2024屆溫州高三一模數(shù)學試題含答案

機密★考試結束前

溫州市普通高中2024屆高三第一次適應性考試

數(shù)學試題卷2023.11

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上.將

條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點

涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.

選擇題部分(共60分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合〃={xwR|三瞪40},則〃nz=(▲)

A.{21,22}B.{20,21,22)C.{20,21,22,23}D.{xeR|204x<23}

2.設復數(shù)z對應的點在第四象限，則復數(shù)z-Q+i)i°°對應的點在(▲)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.動點MQj)到定點f(T,0)的距離與M到定直線/:x=-至的距離的比等于2,則動點〃的

45

軌跡方程是(▲)

A.=+亡=1B.占+己=1C.金+蘭=1D.丈+==1

25925162592516

4.已知向量。=(0,4),A=(-3,-3),則a在6上的投影向量的坐標是(▲)

A.(-2,-2)B.(2,2)C.(0,-3)D.(0,3)

5.已知離散型隨機變量X的分布例如下表所示.

Xaa+1a+2

P0.40.20.4

則O(X)=(▲)

A.0.4+ciB.0.8+aC.0.4D.0.8

數(shù)學試題卷第1頁共4頁

6.若函數(shù)〃乃=25皿西-券工€［0,，的值域為［-百,2］,則。的取值范圍是（▲）

A.弓,4］B.［消C?居］4,學

7.已知｛4｝為等比數(shù)列，則“。2024=1”是“。「。2…-4047F，〃是任意正整數(shù)”的

（▲）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

8.如圖，所有棱長都為1的正三棱柱ZSC-Z/iG，BE=2EC,點

尸是側棱44］上的動點，且萬=2訪，H為線段網(wǎng)上的動點，

直線can平面超G=M,則點M的軌跡為（▲）

A.三角形（含內(nèi)部）

B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分

D.球面的一部分

第8題圖

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2

9.在一次數(shù)學考試中，某班成績的頻率分布直方

圖如圖所示，則下列說法正確的是（▲）

A.圖中所有小長方形的面積之和等于1

B.中位數(shù)的估計值介于100和105之間

C.該班成績眾數(shù)的估計值為97.5

D.該班成績的極差一定等于40

10.已知平面aCl平面4=m,則下列結論一定正

確的是（▲）

A.存在直線au平面a,使得直線a_L平面6

B.存在直線au平面a,使得直線a〃平面￡

C.存在直線au平面a,直線bu平面力，使得直線a_L直線6

D.存在直線au平面a,直線6u平面夕，使得直線a〃直線6

11.若圓C與直線3x-4y-12=0相切，且與圓-2x+/=o相切于點4（2,0）,則圓C的半徑

為（▲）

53

A.5B.3C.-D.—

34

數(shù)學試題卷第2頁共4頁

12.定義在R上的函數(shù)，(x)的導函數(shù)為/'(x),對于任意實數(shù)x,都有/(T)+e2，/(x)=0,且

滿足2/(x)+/'(x)=2,則(▲)

A.函數(shù)尸(x)=e"(x)為奇函數(shù)

3

B.不等式的解集為(0,山2)

p.

C.若方程/(x)-(x-a)2=0有兩個根內(nèi)/2,則玉+工2>2々

D./(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=4x

非選擇題部分(共90分)

三'填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上

13.-已知sin63°=a,則sin333°=▲(用a表示).

14.j+(1-.

15.與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為不

且彳/=1,則它的內(nèi)切球的體積為▲.

16.斜率為1的直線與雙曲線E：W-4=l(a>0,6>0)交于兩點是E上的一點，滿足

a1bl

ACLBC,△OZC,AOBC的重心分別為P,0,A45c的外心為R,記直線。尸,O0,OH的斜

率為左,0,&，若占&&=-8,則雙曲線E的離心率為▲.

四、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步躲.

17.(本小題滿分10分)已知四棱錐尸-488的底面4BCD為等腰梯形，AD//BC,^BAD=~,

4

AD=2BC=4,PB1YffiABCD.

(1)求證：AP1CD；

(2)若四棱錐P-”8的體積為2,求平面PCD與平

面尸C8夾角的余弦值.

D

第17題圖

18.(本小題滿分12分)設A48c的三個內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,且。=工.

?3

(1)若a+b=l,求c的最小值；

(2)求cos/+cos8-cos土包的值.

2

19.(本小題滿分12分)等差數(shù)列｛(｝的前〃項和為S〃，W=3,S5=$4+S3.

(1)求工；

(2)記7；為數(shù)列｛，｝的前〃項和，若3=13,且｛JS.+7；｝是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)

列也｝的通項公式.

i-l

20.(本小題滿分12分)已知f(x)=ex(x>0).

(1)求導函數(shù)/'(x)的最值；

(2)試討論關于x的方程/(》)=丘">0)的根的個數(shù)，并說明理由.

21.(本小題滿分12分)已知拋物線/=”的焦點為尸，拋物線上的點4(x。,%)處的切線為/.

(1)求/的方程(用曲，玲表示)；

(2)若直線/與y軸交于點3,直線u與拋物線交于點C,若4。為鈍角，求為的取值

范圍.

22.(本小題滿分12分)某電子器件由若干個相同的電子模塊構成，每個電子模塊由4個電子

元件按如圖所示方式聯(lián)接，其中每個電子元件導通的概率均為0.9.

第22題圖

(1)求每個電子模塊導通的概率P(保留兩位有效數(shù)字)；

(2)已知某電子器件由20個相同的電子模塊構成，系統(tǒng)內(nèi)不同電子模塊彼此獨立，是否導

通互不影響，當且僅當電子器件中不低于50%的電子模塊處于導通狀態(tài)時，電子器件

才能正常工作.若在該電子器件中再添加兩個相同的電子模塊，試判斷新電子器件較

原電子器件正常工作的概率是增加還是減小？請說明理由.

瓶。百麗必F4京4+，石

一、選擇懣：本大題共8小即,每小題5分，共'40分.

rionenwullUMWSL

13.；14.82；15y-;16.y/3

3

線而乖白：一線線垂口：一線而垂直一線或乖百

17.解：（1）?.?P5J_i?ASC7X.?.必1.CZ）,.................1分

JT

過點B作BH〃CD,由ABCD為等腰梯形,ZBAD=

4

冗兀

故ZBHA=Z.BAD=-,4BH=—,即ABA.BH，即ABLCD,……2分（合計3分）

42

.?.CD_L面R4B,"J_CD.....................................1分（合計4分）

線而漁白一而而近直一線而乖自一線線近百

解：（1）?.,尸8_1面488，二.平面K4B_L平面48co................1分

過點B作BH//CD,由ABCD為等腰梯形,ZBAD=-

4

萬幾

故ZBHA=ZBAD=—,ZABH=—，即BH1AB,?.….2分（合計3分）

42

'…—―z

…14冷訂4分

D?IId

如圖，建立空間直角坐標系,

B(0,0,0),C(V2,-V2,0).D(2>/2,-V2,0),

設尸（0,0,〃），則麗二（e,0,0）,CD向量正確1分

萬=(0,-6,p),2分（合計3分）

CD^AP=0,:.CD±AP

注意第一步建系不單獨給分

y

分

(2)Kr-AAo?\r,Dn=-3SPB=2,-.-S-3,：.PB=21

如圖，建立空間且角坐標系，8（0,0,0）,。（力,-血,0）,以2亞,-0,0）建系…1分（合計2分

設尸（0,0,2）,面PC。法向量為7,則左五=0,皮扇=0,

得m=(0,立1)

同理，設面尸8C法向量為兀則無i=0,而￡=0,而=（力,-e,0）,

得〃（1,1,0）.（有求法向量思想1分，法向量有一個正確就得1分）.2分（合計4

C/

由題意，cos〈孫〃>=上二-=一二尸=走（面面角公式1分，紡/行1……,

川6分）

|w||n|V3-V23b

江總；答案錯快，E能得3分（建系、求法向能思想、求布公式）F

1分

⑵VP.ABCD--S-PB-2,?/S=3,/.PB-2

?/PB±而438平面依C_L平面48s

過D作。"_L3C,則DH1平面PBC垂足為“，（找面垂線）1分（合計2分）

過〃作PC的垂線,垂足為E,連DE,

則NDE”為所求二面角夾角的平面向（找角）2分（合計4分）

6

DH=\,HE=—(有

2

叵

HE

cosZDF77=—=

DE5

解：(1)由余弦定理知c"=a?+/-2a6cos工步驟1：用余弦定理解讀條件，2分

3

方法1：J="+及-ab=4-3ab

*(4+6)2一3^)=1

步驟2：用基本不等式或消元化二次

方法2：c2-a2-￥~aba2+(\-a)2-a(l-a)函數(shù)求得下界，2分

=3a2-3a+l=3(a--)2+-^-

244

所以當a二〃=1時取薦號，此時AABC為正三角形

22

步驟3：等號成立的條件交待，1分

綜上，c的饌小值為1.

2

(2)方法1，因為a+8="-C=2，

3

2"2小竺小加

所以原式=cosA+cos(-^--A)-cos(——步驟1：消元,3分(其中得到A+B=2TT/3有1分)

=cosA+^-—cosA+—sinA-COS(>1-g)

22

步驟2:利用和差角正余弦公式展開

-cosX+—sin>l—cos月-----sinA=0化簡計算得到笞案，4分

2222

步驟2注：1、寫對答案6沒白過程或過程有錯，給2分

2、答案有錯,過程中行用對公式,給2分

方法2：因為乂+6=萬一。=半，步驟1：得到A+B=2TT/31分

原式=2cos土藝cos土衛(wèi)-cos土/

222

步驟2：利用和差公式化簡計算得到答案，6分

A—BA—B

二cos------cos-----

22步驟2注：和年化積公式運用正確?結果N算有錯給3分

-0

19.（本題本分12分）

等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，%=3,55=84+83.

（1）求斗；4分

（2）記7：為數(shù)列應｝的前〃項和，若4=13,且｛圖團｝是以2為公差的等差數(shù)

列，求數(shù)列應｝的通項公式.8分

（1）解一：設等差數(shù)列｛《｝的公差為d,則用二4+^=？，由$5=54+83可得

2（\~d,解得q;1,d=2,...............2分

故S“=〃+也牛?=".................4分

解二：由S§=S4+S3得%=3電=9,則]=美a=2,.............2分

故4=?+（弁—2）a=2〃_i,貝gs“二7，.............4分

說明：不論采用哪種方法，有適當?shù)倪^程得出邑=〃2的都給4分；

（2）若用二川結果錯誤，但得出4=1或〃=2就給2分（兩者都正確也給2分）.

（2）解一：由題意知后忑一何正=2,............6分

則J17+&-正五'=2,移項平方得^7^=3,則4=8...........8分

可得卜/&+]｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，則瘋軌=2”+1,可得

3

S?+7；）=（2H+1）,則4=34+4〃+1,.............10分

故4Tx；

解二：由題意可設心,+，=2〃+g(4是常數(shù)),6分

[J1+4=2+4

則;______，平方相減可得g=l,................8分

[J17+A=4+q

則離軌=2n+l,可得Sn+7；=(2〃+l)2,

則4=3/J+4〃+1,...............10分

18,n-\

故3篇+1”2…12分

說明：(O有類似表示公差為2的式子都給2分,如+T)~+.=2、

—

Jsn+MJs”_i+北==2、^Sn+Tn=2"+q等;

(2)如果寫成4=6九+1,而對A=8沒有討論扣1分.

第(1)問6分

1-1(1\

解：⑴Vf'(x)=ex—,記g(x)=/'(x)....2分

lx)

11--(-2)?---1—2x

：?g'(x)=eY—+ex?—=ex———2分

解得：x=L

2

當xw(0,g)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當xw(；,+8)時，g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減,

2分

注；①一階導數(shù)正確給2分，二階導致正確再給2分，最大值計算2分；

②二階求導的2分，只要求導法則運用正確，沒有做整理也給2分：

③最大值計算的2分主要看結果，結果'錯誤，2分就沒有。?

第(2)間6分

方法1：由/(x)=Ax,即e'、=fcc，即—......2分

令左(￥)=￡—,/.k\x)=-?由％'(x)=0解得：x=l

XX

，Mx)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，爆略(x)=k⑴=1,且以x)>0.....2分*

所以：當人>1時，方程無解.；當〃=1時，方程有1個解；當0<%<1時，方程有2個解。.....2分

注：①變量分離2分，函敷九(x)的性質(zhì)分析2分，結果討論2分；

②函4U(x)的性質(zhì)分析的2分關鍵是看求導，求導正確就可以給2分，

最大位是否計算正確不在這2分中體現(xiàn)，在結果討論的2分中體觀；

③結果討論的2分，三種情況討論完整的給2分，不完終的酌情扣掉1分。

方法2：[tlf(x)—kx,即e*=kx、即％=—......2刀

X

令1=/€(0,+6),/。)=於1,.?./'?)=(IT)/',由/'。)=0解得：1=1

X

.../(，)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+o。)上單調(diào)遞減，；./01axQ)=/(I)=I,且/?)>o.....2分

所以：當％>1時，方程無解；當k=1時，方程有1個解；當0<無<1時，方程有2個解。......2分

注:①變量分離2分，甬數(shù)Q)的性質(zhì)分析2分，結果討論2分；

②函數(shù)/⑺的性質(zhì)分析的2分關鍵是看來導，求導正確就可以洽2分，

最大值是否計算正確不在這2分中體現(xiàn)，在結果討論的2分中體現(xiàn)；

③結果討論的2分，三種情況討論完整的洽2分，不完整的酌情扣掉1分。

方法3

由/(x)=fcv,即e'-；=Ax,兩邊取對數(shù)得：l--=ha+ln.v,即ln&=l-L-lnx2分

XX...............

令/J(X)=I-L-lnx,所以由力'(.\,)=17-1==^=0,解得x=l

XXXX'

當xw(0,l)時，h\x)>0,6(x)單調(diào)遞增，當xe(L+x))時，"(x)<0，A(x)單調(diào)遞減

所以〃.。)=力0)=0......2分

M1h\k>0,即k>l時,方程無解?

當ln*=0,即/=1時，方程TTI個解：、

'IlnkvO,即0<太<1時，方程有2個解。......2刀

注：①變受分離2分，函數(shù)秋的性質(zhì)分析2分,結果討論2分：

②函數(shù)秋x)的性質(zhì)分析的2分關鍵是看求導，求導正確就可以給2分，

最大值是否計算正確不在這2分中體現(xiàn)，在結果討論的2分中體現(xiàn)；.

③幼果時論的2分，三種情況討論完整的給2分，不完整的的惘扣掉1分0.

21.解法I：⑴拋物線￡：--4y即)，=］所以，/L8的斜率為％」與，2分用求導的方法踩分點為

42(D求得斜率2分，

所即心⑵寫出正確的直線方程2分

所以,心)-必Jy-產(chǎn)一加4分⑶的方程不正確，寫了點斜式給

1分

(4)馥方程寫成y=gx°x-斗

也再寸的.

21.解法2：(1)設切線方程為丁-%=左。-.%),與拋物線E:P=4y聯(lián)立得,

用直線與拋物線的位置關系踩分點

(1)聯(lián)立方程寫出判別為零2分，

X?-4Ax+4飆-4%=0,(*)(2)求得斜率1分

(3)直線方程正確1分，點斜式這里

因為直線與拋物線相切，故方程(*)的判別式

不記分，已歸到(1)中.

2

△=16Z:-16fcrc+16%=02分

即△二1必；16a+4*=0,解得〃=￡,3分

所以，/8:y-yo=；%(x-%),即y=；與x-%.4分

(2)易知F(0J).8(0,-v“，'分第(2)小題的踩分點

(1)求出焦點坐標1分；

設直線//-：y=h+l,C(4H),(2)聯(lián)立方程到韋達定理2分；

(3)將鈍角轉化為代數(shù)形式或向量形

代入拋物線方程得!-4fe-4=0.

x式1分；

故5飛--4..%?一吟7,7分(4)有消元思想或單變量思想，式子

錯誤給1分，答案正確給2分；

因為4cs為鈍角，(5)結果正確2分

所以而?而<0,8分

即(_演X-X)+0-M)(-%-M)=￥-%-乂+JiM+W<0，

即3匕-工+】+/<0，<*>

因為%>0.不等式(?)4+3.彳+丹-】<010分

即(?+IX.v,+1-&)(_%+1+后)<0，

解得〈正-1,所以.%>也+112分

22.

(1)該電子模塊導通即電子1、4必須導通且電子23至少要有一個導通........2分

所以p=0.92(I-ofb0,8019?0.8......2分

①答案正確,基本有過程給4分

②答案錯，有過程，過程不論是文字敘述還是式子表達，都給2分

③只有一個正確答案，無任何過程，給2分

"Ten去一心》為族胡子潮伶中符動的子模塊留個數(shù).乂~8(24p).削薪電子器件正常工作期原電子耦件中至

少有11個里子摸埃導陰；或者原電子爵件中怡韋'1。個電子根塊易通，且新加入的兩個根境至少有一個好通；或分類2分

表原電子靜件中恰得9個根坎身通.且新加入的菊個根塊尋遍.

設事件才:%電字被件不己■看;不電子噴塊號通,,則P(4)=P(X211)=P(XN10)-P(X=10)

事件8天原電子皤件中恰有10個模塊導通,且新加入的梗塊至少有一個模塊導通,事件

的

野JP(8)=P(X=10)(1-(1-p)?)A,B,C

概率2分

事件C=r原電子翱件恰有9個模塊導道.且新加入的模塊兩個擲導通"則p(C)=P(X=9),P?

舜滬(新電子器件正常工作)RP(4)+P(B)+P(C)

=P(Xa10)-P(XH10)+P(X=10)(1-(1-p)2)+P(Xn9)?/

艾；中(微苞手醬柞芷忸工作)=戶(x210)~~*'

做差式子出

??戶脩電子踞件正常工作)-P(原電子健件正常工作)

現(xiàn)并正確

鋰-P(X腔10)+P(X=10)<1-(J-p)2)+P(X=9),/?^(**10)[-(1-^)4+。4=?9加22

分

=或"a-p)”/~丁*(1」嚴(1r—

=/P”(I_p)“-CjMWl-p嚴=pe(l_p)U[C%p_C/0_p)j|化簡正確并

―叫費昂-禹分/aw島(EWd時結果正確2

所以再添加溝個電子模塊,新鼎子器件軟原電子輯件正常工作的利率塌大.|」分

方法(-)評分標準

第2間總共8分，分四個部分，每部分2分

C南新電子器件正常工作分為3種情況即事