數(shù)學(xué)多選題知識歸納總結(jié)含答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.一般地，若函數(shù)“X)的定義域為可，值域為［她煙，則稱為的"左倍跟隨區(qū)間";

若函數(shù)的定義域為［。,可，值域也為［a,句，則稱［a,可為/(X)的"跟隨區(qū)間".下列結(jié)論正

確的是()

A.若［1,“為"％)=加—2%+2的跟隨區(qū)間,則6=2

B.函數(shù)/(x)=l+」存在跟隨區(qū)間

X

C.若函數(shù)〃x)=w—GTT存在跟隨區(qū)間，則〃ze(一；,0

D.二次函數(shù)J.(x)=—存在"3倍跟隨區(qū)間"

【答案】ABCD

【分析】

根據(jù)"k倍跟隨區(qū)間"的定義，分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.

【詳解】

對A,若［1,可為/(x)=d-2%+2的跟隨區(qū)間，因為/(x)=1?一2x+2在區(qū)間［1,b］為增

函數(shù)，故其值域為—%+2］,根據(jù)題意有"—》+2=R解得6=1或力=2,因為力＞1

故/?=2.故A正確；

對B,因為函數(shù)/(尤)=1+：在區(qū)間(T&0)與(0,+8)上均為減函數(shù)，故若/(x)=l+j存

,11-V5

a=1+—a=-----

b2

在跟隨區(qū)間目則有＜解得：.

/i+5

b=\+-

a2

故存在,B正確.

對c,若函數(shù)“力=〃2-而1存在跟隨區(qū)間，因為/(尤)=6-J7TT為減函數(shù)，故由

b=m-y]a+l

跟隨區(qū)間的定義可知=a-b=J>+17b+l,a<b

a=in—J、+l

即(a-+l)=(a+l)-伍+1)=。一人,因為〃<b,所以Jq+1++1=1.

易得0<Ja+1<db+1<1-

所以a=J/?+l=加一(1一Ja+1)令/=Ja+1代入化簡可得/一/一小=o,同理

1=5幣也滿足『—，—m=0,即m=。在區(qū)間［0,1］上有兩根不相等的實數(shù)根.

1+4/77>0(1

故《八，解得加W—二,0,故C正確.

-m>0I4_

對D,若/(x)=-+x存在"3倍跟隨區(qū)間"，則可設(shè)定義域為可,值域為［3a,3句.當(dāng)

a<。K1時，易得/(x)=—+x在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時易得a,〃為方程

-^X2+X=3X的兩根，求解得x=0或x=-4.故存在定義域H，0］，使得值域為［-12,0］.

故D正確.

故選：ABCD.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)新定義的問題，需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最

大值時的自變量值，并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.

2.1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)第一個引入了現(xiàn)代函數(shù)概念：

“如果對于％的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么>是x的函數(shù)”.由此引

發(fā)了數(shù)學(xué)家們對函數(shù)性質(zhì)的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函數(shù)"：

l,x&Q

。(%)=《八:八(Q表示有理數(shù)集合)，關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的是()

A.。(幻是偶函數(shù)

B.Vxe/?,P(D(x))=l

C.對于任意的有理數(shù)都有。(x+/)=￡>(%)

D.存在三個點44。(光|)),3(々,。(工2)),。(毛，。(七))，使AABC為正三角形

【答案】ABCD

【分析】

利用定義判斷函數(shù)奇偶性，可確定A的正誤，根據(jù)"狄利克雷函數(shù)"及有理數(shù)、無理數(shù)的性

質(zhì)，判斷其它三個選項的正誤.

【詳解】

A：由。(X)定義知：定義域關(guān)于原點對稱，當(dāng)XG。則一xeQ,當(dāng)則一

即有。(一幻=。(幻，故。(x)是偶函數(shù)，正確；

B：由解析式知:VXGR,D(X)=1或D(x)=0,即。(。(幻)=1,正確；

C：任意的有理數(shù)f,當(dāng)xe。時，1+/€。即。(％+。=。(此，當(dāng)XGGRQ時，

x+fG6RQ即￡>(x+f)=O(x),正確；

D：若存在△ABC為正三角形，則其高為1,邊長為2叵，所以當(dāng)

3

4岑。)向?！?。字。)時成立，正確；

故選：ABCD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性判斷，結(jié)合新定義函數(shù)及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)判斷各選

項的正誤.

3.已知函數(shù)f(x)=2，+x-2的零點為。，函數(shù)g(x)=log2X+x-2的零點為力，貝ij

()

M22

A.a+b=2B.2+log2&=2C.a+b>3D.0<ah<\

【答案】ABD

【分析】

在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2',=log2%,y=2-x的圖象，圖像的交點即為函

數(shù)的零點，反函數(shù)的性質(zhì)知A,5關(guān)于點(1,1)對稱，進(jìn)而可判斷A,B,。正確.由函數(shù)

,f(x)在R上單調(diào)遞增，且/(1)>0,可得零點”的范圍，可得C不正確.

【詳解】

由〃x)=0,g(x)=O得2'=2-x，log2x=2-x,

函數(shù))，=2-'與y=log?x互為反函數(shù)，

在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2*,y=\og2x,y=2-x的圖象，如圖所示，

則A（a,2"）,B（b,log2b）.

由反函數(shù)的性質(zhì)知A,3關(guān)于點（1,1）對稱，

則a+b=2,2"+log28=2.因為a>0,b>0,且a1b,

/?\2

所以0<a〃<竺=1,故A,B,。正確.

2

^)=V2-1<0,/(1)=1>0,

因為/(x)=2、x-2在R上單調(diào)遞增，且/

所以L<a<i.

2

因為/+〃=/+(2一。)2=23-1)2+2(；<4<1),所以4+從小2,￡|,故C不正

確.

故選:ABD

【點睛】

方法點睛：通過畫函數(shù)圖象把零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，本題考查了運算能力

和邏輯推理能力，屬于難題.

4.函數(shù)/(X)的定義域為Q,若存在區(qū)間[〃筋仁。使/(X)在區(qū)間上上的值域也是

[m,n],則稱區(qū)間網(wǎng)同為函數(shù)“X)的"和諧區(qū)間"，則下列函數(shù)存在"和諧區(qū)間"的是

()

A./(x)=>/xB./(x)=x2—2x+2c.f(x)=x+—

D.7(x)=1

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意，可知若/(X)在區(qū)間上的值域也是[加,可，則/(X)存在"和諧區(qū)

r,ff(m]=mff(m]=n

間"機,〃，且加<〃，則]:/或:〉/,再對各個選項進(jìn)行運算求解

L」j[n)=n[/(〃)=根

…,即可判斷該函數(shù)是否存在"和諧區(qū)間

【詳解】

解：由題得，若“力在區(qū)間[孫川上的值域也是[n〃],則〃x)存在"和諧區(qū)

間,

可知，m<n,則《或

/(〃)=機’

f(m)=4m=mm=0

A：/(%)=Vx(x>0),若<解得:

/(n)=\fn=nn=1

所以〃力=?存在"和諧區(qū)間"[0,1]；

/(m)=m2-2m+2=m

B：/(x)=x2-2x+2(xe7?),若＜，解得:

/(n)=n2-2〃+2=〃n=2

所以=f-2x+2存在〃和諧區(qū)間〃[1,2]；

/(7??)=m-\—=m

C：/(x)=x+—(x^O),若＜m得:，故無解;

X/(〃)=〃+J=〃

-=O

、n

1

m-\——=n

m

/("?)-m-\——=n

mm_1m2+機+1

化簡得:

nr4-1nm(/7i2+1)

/(7?)=n+—=m

1

〃十一二m

n

即〃z2+m+l=0，由于△=f—4x1x1=—3v0，故無解;

若不成立

所以y(x)=x+L不存在"和諧區(qū)間"：

X

f(m]=—=n

〃町=!("0),函數(shù)在(O,+K)),(-8,O)單調(diào)遞減，則，m

D：不妨令

/(〃)=_=機

1

m=—

2,

n=2

所以〃x)=_L存在"和諧區(qū)間"1,2

X_乙

綜上得：存在"和諧區(qū)間"的是ABD.

故選：ABD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點等知識，解

題的關(guān)鍵是理解"和諧區(qū)間"的定義，考查運算能力以及函數(shù)與方程的思想.

5.下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的定義域為[1,3],則函數(shù)y=/(2x+l)的定義域為[0,1]

B.函數(shù)/(x)的值域為[L2],則函數(shù)的值域為[2,3]

C.若函數(shù)了=-/+公+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1,則。的取值范圍是

(0,3)

D.已知函數(shù)/(x)=,+3x],xeR,若方程/(同一小一1|=0恰有4個互異的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為(0,l)u(9,+s)

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)抽象函數(shù)定義域及代換的方法可求函數(shù)的定義域，判斷A,利用函數(shù)圖象的平移可判

斷函數(shù)值域的變換情況，判斷B,利用數(shù)形結(jié)合及零點的分布求解判斷C,作出函數(shù)

/(%)=,2+3乂與尸小一1|的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】

對于A,y=/(x)的定義域為[1,3],則由lW2x+l＜3可得＞=/(2x+l)定義域為

[0,1],故正確；

對于B,將函數(shù)/(x)的圖象向左平移一個單位可得函數(shù)的圖象，故其值域相

同，故錯誤；

對于C,函數(shù)丁=8(?=-/+以+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1只需

fg(2)＞0

\,八，解得0＜。＜3,故正確；

[g(-l)＞0

對于D,作出函數(shù)/(X)=卜2+3.與y=。以一1|的圖象，如圖，

由圖可以看出，時，不可能有4個交點，找到直線與拋物線相切的特殊位置a=1或

a=9,觀察圖象可知，當(dāng)0＜。＜1有4個交點，當(dāng)9＜a時，兩條射線分別有2個交點，

綜上知方程/(%)—4k一[=0恰有4個互異的實數(shù)根時，a?0,l)U(9,+?)正確.

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：對于方程實根問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，本題中，/(%)=|X2+3X|

圖象確定，而丫=。上一1|是過（1,0）關(guān)于龍=1對稱的兩條射線，參數(shù)。確定兩射線張角的

大小，首先結(jié)合圖形找到關(guān)鍵位置，即。=1時左邊射線與拋物線部分相切，。=9時右邊

射線與拋物線相切，然后觀察圖象即可得出結(jié)論.

6.設(shè)函數(shù)/（X）是定義在區(qū)間/上的函數(shù)，若對區(qū)間/中的任意兩個實數(shù)%,當(dāng)，都有

/（土上殳）w則稱/⑴為區(qū)間/上的下凸函數(shù).下列函數(shù)中是區(qū)間（1,3）上

22

的下凸函數(shù)的是（）

A.f（x）=-2x+\B./（x）=-|x-2|

c.f（x）=x3+5D.=

x-l

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，求得/（土產(chǎn)可判定A正確；根據(jù)特殊值法，

可判定B不正確；根據(jù)函數(shù)的圖象變換，結(jié)合函數(shù)的圖象，可判定C、D正確.

【詳解】

對于A中，任取內(nèi),々€（1,3）且不，則/（'；/）=-（%+々）+1，

，（"，；，區(qū)，=g（-2%+1-2X2+1）=-（%,+x2）+l,

可得/（七強）=/（"/土2）,滿足＜-"?。?，所以A正確；

對于B中，取玉=』,々=*，則%乜=2,

2-22

可得/（g）=/（?）=—；，所以/（*）；/（/）=_g,/（^±^）=/（2）=0,

此時/（A±A）＞/（%）+）（々）,不符合題意，所以B不正確；

22

對于C中，函數(shù)/（幻=犬+5,

由幕函數(shù)y=x3的圖象向上移動5個單位，得到函數(shù)/。）=丁+5的圖象，

如圖所示，

取演6（1,3）且用7々，由圖象可得/（土產(chǎn)）=打，/叫/兇=力，

因為為）＞先，所以1（］）；/在/,符合題意，所以是正確的；

32x+1

由函數(shù)y=3的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到/（x）=--------的圖

Xx-1

象，

如圖所示，取%,工2€（1,3）且不。/，由圖象可得/（七土0=汽，

/（X,）+/（X2）_

2=%'

因為為,>%，所以/（土產(chǎn)）<小。乂以，符合題意，所以是正確的；

本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及結(jié)合函

數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運算能力，屬于中檔試

題.

7.已知函數(shù)/（x）=X+Lg（x）=V+，?則下列結(jié)論中正確的是（

)

XX

A.7(x)+g(x)是奇函數(shù)B./(x)?g(x)是偶函數(shù)

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(x>g(x)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導(dǎo)可得D錯.

【詳解】

,-，f(X)+g(x)-X-\----Fx2H■--

XX

C19]1+X2+4

f(_%)+g(T)=----+(-x)~+Xd---

一XXX

???/(x)+g(x)=f(-x)+g(_x)

??.f(x)+g(x)是偶函數(shù),A錯;

/(x)-g(x)=X+J(尤2+5

???f(-x)-g(-x)=-x+--(-x)2+—

-X【(-。J出KT

???g(-X)=/(%)-g(x)

是偶函數(shù),B對;

vf(x)+g(x)^X+-+X2+^->2+2^4,當(dāng)且僅當(dāng)x=，和/=《時，等號成立,

XXXX

即當(dāng)且僅當(dāng)V=1時等號成立，C對；

/(X>g(x)=X+J(丁+!)

令”無+：(Z>2),貝1]/(尤)超(幻=八(『一2)=/一2，

，[/(x>g(x)]=3尸一2,令3r-2>0,得f>手或-當(dāng)

.?.d2時,/(x>g(x)單調(diào)遞增

，當(dāng)，=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)求最值等，對學(xué)生知識的運用能力要求較

高，難度較大.

i(x為有理數(shù))

8.函數(shù)/(幻=<則下列結(jié)論正確的是()

0(x為無理數(shù))

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)的值域是{0,1}

C.方程/(/(x))=x的解為X=1D.方程/(/(x))=/(x)的解為X=1

【答案】ABC

【分析】

逐項分析判斷即可.

【詳解】

???當(dāng)-X為有理數(shù)時，X也為有理數(shù)

，f(T)=l

???當(dāng)-X為無理數(shù)時，X也為無理數(shù)

/(-x)=0

,〃一)=P(x為有理數(shù))

.”-x)=[0(x為無理數(shù))

，x)=/(x)

.../*)是偶函數(shù)，A對；

易知B對：

???%=1時，/(/(D)=/(1)=1

，c對

/(/(x))=/(%)的解為全體有理數(shù)

D錯

故選：ABC.

【點睛】

本題綜合考查分段函數(shù)的奇偶性判斷、值域、解方程等，要求學(xué)生能靈活應(yīng)用知識解題，

難度較大.

9.太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相

對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A。的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓。的

一個"太極函數(shù)".則下列有關(guān)說法中，正確的是()

A.對于圓O：x2+y21的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=sinx+l是圓。：x2+(y—1)2=1的一個太極函數(shù)

Z,'-1

c.存在圓0,使得/(無)=三^是圓。的一個太極函數(shù)

D.直線(/〃+1)%-(2〃?+1)〉-1=0所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓。：

(x—2y+(y—1)2=R2(R>O)的太極函數(shù)

【答案】BCD

【分析】

利用"太極函數(shù)"的定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

【詳解】

對于A,如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且SJCE=S“PC。=S/OD=S.DFB，所以該函

數(shù)平分圓。的周長和面積，故A錯誤；

對于B,/(x)=sinx+l也關(guān)于圓心((),1)對稱，平分圓。的周長和面積，所以函數(shù)

/(x)=sinx+l是圓=1的一個太極函數(shù)；故B正確；

對于c,〃力=3=(d+1)-2=]_2,.

八)e*+le'+lex+l

xJL_i1A

e-_1x|_-

?,-/(-%)=---=———=——T=該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.

'e+11+11+e

所以存在圓。：f+,2=1使得/(力;]胃是圓。的一個太極函數(shù)，如下圖所示，故

C正確；

對于D,對于直線(〃2+1)%—(2m+l)y—1=0的方程，變形為

m(x-2y)+(x-y-l)=0,

x—2y—0x=2

令jx)；；—o'得直線(〃?+1)%-(2〃?+1)>一1=0經(jīng)過圓0的圓心，可以平

分圓。周長和面積，故D正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查函數(shù)對稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對稱性為解題的關(guān)鍵，考查推

理能力，屬于較難題.

10.已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足：/(x)+/(-x)=0,且當(dāng)為20時，

/(X)=/+%—/?.若+sinx))+/(-sinx)W。.在xeR上恒成立，則k的可能取

值為()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】CD

【分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到5MxM(2+sinx),再根據(jù)題意，利用檢驗法判斷即可.

【詳解】

因為定義在/?上的函數(shù)“X)滿足：/(x)+/(-x)=o,

所以/(x)為奇函數(shù)，

尤20時，/(x)=e"+x—匕，

顯然/(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以在R上單調(diào)遞增，

由f(k(2b+sinx))+，(-sinx)40恒成立，

可得/(sinx)../(-2+sinx))在R上恒成立，

即sinx./(2+sinx),

整理得：(1一攵)sinx..2Z

當(dāng)左=1時，022,不恒成立，故A錯誤；

當(dāng)k=0時，sinx>0,不恒成立，故B錯誤；

當(dāng)斤=一1時，sinx2-1,恒成立，故C正確；

4

當(dāng)人=一2時，sinx>一一，恒成立，故D正確.

3

故選：CD

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式恒成立問題，屬于中檔題.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.己知函數(shù)/(x)=sinox-asinx,xe[0,2?],其中a—lna>l,則下列說法中正

確的是()

A.若/(力只有一個零點，則

B.若“X)只有一個零點,則〃尤)*0恒成立

C.若/(x)只有兩個零點，則

D.若/(X)有且只有一個極值點X。，則/(X。)〈竺1二網(wǎng)二U.乃恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用"0)=0以及零點存在定理推導(dǎo)出當(dāng)”>1時，函數(shù)“X)在［0,2句上至少有兩個零

點，結(jié)合圖象可知當(dāng)0<。<1時，函數(shù)/(x)在(0,2")上有且只有一個極值點，利用導(dǎo)數(shù)

分析函數(shù)“X)在(0,2")上的單調(diào)性，可判斷A選項的正誤；利用A選項中的結(jié)論可判斷

B選項的正誤；取。=3,解方程/(x)=0可判斷C選項的正誤；分析出當(dāng)/(x)在

(0,2乃)上只有一個極值點時，0<。<1,分4=:、0<?<|,三種情況討

論，結(jié)合sinxvx可判斷D選項的正誤.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-lnx-l,其中x>0,則，(x)=l—'=^~

XX

當(dāng)0<x<l時,g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時，g'(x)>0,此時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以，8⑴疝產(chǎn)8⑴二①

?.?a—Ina>1,二a>0且aw1.

/(x)=sina￥-asinx,則〃0)=0.

“」乃、?Q》.兀.a兀八

當(dāng)a>l時，f\—-sin-----?sin—=sin------a<0,

—\2)222

3。4+?！?/p>

Fo,

(兀34?

由零點存在定理可知，函數(shù)/(X)在2,手J內(nèi)至少有一個零點,

所以，當(dāng)口>1時，函數(shù)“X)在區(qū)間［0,2句上至少有兩個零點,

所以，當(dāng)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2句上只有一個零點時，

對于A選項，當(dāng)O<Q<1時，/'（X）=QCOS以一QCOSX=4（COS四一COSX）.

(1兀71

?「0<Q<1,則0<—<一,0<2a冗<2萬，

22

[Jl\CiTC

/I—l=6rcos—>0,/'(27)=a(cos2。萬一cos2")=。(cos2。萬-l)<0,

由零點存在定理可知，函數(shù)/(x)在區(qū)間(9,24[上至少有一個極值點，

令r(x)=0,可得cosax=cosx,

當(dāng)X€（0,2〃）時，0<CVC<X<27T,由cos?v=cosx=cos（2%-x）,可得

.24

ax=27r—x,解得znx=----,

。+1

24

所以，函數(shù)/（力在區(qū)間（0,2萬）上有且只有一個極值點x=——.

。+1

作出函數(shù)X=cosar與函數(shù)%=cosx在區(qū)間［0,2句上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)弘=cosax與函數(shù)必=cosx在區(qū)間（0,2%）上的圖象有且只有一個交

點，

記該交點的橫坐標(biāo)為%,當(dāng)0<%</時，cosax>cos%,此時/'（x）>0；

當(dāng)玉）<x<2萬時,cosarccosx,此時/'（x）<0.

所以，函數(shù)在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（不，2句上單調(diào)遞減.

所以，/（x）max=/a）>/（°）=°，又"2萬）=sin2wr.

若函數(shù)/（力在區(qū)間［0,2句上有且只有一個零點，則/（2萬）=sin2加>0.

"/0<a<1>則0<2a萬<2萬，所以，0<2。萬<乃，解得A選項正確；

對于B選項，若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,2句上有且只有一個零點時，

由A選項可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（七,2萬）上單調(diào)遞減.

Q/（0）=0,/（2^-）=sin2azr>0,所以，對任意的xw［0,2乃］,/（A）>0,B選項正

確；

對于c選項，取。=,，則

2

.X.XX.X

/lx)=sin----sinx=sin——sin—cos—=sm—1一吟,

v7222222

?/0<x<2^r,則0<土<〃，令/(x)=0,可得sin'=0或cos2=l,可得t=0或

2222

X

一=兀,

2

解得x=0或x=24.

所以，當(dāng)"=；時，函數(shù)/（X）有兩個零點，C選項錯誤；

對于D選項，當(dāng)。>1時，若0<%<2乃，則0vaxv2a?,且加萬>2%，

當(dāng)％￡（0,2萬）時,令/'（x）=0,可得出cosox=cosx=cos（2左乃±x）（Z：￡Z）,至少可

得出ax=27i-x^ax=X+2TI,

即函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,2萬）上至少有兩個極值點，不合乎題意，所以，0<4<1.

TT

下面證明：當(dāng)0Vx時，sinx<x,

2

構(gòu)造函數(shù)/z（x）=x-sinx,其中0vx<],則"（x）=1-cosx>。，

所以，函數(shù)/2（x）=x-sinx在區(qū)間（0卷]上為增函數(shù)，所以，/z（x）>/?（0）=0,即

sinx<x.

分以下三種情況來證明/（x0）<。+1-量T[.兀恒成立.

,."'（%）=Q（COSC%-cos/）=0,可得cosax（）=cosx0,

27r

?/O<axo<xo<27r,由cosar。=cosx()可得出a%=2%一%，所以，x=----

a+\

則sin叫)=sin(2萬一%))=-sin/.

①當(dāng)時，x0,則/(x)=sin1■—;sinx,

34.)1.3萬424

sinsin——=—<——,

23233

。+1一伙―1|

L

即4X°)<：-----------?7T成“；

[27r,2

②當(dāng)0<a〈一時，x0=----GT4

3a+1

x24

則f(o)=sino￥o-asinx0=-sin/-asin/=-(?+l)sinx0=-(6/+l)sin

=(Q+l)sin(--=(Q+l)sin(2萬-27])=(a+1)sin2"；<(a+1)?>"；=la/c

a+1-13a—1|

——萬；

z~\1,2)(34、

③當(dāng)一<。<1時，X()=-----E肛-T-?

3Q+lI2)

/(/)=sin嘰-asinx。=-sin%-asin%=-(a+l)sin/=(a+1)sin(一%)

=(a+l)sin(xo-4)=(a+l)sin[2一乃]=(6f+l)sin——(6f+l)—~~

/、a+]—|3Q—11

=(1-a)"二-----------L兀?

綜上所述，當(dāng)函數(shù)/(x)只有一個極值點/時，+1].7萬恒成立.

故選:ABD.

【點睛】

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線丁=。

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

[n1*

12.設(shè)函數(shù)/(x)=——，g(x)=xlnx,下列命題，正確的是()

X

A.函數(shù)“X)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減

B.不等關(guān)系Tce<￡<e"<3"成立

C.若0<玉<々時，總有。(考一百2)>2g(/)-2g(xJ恒成立，則aNl

D.若函數(shù)/z(x)=g(x)-如2有兩個極值點，則實數(shù)加w(O,l)

【答案】AC

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項的正誤；由函數(shù)/(x)在區(qū)間(芻母)上的單

調(diào)性比較73、"的大小關(guān)系，可判斷B選項的正誤；分析得出函數(shù)s(￡)=2g(x)—依2

在(O,+8)上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出。的取值范圍，可判斷C選項

的正誤；分析出方程2根=上詈在(0,+。)上有兩個根，數(shù)形結(jié)合求出機的取值范圍，

可判斷D選項的正誤.

【詳解】

對于A選項，函數(shù)/'(X)=W的定義域為(0,+8),則/(月=匕詈.

由/'(x)>0,可得0<x<e,由/'(x)>0,可得X>e.

所以，函數(shù)/(力在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減，A選項正確；

InV

對于B選項，由于函數(shù)/(x)=:-在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞減，且4>;r>e,

”，\「/八ar,InnIn4ln41In2131n2-2八

所以，/(%)>/(4),即——>—,乂-t---=----=--->0,

71443236

所以，—>1,整理可得)3>二,B選項錯誤；

萬43

對于C選項，若0<%時，總有a(石一片9>2g(x2)-2g(%)恒成立，

可得2g(xj-ar；>2g(w)-遍，構(gòu)造函數(shù)s(x)=2g(x)-ax2=2xlnx-ar2,

則S(X1)>S(X2)，即函數(shù)s(x)為(0,+8)上的減函數(shù),

s'(x)=2(1+Inx)-2ax<0對任意的xw(0,+oo)恒成立，

即a21+lnX對任意的xe(0,+oo)恒成立，

人(、1+lnx“一八，/、Inx

令才(x)=-----,其中1>0,t(x)=-----.

當(dāng)0<x<l時，f'(x)>0,此時函數(shù)"力單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時，r'(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

所以，f(x)gx=(l)=L,aNl，C選項正確；

對于D選項，=g(x)—mx2=xXnx—twc,則"(x)=l+lnx—2mx,

由于函數(shù)網(wǎng)x)有兩個極值點，令/?'(x)=0,可得2加=1+"'-,

則函數(shù)y=2m與函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上的圖象有兩個交點，

當(dāng)尢/時，r(x)>0,如下圖所示：

當(dāng)0＜2機＜1時，即當(dāng)0＜加＜；時，函數(shù)y=2加與函數(shù)在區(qū)間(0,+oo)上的圖象有

兩個交點.

所以，實數(shù)小的取值范圍是D選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

13.下列說法正確的是()

3

X€

A.函數(shù)/(x)=sin2VScosx--嗚的最大值是1

.cosxf(乃?

函數(shù)/(九)sinxtanxd-----XG0,—的值域為

B.tanx(I2)J

C.函數(shù)〃x)=；sin2x+a-cosx在(0,乃)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是

D.函數(shù)，/、2k+"smN+j+x的最大值為叫最小值為"，若a+〃=2,

/(x)=---------------------

2x+cosx

則f=l

【答案】ACD

【分析】

\2

化簡函數(shù)解析式為/(X)COSX----+--1,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項的

27

正誤；令ysinx+cosx,可得/(x)=g(r)="L,利用導(dǎo)數(shù)法可判斷B選項的正

t—1

誤；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項的正誤：計算出〃x)+/(-力=27,利

用函數(shù)的對稱性可判斷D選項的正誤.

【詳解】

A選項，

f(x]=1-cos2x+COSX--=-cos2x+V3cosx+—cosX----+--1,

\)442J

又,.?*€0,y可得：cosxe[0,1],則當(dāng)cosx=@時函數(shù)/(x)取得最大值1

A對:

-2」2

「3f\sin~Xcos~xsinx+cos3x

B選項，：.fix)=-------+———=-----------------

cosxsinxsinx-cosx

(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinx-cosx)

sinx-cosx

(sinx+cosx)[(sinx+cosx)2-3sinx?cosx

sinx-cosx

設(shè)/=sinx+cosx=V^sin(x+?J,則/=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,則

,產(chǎn)一1

sinx-cosx=------，

2

?.,xe(0,9，x+fe(卞弓)，*'-sinx+^e

???g(f)在區(qū)間(1,0]上單調(diào)遞減，g(r)m,n=g(V2)='--=V2,

所以，函數(shù)/(X)的值域為[3,+8),B錯；

C選項，??,/(X)=；sin2x+a?cosx在區(qū)間(0,萬)上是增函數(shù)，

/./r(x)=cos2x-tz-sinx>0,BPl-2sin2x-tzsinx>0，

令1=sinx,?e(O,l],即一2/一"+120,

ci<—2z+—,令g(r)=—2/+—,則g'(r)=—2—<0,g(。在re(0,1]遞減,

(2x2+cos%)+(r-sinx+x)，?sinx+x

tH-------------

2x2+cosx2r+cosx

￡(、rsin(-x)-x/sinx+x,、,、

所以,X)=t+一標(biāo)乙1=t---------,+/(—)=2t,

2-(-x)+cos(-x)2x+cosx

所以,函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(0")對稱，所以，a+b=2t=2,可得f=l,D對.

故選:ACD.

【點睛】

結(jié)論點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行:

(1)函數(shù)/(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增of\x)20在區(qū)間。上恒成立；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間O上單調(diào)遞減O/”(x)W0在區(qū)間O上恒成立；

(3)函數(shù))(x)在區(qū)間。上不單調(diào)o/'(x)在區(qū)間。上存在異號零點；

(4)函數(shù)/(x)在區(qū)間Z)上存在單調(diào)遞增區(qū)間。玉e。，使得_f(x)>0成立;

(5)函數(shù)/(x)在區(qū)間O上存在單調(diào)遞減區(qū)間。玉e。，使得了'(x)<0成立.

14.阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過

系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線

圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線C：y=/上兩個不同點A,8橫坐標(biāo)

分別為X，x2,以A,B為切點的切線交于P點.則關(guān)于阿基米德三角形RS的說法正確的

有()

A.若A8過拋物線的焦點，則P點一定在拋物線的準(zhǔn)線上

B.若阿基米德三角形Q45為正三角形，則其面積為班

4

c.若阿基米德三角形RM為直角三角形，則其面積有最小值L

4

D.一般情況下，阿基米德三角形f鉆的面積s=lAz土X

4

【答案】ABC

【分析】

設(shè)出直線43的斜截式方程、點A,5的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PAPB的方

程，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)，將直線A3的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及

該方程兩根的和、積的關(guān)系.

A：把拋物線焦點的坐標(biāo)代入直線A3的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即

可；

B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；

C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；

D：根據(jù)點到直線距離公式、兩點間距離公式進(jìn)行求解判斷即可..

【詳解】

由題意可知：直線A8一定存在斜率，

所以設(shè)直線A3的方程為：y=kx+m,

由題意可知:點A。1,x；）,B（X2,x；）,不妨設(shè)%<0<*2，

由y=V?y2x,所以直線切線PAP3的方程分別為：

y-X；=2%（x-％y-x；=2x3（x-x2）,

兩方程聯(lián)立得：，—?=2%。一%）,

y-x2=2X2（X-X2）

_X+尢2

解得：/=2,所以P點坐標(biāo)為：（文|生■，內(nèi)9），

）=玉々

直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：

y=kx-\-m2

\2=>%一"一加=0=>玉+/=4，為方=一42.

y=x

A：拋物線C：丁=/的焦點坐標(biāo)為（0,二），準(zhǔn)線方程為y=-一，

44

因為AB過拋物線的焦點，所以m=；,而不乙=一機=一；，

顯然P點一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項說法正確；

B：因為阿基米德三角形為正三角形，所以有|B4|=|P8|,

即j（\2_九）+（中2\二_々）2+（中2-X；）-'

因為內(nèi)7刀2,所以化簡得：玉=-X2,

此時A（X1,x；）,5（-X],%：）,尸點坐標(biāo)為:（0,-X：）,

因為阿基米德三角形R4B為正三角形，所以有|PA|=|A8|,

所以J（0-X）。+（-x；-1——2王=>X=一,

因此正三角形~鉆的邊長為百，

所以正三角形的面積為LxGxG.sin60"=LxGx&x走=止,

2224

故本選項說法正確；

C：阿基米德三角形Q轉(zhuǎn)為直角三角形，當(dāng)尸時，

%1+々X,+X,

1

所以即屋kpB=T=>二----二

門…=-1=￥2=-1

x）x2一玉

直線AB的方程為：y^kx+-