考研線性代數(shù)知識點全面總結(jié)

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式1．行列式的定義：用個元素組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；2．行列式的計算一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n3）行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。特殊情況：上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；行列式值為0的幾種情況：Ⅰ行列式某行（列）元素全為0； Ⅱ行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例； Ⅳ奇數(shù)階的反對稱行列式。3.概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式、代數(shù)余子式 定理：一個排列中任意兩個元素對換，改變排列的奇偶性。 奇排列變?yōu)闃藴逝帕械膶Q次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。 n階行列式也可定義：，t為的逆序數(shù)4.行列式性質(zhì)： 1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號。若有兩行(列)相等或成比例，則為行列式0。 3、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一個數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和。（按行、列展開法則） 7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.5.克拉默法則：：若線性方程組的系數(shù)行列式，則方程有且僅有唯一解。：若線性方程組無解或有兩個不同的解，則系數(shù)行列式D=0.：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則其沒有非零解。：若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D=0。6. ， 范德蒙德行列式 ,，（兩式要會計算）范德蒙德行列式 題型：Page21（例13）第二章、矩陣1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2．矩陣的運算（1）加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB＝BA，稱A、B是可交換矩陣）；②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；③若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；④|kA|=*|A|。只有方陣才有冪運算。（3）轉(zhuǎn)置：（kA）T=kAT，（4）方陣的行列式：，，（5）伴隨矩陣：，，的行元素是A的列元素的代數(shù)余子式（6）共軛矩陣：，，，（7）矩陣分塊法：，3．對稱陣：方陣。對稱陣特點：元素以對角線為對稱軸對應(yīng)相等。3．矩陣的秩（1）定義：非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；（2）秩的求法：一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。（3）0≤R()≤min{m,n} ； ；若，則R(A)=R(B) ； 若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B) ；若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}4．逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若AB＝BA＝I，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；（2）性質(zhì)：，；(AB的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件：①|(zhì)A|≠0；②r(A)=n;

③A->I;（4）逆的求解：eq\o\ac(○,1)伴隨矩陣法；②初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:）（5）方陣A可逆的充要條件有：eq\o\ac(○,1)存在有限個初等矩陣，…，，使 eq\o\ac(○,2)第三章、初等變換與線性方程組1、初等變換：eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)性質(zhì)：初等變換可逆。等價：若A經(jīng)初等變換成B，則Ａ與Ｂ等價，記作 等價的充要條件：eq\o\ac(○,1)R(A)=R(B)=R(A,B)eq\o\ac(○,2)的矩陣Ａ、Ｂ等價存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。PA=B矩陣A中有某個S階子式不為0,;矩陣A中t階子式全為0,;2、線性方程組解的判定定理：(1)

無解；有唯一解；

有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0，(1)

只有零解；(2)

有非零解；再特別，若為方陣，(1)|A|≠0

只有零解；(2)|A|=0

有非零解3、齊次線性方程組（1）解的情況：r(A)=n只有零解 ；r(A)<n有無窮多組非零解。（2）解的結(jié)構(gòu)：。（3）求解的方法和步驟：①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；②寫出對應(yīng)同解方程組；③移項，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；④表示出基礎(chǔ)解系；⑤寫出通解。（4）性質(zhì)：eq\o\ac(○,1)若和是向量方程Ax=0的解，則、也是該方程的解。eq\o\ac(○,2)齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。eq\o\ac(○,3)若，則n元齊次線性方程組A*x=0的解集S的秩。3．非齊次線性方程組（1）解的情況：eq\o\ac(○,1)有解R(A)=R(A,b)。eq\o\ac(○,2)唯一解R(A)=R(A,b)=n。eq\o\ac(○,3)無限解R(A)=R(A,b)＜n。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+。（3）無