D.xy2,-

3.（4分）一個整數(shù)815550…0用科學(xué)記數(shù)法表示為8.1555X1（）1°,則原數(shù)中“0”的個數(shù)為

（）

A.4B.6C.7D.10

4.（4分）下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（）

5.（4分）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直

角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂

點在紙條的另一邊上，則/I的度數(shù)是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

6.（4分）已知數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5,則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法，錯誤的是（）

A.平均數(shù)是3B.中位數(shù)和眾數(shù)都是3

C.方差為10D.標(biāo)準(zhǔn)差是運

3

x+l<x1

7.（4分）若不等式組432‘無解，則m的取值范圍為（)

x<4m

A.B.m<2C.收2D.m>2

8.（4分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A

處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔戶的南偏東30°方向上的8處，則

此時輪船所在位置B處與燈塔戶之間的距離為（）

B.45海里C.20b海里D.30遂海里

9.（4分）如圖，AB為。。的直徑，點C為。。上的一點，過點C作。。的切線，交直徑

A3的延長線于點。；若/A=23°,則的度數(shù)是（）

A.23°B.44°C.46°D.57°

10.（4分）小亮、小瑩、大剛?cè)煌瑢W(xué)隨機地站成一排合影留念，小亮恰好站在中間的概

率是（）

A.AB.Ac.2D.A

2336

11.（4分）如圖，扇形048中，ZAOB=100°,OA=\2,C是08的中點，COJ_O8交第

于點D,以O(shè)C為半徑的靜交OA于點E,則圖中陰影部分的面積是（）

A.12TT+18yB.1211+36遙C.6兀+18次D.6兀+36?

12.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0,1）、點8（0,1+力、C（0,1-f）

（r>0）,點尸在以。（3,3）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足NBPC=90°,

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.只要求填寫最后結(jié)果）

13.（4分）如果關(guān)于x的一元二次方程2%（履-4）-x2+6=0沒有實數(shù)根，那么火的最小

整數(shù)值是.

14.（4分）《九章算術(shù)》中有一道“盈不足術(shù)”的問題，原文為：今有人共買物，人出八，

盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？意思是：“現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品,

每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢，求物品的價格和共同購買該物品的人

數(shù).設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有>>人，則根據(jù)題意，列出的方程組

是.

15.（4分）圖，放置在直線/上的扇形。A8,由①圖滾動（無滑動）到圖②，在由圖②滾

動到圖③，若半徑OA=2,ZAOB=45Q,則點。的路徑長為.

16.（4分）二次函數(shù)（。#0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對

稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：（1）4。+匕=0；（2）9a+c>-3b；（3）la-3/?+2c>0；（4）

若點4（-3,yi）、點8（-A,*）、點C（7,在該函數(shù)圖象上，則yi<y3<y2;（5）

2

若方程。（x+l）（九-5）=-3的兩根為XI和X2,且X1〈X2,則X1〈-1V5<X2,其中正

確的結(jié)論有.

17.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=5,3c=8,點P在A2上，AP=1.將矩形45C。

沿CP折疊，點B落在點夕處.B'P、B'C分別與AO交于點E、F,則所=

。的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是,=-1,

1-a1-2

1的差倒數(shù)是一如果m=-2,“2是G的差倒數(shù)，?3是42的差倒數(shù)，雨是43

1-（-1）2

的差倒數(shù)…依此類推，那么小+〃2+…+GOO的值是

三、解答題（本大題共7小題，共78分，寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）

19.（10分）先化簡：（_J_-a+l）+a-4a+4,并從0,-i,2中選一個合適的數(shù)作為

a+1a+1

。的值代入求值.

20.（10分）如圖，一次函數(shù)y=kx+b�）與反比例函數(shù)y=生仁聲。）的圖象在第一象

限交于4、8兩點，A點的坐標(biāo)為（,〃，4）,8點的坐標(biāo)為（3,2）,連接04、0B,過B

作BZMy軸，垂足為。，交04于C.若0C=C4,

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直線BZ）上是否存在一點E,使得aAOE是以A0為直角邊的直角三角形，直接

寫出所有可能的E點坐標(biāo).

21.（11分）隨著初三同學(xué)體考的結(jié)束，初二年級大課期間開始對跳繩、實心球和立定跳遠

這三項運動進行專項訓(xùn)練，為了了解同學(xué)們對這三項訓(xùn)練技巧的掌握情況，學(xué)校體育組

抽取了若干名學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為了四類：掌握3項技巧的為A類，掌握

2項技巧的為3類，掌握1項技巧的為C類，掌握0項技巧的為。類，并繪制了如圖兩

幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

學(xué)生掌握訓(xùn)練技巧的人數(shù)條形統(tǒng)計圖學(xué)生掌握訓(xùn)練技巧的人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

（1）被調(diào)查的學(xué)生一共有人；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖，若初二年級共有2500名學(xué)生，則初二年級大約有名學(xué)

生已掌握3項訓(xùn)練技巧；

（3）A類的5名同學(xué)中有且僅有2名來自同一個班，現(xiàn)A類的5名同學(xué)中隨機抽取2名

同學(xué)來分享經(jīng)驗，用樹狀圖或表格法求抽到的兩個人恰好來自同一個班的概率.

22.（11分）在“扶貧攻堅”活動中，某單位計劃選購甲、乙兩種物品慰問貧困戶.已知甲

物品的單價比乙物品的單價高10元，若用500元單獨購買甲物品與450元單獨購買乙物

品的數(shù)量相同.

①請問甲、乙兩種物品的單價各為多少？

②如果該單位計劃購買甲、乙兩種物品共55件，總費用不少于5000元且不超過5050

元，通過計算得出共有幾種選購方案？

23.（12分）如圖，將矩形ABC。沿4尸折疊，使點。落在BC邊上的點E處，過點E作

EG〃C。交AF于點G,連接OG.

（1）求證：四邊形EFDG是菱形;

（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若AG=6,EG=2巫，求BE的長.

24.（12分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+瓜+3（〃￡0）與x軸交于

A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)如圖②，若點。是拋物線上一動點，設(shè)點。的橫坐標(biāo)為，"（0V，"V3）,連接CZ）,

BD,當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時，求"?的值;

(3)拋物線上是否存在點P,使NCBP+NACO=/ABC?若存在，請求出點P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

圖①圖②

25.（12分）在正方形A8C。中，對角線AC、80交于點。，點P在線段3c上（不含點B）,

NBPE=L/ACB,PE交BO于點、E,過點B作8HLpE,垂足為尸，交AC于點G.

2

（1）當(dāng)點P與點C重合時（如圖①）：

①求證：XBOG@XPOE；

②猜想：^-=;

PE

（2）當(dāng)點P與點C不重合時，如圖②，型的值會改變嗎？試說明理由.

PE

2021年山東省泰安市東平縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.每小題給出的四個答案中，只有

一項是正確的.）

1.（4分）-1的倒數(shù)是（）

2

A.AB.-2C.2D.-A

22

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)可得答案.

【解答】解：-工的倒數(shù)是-2.

2

故選：B.

2.（4分）下列計算錯誤的是（）

A.（a3b'）,（.ah2'）=a4b3B.（-mn3）2=m2n6

C.a5-i-a2=a3D.xy2-Axy2=Ary2

55

【分析】選項4為單項式X單項式；選項8為積的乘方；選項C為同底數(shù)基的除法；選

項。為合并同類項，根據(jù)相應(yīng)的公式進行計算即可.

【解答】解：

選項A,單項式X單項式，（a%）.（/）=ai,a*b*b2'=aibi,選項正確

選項8,積的乘方，2=m2"6,選項正確

選項C,同底數(shù)基的除法，r+/2=“5-選項錯誤

選項￡）,合并同類項，肛2_工初2=旦^2-工y2

故選：C.

3.（4分）一個整數(shù)815550…0用科學(xué)記數(shù)法表示為8.1555義10叱則原數(shù)中“0”的個數(shù)為

（）

A.4B.6C.7D.10

［分析】把8.1555X1O10寫成不用科學(xué)記數(shù)法表示的原數(shù)的形式即可得.

【解答】解：Y8.1555XIO］。表示的原數(shù)為81555000000,

二原數(shù)中“0”的個數(shù)為6,

故選:B.

4.（4分）下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做

軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故此選項正確；

。、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

5.（4分）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直

角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂

點在紙條的另一邊上，則/I的度數(shù)是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【分析】過A點作AB〃“，利用平行線的性質(zhì)得所以N1=N2,N3=/4=30°,

加上/2+N3=45°，易得Nl=15°.

【解答】解：如圖，過4點作4B〃a,

，Nl=/2,

'：a//b,

：.AB//h,

.?.N3=/4=30°,

而/2+N3=45°,

；.N2=15°,

.?.Zl=15°.

故選：A.

a

6.(4分)已知數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5,則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法，錯誤的是()

A.平均數(shù)是3B.中位數(shù)和眾數(shù)都是3

C.方差為10D.標(biāo)準(zhǔn)差是'運

3

【分析】分別求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，再進行判斷.

【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：(1+2+3+3+4+5)+6=3,因此選項A不符合題意；

出現(xiàn)次數(shù)最多的是3,排序后處在第3、4位的數(shù)都是3,因此眾數(shù)和中位數(shù)都是3,因此

選項B不符合題意，

-=11[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=^-,S=?叵

63丫3

='運，因此C符合題意，。選項不符合題意，

3

故選：C.

x+1<x

7.(4分)若不等式組32,無解，則〃?的取值范圍為()

x<4m

A.nzW2B.m<2C.D.m>2

【分析】求出第一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小無解了可得關(guān)于，〃的不等式，

解之可得.

【解答】解：解不等式三包〈三-1,得：x>8,

32

:不等式組無解，

???4m這8,

解得mW2,

故選：A.

8.(4分)如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔尸的距離為30海里的A

處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的8處，則

此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為()

t

A.60海里B.45海里C.20b海里D.30加海里

【分析】根據(jù)題意得出：NB=30°,AP=30海里，NAPB=90°,再利用勾股定理得

出8P的長，求出答案.

【解答】解：由題意可得：NB=30°,AP=30海里，ZAPB=90°,

故AB=24P=60（海里），

則此時輪船所在位置8處與燈塔P之間的距離為：BP=^AB2_Ap2=3073（海里）

故選：D.

9.（4分）如圖，AB為。。的直徑，點C為。。上的一點，過點C作。。的切線，交直徑

A8的延長線于點。；若乙4=23°,則NQ的度數(shù)是（）

A.23°B.44°C.46°D.57°

【分析】連接OC,如圖，利用切線的性質(zhì)得NOCD=90°,再根據(jù)圓周角定理得到N

COO=2NA=46°,然后利用互余計算ND的度數(shù).

【解答】解：連接OC,如圖，

：C￡＞為00的切線，

OCA.CD,

，/。8=90°,

'：ZCOD=2ZA=46°,

AZD=90°-46°=44°.

故選：B.

10.（4分）小亮、小瑩、大剛?cè)煌瑢W(xué)隨機地站成一排合影留念，小亮恰好站在中間的概

率是（）

A.AB.Ac.2D.A

2336

【分析】先利用列表法展示所以6種等可能的結(jié)果，其中小亮恰好站在中間的占2種，

然后根據(jù)概率定義求解.

【解答】解：列表如下：

左中右

小亮小瑩大剛

小亮大剛小瑩

小瑩小亮大剛

大剛小亮小瑩

小瑩大剛小亮

大剛小瑩小亮

共有6種等可能的結(jié)果，其中小亮恰好站在中間的占2種，

所以小亮恰好站在中間的概率=1.

3

故選：B.

11.（4分）如圖，扇形042中，NAOB=100°,0A=12,C是08的中點，C￡）_L0B交忘

于點D,以0C為半徑的靜交0A于點E,則圖中陰影部分的面積是（）

0cB

A.12TT+18V3B.12H+36遙C.6兀+18次D.6兀+36?

【分析】連接0。、BD,根據(jù)點C為02的中點可得/CQO=30°,繼而可得△8Q0為

等邊三角形，求出扇形B0。的面積，最后用扇形A0B的面積減去扇形C0E的面積，再

減去S鈉BDC即可求出陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，連接0。，BD,

:點C為。8的中點，

.?.0C=JL0B=20D,

22

；CD工0B,

：.ZCDO=30°,ZDOC=60°,

.?.△B。。為等邊三角形，0Q=0B=12,0C=CB=6,

?*-CD—,6^3，

SmBOD=.60.兀72_=24TT,

360

/?S陰影=S成形AOB~S扇形COE-(S扇形60。-SACOD)

?兀一?冗?)

=100T2?10062_(24tt-1X6X6V3

3603602

=18^/"§+611.

或S陰=S^KOAD+SAODC-S扇形OEC=18?+6n.

12.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點A(0,1)、點B(0,1+f)、C(0,1-r)

。＞0),點P在以。(3,3)為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足NBPC=90°,

則t的最小值是()

【分析】先求出AB,AC進而得出AC=AB,結(jié)合直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一

半，即AP=r,即可得出，最小時，點P在AQ上，用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接AP,

???點A(0,1)、點3(0,1+力、C(0,1-t)(A0),

.\AB=(1+f)-1=r,AC=l-(1-r)=t,

：.AB=ACf

VZBPC=90°,

：.AP=lBC=AB^t,

2

要f最小，就是點A到O。上的一點的距離最小,

.?.點P在AO上，

(0,1),D(3,3),

?"力=也+(3-1)2=V13，

t的最小值是AP=AD-PD=V13-1.

故選：A.

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分.只要求填寫最后結(jié)果)

13.(4分)如果關(guān)于x的一元二次方程2x(齒-4)-f+6=。沒有實數(shù)根，那么上的最小

整數(shù)值是2.

【分析】先把方程化為一般形式：(2k-l)/-8x+6=0,由關(guān)于x的一元二次方程2x(日

-4)-f+6=0沒有實數(shù)根，所以2k-1W0且△<(),即解得旦，即可得到我的最

6

小整數(shù)值.

【解答】解：把方程化為一般形式：(2^-1)x2-8A+6=0,

???原方程為一元二次方程且沒有實數(shù)根，

1W0且△＜（）,即4=（-8）2-4X（2k-1）X6=88-48Z＜0,解得%＞11.

6

所以％的取值范圍為：A＞旦.

6

則滿足條件的k的最小整數(shù)值是2.

故答案為2.

14.（4分）《九章算術(shù)》中有一道“盈不足術(shù)”的問題，原文為：今有人共買物，人出八，

盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？意思是：“現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品，

每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢，求物品的價格和共同購買該物品的人

數(shù).設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則根據(jù)題意，列出的方程組是

'8y=x+3

7y=x-4

【分析】由"每人出8錢，則多3錢”可得出方程8y=x+3,由“每人出7錢，則差4

錢”可得出方程7y=x-4,聯(lián)立即可得出結(jié)論.

【解答】解：依題意得：（8y=X+3.

[7y=x-4

故答案為：＜py=x+3

I7y=x-4

15.（4分）圖，放置在直線/上的扇形0A8,由①圖滾動（無滑動）到圖②，在由圖②滾

動到圖③，若半徑OA=2,ZAOB=45°,則點。的路徑長為_至三_.

【分析】利用弧長公式計算即可.

點O的運動路徑的長=西的長+022+GM的長

=90?兀?245?兀?290?兀?2

一_1804180t180

:5兀

~2~

故答案為：I2L.

2

16.(4分)二次函數(shù)y—cv^+hx+c(aWO)的部分圖象如圖所示，圖象過點(-1,0),對

稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：(1)4a+b=0；(2)9a+c>-3b；(3)7a-3b+2c>0；(4)

若點A(-3,yi)、點8(-L*)、點C(7,用在該函數(shù)圖象上，則(5)

2

若方程a(x+1)(x-5)=-3的兩根為xi和X2,且x\<x2>則xi<-1<5<%2,其中正

確的結(jié)論有①②⑤,

【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=2,則有44+b=0；觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=33

時，函數(shù)值大于0,貝I」9a+36+c>0,即9a+c>-3b；由于x=-1時，y=0,則a-b+c

=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,再根據(jù)拋物線開口向下得

。<0,于是有7a-3b+2cV0；利用拋物線的對稱性得到(-3,e),然后利用二次函數(shù)

的增減性求解即可，作出直線y=-3,然后依據(jù)函數(shù)圖象進行判斷即可.

【解答】解：?.5=-q-=2,

2a

.?.4q+/?=0,故①正確.

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)x=3時，y>0,即9〃+3人+。>0,

/.9a+c>-3b,故②正確.

;拋物線與x軸的一個交點為(-1,0),

:?a-b+c=O

又,：b=-4a,

/.a+4a+c=0,KPc=-5a,

：.7a-3b+2c=7〃+12。-10。=9m

?拋物線開口向下，

：.a<0,

：?7a-3Z?+2c<0,故③錯誤;

??,拋物線的對稱軸為x=2,C(7,>3),

:.(-3,*).

V-3<-A,在對稱軸的左側(cè)，

2

隨x的增大而增大，

；.yi=y3<)%故④錯誤.

方程a(x+1)(x-5)=0的兩根為x=-1或x=5,

過y=-3作x軸的平行線，直線)，=-3與拋物線的交點的橫坐標(biāo)為方程的兩根,

依據(jù)函數(shù)圖象可知：%i<-\<5<X2,故⑤正確.

故答案為①②⑤.

17.(4分)如圖，矩形A8C。中，AB=5,8C=8,點P在A8上，AP=1.將矩形A8CC

沿CP折疊，點B落在點￡處.B'P、B'C分別與AQ交于點E、F,則EF=_婁一

【分析】過P作PGLCQ于G,交.CB'于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AQ=PG=BC=8,

OG=AP=1,求得CG=PB=4,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/BCP=/PCH,根據(jù)平行線的性

質(zhì)得到N”PC=/PCB,等量代換得到/HPC=NPCH,求得HP=CH,設(shè)HG=x,則

CH=PH=8-X,根據(jù)勾股定理得到C4=P”=5,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：過P作尸GLCC于G,交CB'于H,

則四邊形ADGP和四邊形PBCG是矩形，

：.AD=PG=BC^S,DG=AP=\,

???CG=PB=4,

??,將矩形ABC。沿CP折疊，點8落在點夕處,

:?/BCP=/PCH,

,:PG〃BC,

：.ZHPC=ZPCB,

:?/HPC=/PCH,

:,HP=CH,

設(shè)〃G=x,則CH=PH=8-x,

\UHG2+CG2=CH2,

AX2+42=(8-x)2,

；.x=3,

:*CH=PH=5,

"."HG//DF,

:.△CHGsXCFD、

?CH=CG=jK_

??加CDDE,

?_L=A=J_

*'CF~5Df

;.CF=毀，。/=正,

44

：.B'F=L,

4

,:NB'=/￡>=90°,ZEFB'=NDFC,

EFS^DCF,

.B，F(xiàn)=EF

DFCF(

7

.7EF

?,運—瓦’

VV

：.EF=^-.

12

故答案為：35.

12

B'

18.（4分）已知有理數(shù)“Wl,我們把'為。的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是'=-1,-

1-a1-2

1的差倒數(shù)是一如果0=-2,及是G的差倒數(shù)，43是。2的差倒數(shù)，?4是43

1-（-1）2

的差倒數(shù)…依此類推，那么〃1+〃2+???+。100的值是-7.5

【分析】求出數(shù)列的前4個數(shù)，從而得出這個數(shù)列以-2,1,3,依次循環(huán)，且-2+1

3232

=-工，再求出這100個數(shù)中有多少個周期，從而得出答案.

6

【解答】解：-2,

這個數(shù)列以-2,-1,旦，依次循環(huán)，且-2+工4=-工

32326

V100-r3=33-l,

.,.“1+42+…+ai（x）=33X（-—））-2=--7.5,

62

故答案為-7.5.

三、解答題（本大題共7小題，共78分，寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）

2

19.（10分）先化簡：（旦-”+1）--4a+4,并從0,,b2中選一個合適的數(shù)作為

a+1a+1

。的值代入求值.

【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化筒題目中的式子，然后在0,-1,2中選一個使

得原分式有意義的值代入即可解答本題.

2

【解答】解：Q-4a+4

a+1a+1

-_3-----（-a---l-）--（-a-+--l-）-?----a-+-1---

—(2+a)(2-a)

_2+a

一a-2'

當(dāng)〃=0時，原式=_2+0=].

0-2

20.（10分）如圖，一次函數(shù)y=kx+b�）與反比例函數(shù)曳Q戶0）的圖象在第一象

x

限交于A、B兩點，A點的坐標(biāo)為（m,4）,8點的坐標(biāo)為（3,2）,連接OA、OB,過8

作5。，），軸，垂足為￡>,交OA于C.若OC=C4,

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）求△A08的面積；

（3）在直線8。上是否存在一點E,使得△AOE是以A。為直角邊的直角三角形，直接

寫出所有可能的E點坐標(biāo).

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進而確定出點A的坐標(biāo)，再用

待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

（2）先求出02的解析式，進而求出AG,用三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

（3）分兩種情形分別討論求解即可解決問題.

【解答】解：（1）；點B（3,2）在反比例函數(shù)y=包的圖象上，

x

."=3X2=6,

...反比例函數(shù)的表達式為），=旦，

X

???點A的縱坐標(biāo)為4,

..?點A在反比例函數(shù)尸反圖象上，

X

.?.A（旦，4）,

2

，3k+b=2

?e-53，

yk+b=4

b=6

，一次函數(shù)的表達式為y=-&+6；

3

（2）如圖1,過點A作AF_Lr軸于/交08于G,

,:B(3,2),

直線0B的解析式為)，=&,

3

：.G(旦，1),A(3,4),

22

：.AG=4-1=3,

S^AOB=S/\AOG+S^ABG=-^-3X3=—.

22

?.,點A（旦，4）,

2

直線AC的解析式為產(chǎn)當(dāng)，

3

...直線0E1的解析式為y=-當(dāng),

8

當(dāng)y=2時，x=-西，

3

：.E\（-里2）；

3

②當(dāng)NOAE2=90°時，可得直線AE2的解析式為y=-當(dāng)+逗，

816

當(dāng)y=2時，

6

:.El（92）.

6

綜上所述，滿足條件的點E坐標(biāo)為（-」四，2）或（里，2）.

36

21.（11分）隨著初三同學(xué)體考的結(jié)束，初二年級大課期間開始對跳繩、實心球和立定跳遠

這三項運動進行專項訓(xùn)練，為了了解同學(xué)們對這三項訓(xùn)練技巧的掌握情況，學(xué)校體育組

抽取了若干名學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為了四類：掌握3項技巧的為A類，掌握

2項技巧的為8類，掌握I項技巧的為C類，掌握。項技巧的為。類，并繪制了如圖兩

幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

（1）被調(diào)查的學(xué)生一共有50人;

（2）請補全條形統(tǒng)計圖，若初二年級共有2500名學(xué)生，則初二年級大約有250名學(xué)

生已掌握3項訓(xùn)練技巧；

（3）A類的5名同學(xué)中有且僅有2名來自同一個班，現(xiàn)A類的5名同學(xué)中隨機抽取2名

同學(xué)來分享經(jīng)驗，用樹狀圖或表格法求抽到的兩個人恰好來自同一個班的概率.

【分析】（1）用O的人數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的學(xué)生數(shù)；

（2）用總?cè)藬?shù)減去其他類別的人數(shù)，求出C類的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖；再用總?cè)藬?shù)乘以已

掌握3項訓(xùn)練技巧的人數(shù)所占的百分比即可：

（3）根據(jù)題意先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，繼而根據(jù)概率

公式計算可得.

【解答】解：（1）被調(diào)查的學(xué)生一共有8?16%=50（人）；

故答案為：50；

（2）C類的人數(shù)有:50-5-16-8=21（人），補全統(tǒng)計圖如下:

學(xué)生掌握訓(xùn)練技巧的人數(shù)條形統(tǒng)計圖

2500X_L=250（人），

50

答：初二年級大約有250名學(xué)生已掌握3項訓(xùn)練技巧;

故答案為：250；

（3）將同一個班的2名學(xué)生均記為4,其他記為8、C、D,

列表如下：

AABCD

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

A(A,A)(B,A)(C,A)(￡),A)

B(A,B)(A,B)(C,B)(Q,B)

C(A,C)(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)(A,D)QB,D)(C,O)

由表可知，共有20種等可能結(jié)果，其中所抽取的2名學(xué)生恰好來自同一個班級的有2種

結(jié)果，

所以所抽取的2名學(xué)生恰好來自同一個班級的概率為2=2.

2010

22.（11分）在''扶貧攻堅”活動中，某單位計劃選購甲、乙兩種物品慰問貧困戶.已知甲

物品的單價比乙物品的單價高10元，若用500元單獨購買甲物品與450元單獨購買乙物

品的數(shù)量相同.

①請問甲、乙兩種物品的單價各為多少？

②如果該單位計劃購買甲、乙兩種物品共55件，總費用不少于5000元且不超過5050

元，通過計算得出共有幾種選購方案？

【分析】①設(shè)乙種物品單價為x元，則甲種物品單價為（x+10）元，由題意得分式方程,

解之即可；

②設(shè)購買甲種物品y件，則乙種物品購進（55-y）件，由題意得不等式，從而得解.

【解答】解：①設(shè)乙種物品單價為x元，則甲種物品單價為（x+10）元，由題意得：

500=450

x+10-x~

解得x=90

經(jīng)檢驗，x=90符合題意

甲種物品的單價為100元，乙種物品的單價為90元.

②設(shè)購買甲種物品y件，則乙種物品購進（55-y）件

由題意得：5000^100^+90（55-y）W5050

解得5Wy<IO

共有6種選購方案.

23.（12分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點。落在8c邊上的點E處，過點E作

66〃。。交4尸于點6,連接。G.

（1）求證：四邊形EFCG是菱形；

（2）探究線段EG、GF、A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若AG=6,EG=2加，求BE的長.

【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明從而得到GD=

DF,接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；

（2）連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)可知GF_LDE,OG=OF=1.GF,接下來,

2

證明△COFS^AQF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF1=FO'AF,于是可得到GE、AF、

FG的數(shù)量關(guān)系；

（3）過點G作GHLOC,垂足為H.利用（2）的結(jié)論可求得FG=4,然后再△AOF中

依據(jù)勾股定理可求得A。的長，然后再證明△FG4s△以Q,利用相似三角形的性質(zhì)可求

得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.

【解答】解：(1)證明：'.,GE//DF,

:.NEGF=NDFG.

?由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

：.ZDGF=ZDFG.

：.GD=DF.

:.DG=GE=DF=EF.

四邊形EFDG為菱形.

(2)￡G2=AGFMF.

2

理由：如圖1所示：連接。E,交AF于點0.

?.?四邊形EFDG為菱形，

J.GFLDE,0G=OP=』GF.

2

,：ZD0F=ZADF=90°,Z0FD=ZDFA,

:.ADOFsAADF.

ADF_^F0；即D^^FO'AF.

AFDF

?：F0=^.GF,DF=EG,

2

2

(3)如圖2所示：過點G作G”_LDC,垂足為從

"：EG2=^GF'AF,AG=6,EG=2旄，

.\20=AFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

2

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

,:DF=GE=2疵,A尸=10,

,AD=yAF之-DF2=4旄.

'：GH±DC,ADLDC,

J.GH//AD.

:ZGRS^FAD.

?GHFGGH_4

??=fap」nJ___-.

ADAF4>/510

：.GH=

5__

：.BE=AD-G”=4遙-1275

55

24.(12分)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=好2+或+3(〃W0)與x軸交于

A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖②，若點。是拋物線上一動點，設(shè)點。的橫坐標(biāo)為，〃(0<根<3),連接CD,

BD,當(dāng)△BCQ的面積等于aAOC面積的2倍時，求他的值；

(3)拋物線上是否存在點尸，使NCBP+/ACO=/A8C?若存在，請求出點P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

圖①圖②

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;

2

(2)由△BC。的面積=SAOEC+SAOEB=4DEXB0=1_X3X(-ln+2m+3+m-3)=2

22

xl,即可求解；

2

(3)當(dāng)點尸在BC上方時，證明NOCA=NOC”，求出直線PB的表達式為y=-3(x

-3),即可求解；當(dāng)點P在8c下方時，同理可得P8的表達式為y=-上+l,進而求解.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y—a(x-xi)(x-X2)=a(x+1)(x-3)=a(x2

-2x-3),

故-3〃=3,解得a--1,

故拋物線的表達式為y=-/+2x+3①；

(2)由拋物線的表達式知，點。(0,3),

△AOC面積=X4O?CO=2X1X3=旦，

222

由點B、C的坐標(biāo)得，直線8c的表達式為y=-x+3,

過點D作y軸的平行線交BC于點E,

設(shè)點。(.m,-m2+2m+3),則點ECm,-m+3),

則△BC。的面積=S"EC+SADEB=2￡>EXBO=2><3><(-m2+2m+3+m-3)=2x2,

22