【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學一輪總復習第八篇第6講空間中向量的概念和運算課件理湘教版

匯報人：AA2024-01-24【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學一輪總復習第八篇第6講空間中向量的概念和運算課件理湘教版目錄CONTENTS空間向量基本概念空間向量運算規(guī)則空間向量坐標表示法空間向量數(shù)量積與夾角公式空間向量在幾何中應用高考真題解析與備考建議01空間向量基本概念向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量定義向量具有大小和方向兩個要素，且滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量性質(zhì)向量定義及性質(zhì)用帶箭頭的線段表示向量，線段的長度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。在平面直角坐標系或空間直角坐標系中，可以用有序數(shù)對或有序數(shù)組表示向量。向量表示方法坐標表示法符號表示法長度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量的方向是任意的。零向量長度為1的向量稱為單位向量。單位向量可以表示任何方向。單位向量零向量與單位向量相等向量大小相等且方向相同的向量稱為相等向量。共線向量方向相同或相反的非零向量稱為共線向量。共線向量所在的直線平行或重合。相等向量與共線向量02空間向量運算規(guī)則

加法運算規(guī)則平行四邊形法則兩個向量相加，可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線。三角形法則兩個向量首尾相接，其和向量是由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量。坐標運算若兩個向量的坐標分別為$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，則它們的和向量的坐標為$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。實數(shù)與向量的積實數(shù)$lambda$與向量$vec{a}$的積是一個向量，記作$lambdavec{a}$。當$lambda>0$時，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相同；當$lambda<0$時，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相反；當$lambda=0$時，$lambdavec{a}=vec{0}$。坐標運算若向量$vec{a}$的坐標為$(x,y,z)$，則$lambdavec{a}$的坐標為$(lambdax,lambday,lambdaz)$。數(shù)乘運算規(guī)則向量減法向量$vec$減去向量$vec{a}$，可以表示為向量$vec{a}$加上向量$-vec$（即$vec$的相反向量）。坐標運算若兩個向量的坐標分別為$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，則它們的差向量的坐標為$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。減法運算規(guī)則定義兩個向量$vec{a}$和$vec$的向量積（外積）是一個向量，記作$vec{a}timesvec$。它的模等于$vec{a}$和$vec$的模的乘積與它們之間夾角的正弦值的乘積，即$|vec{a}timesvec|=|vec{a}|cdot|vec|cdotsintheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec$之間的夾角。方向向量積的方向垂直于由$vec{a}$和$vec$所確定的平面，并且遵循右手定則。坐標運算若兩個向量的坐標分別為$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，則它們的向量積的坐標為$(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)$。向量積運算規(guī)則03空間向量坐標表示法確定坐標原點建立坐標軸確定坐標平面空間點坐標空間直角坐標系建立在空間中任意選擇一點O作為坐標原點。過點O作三條互相垂直的數(shù)軸，分別稱為x軸、y軸和z軸。x軸和y軸確定的平面稱為xOy平面，x軸和z軸確定的平面稱為xOz平面，y軸和z軸確定的平面稱為yOz平面。對于空間任意一點P，過點P作三條坐標軸的垂線，與三個坐標平面分別交于點A、B、C，則點P的坐標記為(x,y,z)，其中x、y、z分別為點A、B、C到坐標原點的距離。向量坐標表示方法向量起點與終點坐標設(shè)向量a的起點為A(x1,y1,z1)，終點為B(x2,y2,z2)，則向量a可表示為a=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。向量模長與方向向量a的模長|a|等于終點B到起點A的距離，即|a|=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。向量的方向由起點指向終點。向量坐標運算法則向量加法：設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的和為a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。向量減法：設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的差為a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。向量數(shù)乘：設(shè)向量a=(x,y,z)，實數(shù)λ，則向量a與實數(shù)λ的數(shù)乘為λa=(λx,λy,λz)。當λ>0時，λa與a方向相同；當λ<0時，λa與a方向相反；當λ=0時，λa為零向量。向量的點積：設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的點積為a·b=x1x2+y1y2+z1*z2。點積的結(jié)果是一個標量，其值等于兩向量的模長與它們之間夾角的余弦的乘積。當兩向量垂直時，點積為零；當兩向量同向時，點積為正；當兩向量反向時，點積為負。04空間向量數(shù)量積與夾角公式定義數(shù)乘結(jié)合律與零向量的數(shù)量積與自身的數(shù)量積分配律交換律對于空間中的兩個向量$vec{a}$和$vec$，它們的數(shù)量積（也稱為點積）定義為$vec{a}cdotvec=|vec{a}||vec|costheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec$之間的夾角。$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$$(kvec{a})cdotvec=k(vec{a}cdotvec)=vec{a}cdot(kvec)$$vec{0}cdotvec{a}=0$$vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^2$數(shù)量積定義及性質(zhì)輸入標題02010403夾角公式推導過程夾角公式：$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}||vec|}$2.當$vec{a}$和$vec$均不為零向量時，可以除以$|vec{a}||vec|$，得到$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}||vec|}$。1.根據(jù)數(shù)量積的定義，有$vec{a}cdotvec=|vec{a}||vec|costheta$。推導過程例1已知向量$vec{a}=(1,2,3)$，$vec=(4,5,6)$，求$vec{a}$和$vec$的夾角。解首先計算數(shù)量積$vec{a}cdotvec=1times4+2times5+3times6=32$。夾角公式應用舉例最后代入夾角公式$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{32}{\sqrt{14}\times\sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}$，求得$\theta=\arccos\left(\frac{32}{\sqrt{1078}}\right)$。夾角公式應用舉例判斷向量$vec{a}$和$vec$是否垂直。例2若$vec{a}$和$vec$垂直，則它們的數(shù)量積應為0，即$vec{a}cdotvec=0$。因此，通過計算數(shù)量積可以判斷兩向量是否垂直。解夾角公式應用舉例05空間向量在幾何中應用VS通過向量的外積可以定義平行六面體的體積，即向量a、b、c構(gòu)成平行六面體的三條棱，則該平行六面體的體積V等于向量a、b、c的混合積的絕對值，即V=|a·(b×c)|。體積公式的推導利用向量外積的性質(zhì)和幾何意義，結(jié)合平行六面體的幾何特征，可以推導出平行六面體的體積公式。具體推導過程涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、外積等知識點。向量外積的定義平行六面體體積公式推導兩點間距離公式01在空間中，給定兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，則兩點間的距離d可以通過公式d=√[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]來計算。點到直線距離公式02在空間中，給定一點P和直線l，則點P到直線l的距離d可以通過公式d=|(P-A)·n|/|n|來計算，其中A為直線l上一點，n為直線l的方向向量。兩異面直線距離公式03在空間中，給定兩條異面直線l1和l2，則兩異面直線間的距離d可以通過公式d=|(n1×n2)·(A1-A2)|/|n1×n2|來計算，其中A1、A2分別為兩直線上一點，n1、n2分別為兩直線的方向向量?？臻g距離問題求解方法直線與平面所成角在直線上取一點，作平面的垂線，將直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為直線與垂線所成角來求解。也可以通過向量的夾角公式來求解。異面直線所成角通過平移將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個平面上，然后利用平面幾何知識求解所成角的大小。也可以通過向量的夾角公式來求解。二面角及其平面角在二面角的棱上取一點，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，將二面角轉(zhuǎn)化為兩條垂線所成角來求解。也可以通過向量的夾角公式來求解。空間角問題求解方法06高考真題解析與備考建議（2019全國卷Ⅰ）題目：在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為{x=2+tcosα,y=1+tsinα}（t為參數(shù)，α為傾斜角），以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin^2θ=4cosθ。歷年高考真題解析

歷年高考真題解析1.寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；2.若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|=√10，求傾斜角α的值。（2020全國卷Ⅱ）題目：在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2,0)，B(-2,0)，動點P滿足|PA|+|PB|=6。1.求動點P的軌跡C的方程；2.設(shè)過點(1,0)的直線l與曲線C交于M，N兩點，若|MN|=4，求直線l的方程。歷年高考真題解析備考策略與建議熟練掌握空間中向量的基本概念和性質(zhì)，如向量的模、方向、共線、垂直等；熟練掌握向量的線性運算，如向量的加法