微積分公式與定積分計算練習

微積分公式與定積分計算練習〔附加三角函數(shù)公式〕一、根本導(dǎo)數(shù)公式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅二、導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法那么〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕四、根本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式〔1〕〔2〕(3)(4)(5)(6)(7)五、微分公式與微分運算法那么⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃六、微分運算法那么⑴⑵⑶⑷七、根本積分公式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾八、補充積分公式九、以下常用湊微分公式積分型換元公式 十、分部積分法公式⑴形如，令，形如令，形如令， ⑵形如，令，形如，令，⑶形如，令均可。十一、第二換元積分法中的三角換元公式(1)(2)(3)【特殊角的三角函數(shù)值】〔1〕〔2〕 〔3〕〔4〕〔5〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕不存在〔5〕〔1〕不存在〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕不存在十二、重要公式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔系數(shù)不為0的情況〕十三、以下常用等價無窮小關(guān)系〔〕 十四、三角函數(shù)公式 十五、幾種常見的微分方程：，： ：解為： 高考定積分應(yīng)用常見題型大全一．選擇題〔共21小題〕1．〔2023?福建〕如下圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，那么點P恰好取自陰影局部的概率為〔〕A．B．C．D．2．〔2023?山東〕由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為〔〕A．B．C．D．3．設(shè)f〔x〕=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為〔〕A．B．C．D．4．定積分的值為〔〕A．B．3+ln2C．3﹣ln2D．6+ln25．如下圖，曲線y=x2和曲線y=圍成一個葉形圖〔陰影局部〕，其面積是〔〕A．1B．C．D．6．=〔〕A．πB．2C．﹣πD．47．函數(shù)f〔x〕的定義域為[﹣2，4]，且f〔4〕=f〔﹣2〕=1，f′〔x〕為f〔x〕的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′〔x〕的圖象如下圖，那么平面區(qū)域f〔2a+b〕＜1〔a≥0，b≥0〕所圍成的面積是〔〕A．2B．4C．5D．88．∫01exdx與∫01exdx相比有關(guān)系式〔〕A．∫01exdx＜∫01exdxB．∫01exdx＞∫01exdxC．〔∫01exdx〕2=∫01exdxD．∫01exdx=∫01exdx9．假設(shè)a=，b=，那么a與b的關(guān)系是〔〕A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)=bD．a(chǎn)+b=010．的值是〔〕A．B．C．D．11．假設(shè)f〔x〕=〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕，那么=〔〕A．+e2﹣eB．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．f〔x〕=2﹣|x|，那么〔〕A．3B．4C．D．13．設(shè)f〔x〕=3﹣|x﹣1|，那么∫﹣22f〔x〕dx=〔〕A．7B．8C．D．14．積分=〔〕A．B．C．πa2D．2πa215．函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為〔〕A．1/2B．1C．2D．3/216．由函數(shù)y=cosx〔0≤x≤2π〕的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是〔〕A．4B．C．D．2π17．曲線y=x3在點〔1，1〕處的切線與x軸及直線x=1所圍成的三角形的面積為〔〕A．B．C．D．18．圖中，陰影局部的面積是〔〕A．16B．18C．20D．2219．如圖中陰影局部的面積是〔〕A．B．C．D．20．曲線與坐標軸圍成的面積是〔〕A．B．C．D．21．如圖，點P〔3a，a〕是反比例函y=〔k＞0〕與⊙O的一個交點，圖中陰影局部的面積為10π，那么反比例函數(shù)的解析式為〔〕A．y=B．y=C．y=D．y=高考定積分應(yīng)用常見題型大全〔含答案〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共21小題〕1．〔2023?福建〕如下圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，那么點P恰好取自陰影局部的概率為〔〕A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應(yīng)用；幾何概型．501974專題：計算題．分析：根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影局部由函數(shù)y=x與y=圍成，由定積分公式，計算可得陰影局部的面積，進而由幾何概型公式計算可得答案．解答：解：根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影局部由函數(shù)y=x與y=圍成，其面積為∫01〔﹣x〕dx=〔﹣〕|01=，那么正方形OABC中任取一點P，點P取自陰影局部的概率為=；應(yīng)選C．點評：此題考查幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計算出陰影局部的面積．2．〔2023?山東〕由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為〔〕A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：要求曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求∫01〔x2﹣x3〕dx即可．解答：解：由題意得，兩曲線的交點坐標是〔1，1〕，〔0，0〕故積分區(qū)間是[0，1]所求封閉圖形的面積為∫01〔x2﹣x3〕dx═，應(yīng)選A．點評：此題考查定積分的根底知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積．3．設(shè)f〔x〕=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為〔〕A．B．C．D．考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象；定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題；數(shù)形結(jié)合．分析：利用坐標系中作出函數(shù)圖象的形狀，通過定積分的公式，分別對兩局部用定積分求出其面積，再把它們相加，即可求出圍成的封閉區(qū)域曲邊圖形的面積．解答：解：根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：根據(jù)定積分，得所圍成的封閉區(qū)域的面積S=應(yīng)選C點評：此題考查分段函數(shù)的圖象和定積分的運用，考查積分與曲邊圖形面積的關(guān)系，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，注意運算的準確性．4．定積分的值為〔〕A．B．3+ln2C．3﹣ln2D．6+ln2考點：定積分；微積分根本定理；定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：由題設(shè)條件，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分根本定理求出定積分的值即可．解答：解：=〔x2+lnx〕|12=〔22+ln2〕﹣〔12+ln1〕=3+ln2應(yīng)選B．點評：此題考查求定積分，求解的關(guān)鍵是掌握住定積分的定義及相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，屬于根底題．5．如下圖，曲線y=x2和曲線y=圍成一個葉形圖〔陰影局部〕，其面積是〔〕A．1B．C．D．考點：定積分；定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：聯(lián)立由曲線y=x2和曲線y=兩個解析式求出交點坐標，然后在x∈〔0，1〕區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可．解答：解：聯(lián)立得，解得或，設(shè)曲線與直線圍成的面積為S，那么S=∫01〔﹣x2〕dx=應(yīng)選：C點評：考查學生求函數(shù)交點求法的能力，利用定積分求圖形面積的能力．6．=〔〕A．πB．2C．﹣πD．4考點：微積分根本定理；定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：由于F〔x〕=x2+sinx為f〔x〕=x+cosx的一個原函數(shù)即F′〔x〕=f〔x〕，根據(jù)∫abf〔x〕dx=F〔x〕|ab公式即可求出值．解答：解：∵〔x2++sinx〕′=x+cosx，∴〔x+cosx〕dx=〔x2+sinx〕=2．故答案為：2．點評：此題考查學生掌握函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會求函數(shù)的定積分運算，是一道根底題．7．函數(shù)f〔x〕的定義域為[﹣2，4]，且f〔4〕=f〔﹣2〕=1，f′〔x〕為f〔x〕的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′〔x〕的圖象如下圖，那么平面區(qū)域f〔2a+b〕＜1〔a≥0，b≥0〕所圍成的面積是〔〕A．2B．4C．5D．8考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的性質(zhì)或作出原函數(shù)的草圖，找出a、b滿足的條件，畫出平面區(qū)域，即可求解．解答：解：由圖可知[﹣2，0〕上f′〔x〕＜0，∴函數(shù)f〔x〕在[﹣2，0〕上單調(diào)遞減，〔0，4]上f′〔x〕＞0，∴函數(shù)f〔x〕在〔0，4]上單調(diào)遞增，故在[﹣2，4]上，f〔x〕的最大值為f〔4〕=f〔﹣2〕=1，∴f〔2a+b〕＜1〔a≥0，b≥0〕?表示的平面區(qū)域如下圖：應(yīng)選B．點評：此題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及線性規(guī)劃問題的綜合應(yīng)用，屬于高檔題．解決時要注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．8．∫01exdx與∫01exdx相比有關(guān)系式〔〕A．∫01exdx＜∫01exdxB．∫01exdx＞∫01exdxC．〔∫01exdx〕2=∫01exdxD．∫01exdx=∫01exdx考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分．501974專題：計算題．分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex或y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，只需畫出函數(shù)圖象觀察面積大小即可．解答：解：∫01exdx表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，∫01exdx表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，如圖∵當0＜x＜1時，exx＞ex，故有：∫01exdx＞∫01exdx應(yīng)選B．點評：此題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于根底題．9．假設(shè)a=，b=，那么a與b的關(guān)系是〔〕A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)=bD．a(chǎn)+b=0考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：a==〔﹣cosx〕=〔﹣cos2〕﹣〔﹣cos〕=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==〔﹣cosx〕=〔﹣cos2〕﹣〔﹣cos〕=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．應(yīng)選A．點評：此題考查定積分的應(yīng)用，是根底題．解題時要認真審題，仔細解答．10．的值是〔〕A．B．C．D．考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以〔1，0〕為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線y=x2在第一象限的局部坐標軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的局部與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積即可．解答：解；積分所表示的幾何意義是以〔1，0〕為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線y=x2在第一象限的局部坐標軸圍成的面積，故只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的局部與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積之差．即=﹣=﹣=故答案選A點評：此題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于根底題11．假設(shè)f〔x〕=〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕，那么=〔〕A．+e2﹣eB．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：由于函數(shù)為分段函數(shù)，故將積分區(qū)間分為兩局部，進而分別求出相應(yīng)的積分，即可得到結(jié)論．解答：解：===應(yīng)選C．點評：此題重點考查定積分，解題的關(guān)鍵是將積分區(qū)間分為兩局部，再分別求出相應(yīng)的積分．12．f〔x〕=2﹣|x|，那么〔〕A．3B．4C．D．考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：由題意，，由此可求定積分的值．解答：解：由題意，=+=2﹣應(yīng)選C．點評：此題考查定積分的計算，解題的關(guān)鍵是利用定積分的性質(zhì)化為兩個定積分的和．13．設(shè)f〔x〕=3﹣|x﹣1|，那么∫﹣22f〔x〕dx=〔〕A．7B．8C．D．考點：定積分的簡單應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：∫﹣22f〔x〕dx=∫﹣22〔3﹣|x﹣1|〕dx，將∫﹣22〔3﹣|x﹣1|〕dx轉(zhuǎn)化成∫﹣21〔2+x〕dx+∫12〔4﹣x〕dx，然后根據(jù)定積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f〔x〕dx=∫﹣22〔3﹣|x﹣1|〕dx=∫﹣21〔2+x〕dx+∫12〔4﹣x〕dx=〔2x+x2〕|﹣21+〔4x﹣x2〕|12=7應(yīng)選A．點評：此題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于根底題．14．積分=〔〕A．B．C．πa2D．2πa2考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分．501974專題：計算題．分析：此題利用定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)y=與x軸所圍成的圖形的面積，圍成的圖象是半個圓．解答：解：根據(jù)定積分的幾何意義，那么表示圓心在原點，半徑為3的圓的上半圓的面積，故==．應(yīng)選B．點評：本小題主要考查定積分、定積分的幾何意義、圓的面積等根底知識，考查考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于根底題．15．函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為〔〕A．1/2B．1C．2D．3/2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：根據(jù)幾何圖形用定積分表示出所圍成的封閉圖形的面積，求出函數(shù)f〔x〕的積分，求出所求即可．解答：解：由題意圖象與x軸所圍成圖形的面積為=〔﹣〕|01+sinx=+1=應(yīng)選D．點評：此題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是正確利用定積分的運算規(guī)那么求出定積分的值，此題易因為對兩個知識點不熟悉公式用錯而導(dǎo)致錯誤，牢固掌握好根底知識很重要．16．由函數(shù)y=cosx〔0≤x≤2π〕的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是〔〕A．4B．C．D．2π考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：由題意可知函數(shù)y=cosx〔0≤x≤2π〕的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形可利用定積分進行計算，只要求∫0〔1﹣cosx〕dx即可．然后根據(jù)積分的運算公式進行求解即可．解答：解：由函數(shù)y=cosx〔0≤x≤2π〕的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積，就是：∫0〔1﹣cosx〕dx=〔x﹣sinx〕|0=．應(yīng)選B．點評：此題考查余弦函數(shù)的圖象，定積分，考查計算能力，解題的關(guān)鍵是兩塊封閉圖形的面積之和就是上部直接積分減去下部積分．17．曲線y=x3在點〔1，1〕處的切線與x軸及直線x=1所圍成的三角形的面積為〔〕A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點〔1，1〕處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，當x=1時，y'=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點〔1，1〕處的切線方程為：y﹣1=3×〔x﹣1〕，即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切線與x軸、直線x=1所圍成的三角形的面積為：S=×〔1﹣〕×1=應(yīng)選B．點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等根底知識，屬于根底題．18．圖中，陰影局部的面積是〔〕A．16B．18C．20D．22考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標分別為〔2，﹣2〕，〔8，4〕．過〔2，﹣2〕作x軸的垂線把陰影局部分為S1，S2兩局部，利用定積分的方法分別求出它們的面積并相加即可得到陰影局部的面積．解答：解：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標分別為〔2，﹣2〕，〔8，4〕．過〔2，﹣2〕作x軸的垂線把陰影局部分為S1，S2兩局部，分別求出它們的面積A1，A2：A1=∫02[]dx=2dx=，A2=∫28[]dx=所以陰影局部的面積A=A1+A2==18應(yīng)選B．點評：此題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，解題是要注意分割，關(guān)鍵是要注意在x軸下方的局部積分為負〔積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和〕，屬于根底題．考查學生利用定積分求陰影面積的方法的能力．19．如圖中陰影局部的面積是〔〕A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．501974專題：計算題．分析：求陰影局部的面積，先要對陰影局部進行分割到三個