數(shù)學(xué)與人的發(fā)展

02二月2024數(shù)學(xué)與人的開展〔二〕重慶三峽學(xué)院查中偉02二月2024一門學(xué)科實現(xiàn)公理化的標志：一是它有一套根本術(shù)語，或原始概念；二是它有一組根本命題，或原始命題，或公理；三是其他的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其他的命題全由公理出發(fā)予以推實際證。來源于數(shù)學(xué)的公理化方法曾經(jīng)產(chǎn)生廣泛影響，這種影響曾經(jīng)越出數(shù)學(xué)范圍而進入其他自然科學(xué)領(lǐng)域，曾經(jīng)越出自然科學(xué)而進人人文科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)的公理思想使數(shù)學(xué)作為文化具有更實踐的意義。一、公理方法的作用02二月2024數(shù)學(xué)的公理思想產(chǎn)生廣泛影響閱歷了一個過程，數(shù)學(xué)本身的公理化程度和程度也閱歷了不同的開展階段。牛頓力學(xué)建立了公理系統(tǒng)，即他的三大定律，這具有本質(zhì)公理化特征。對普通學(xué)生，從中學(xué)到大學(xué)本科，本質(zhì)公理化方法就已足夠的了，也是必要的。公理化不僅使數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在一致性、調(diào)和性得到充分的提示，而且有利于人們更明晰地從微觀到宏觀看世界；公理化也不僅是使人更易認識世界，而且為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明提供必要的啟示和工具；同時還對人本身邏輯思想的開展起極為積極的推進作用；公理方法在一定范圍內(nèi)也使思想經(jīng)濟有效。一、公理方法的作用02二月2024算術(shù)公理，它由以下五條組成：1．1屬于非空集(1只是一個符號)；2．的每個元素有后繼數(shù)；3．1不是任何元素的后繼數(shù)；4．假設(shè)，那么(即兩元素之后繼數(shù)相等時，兩元素本身也相等)；5．設(shè)，假設(shè)1屬于，又假設(shè)當屬于時，亦必屬于，那么。一、公理方法的作用02二月2024什么是“物質(zhì)〞？“物質(zhì)是獨立于人的認識之外的客觀存在。〞假設(shè)這是關(guān)于物質(zhì)的定義，從邏輯上說，它運用了認識、客觀、存在等概念，那么這些概念就該當是知的。然而，什么叫“存在〞呢?存在是“不依賴人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)。〞這里又用“物質(zhì)〞的概念定義了“存在〞，而前面是用“存在〞定義了“物質(zhì)〞的。在黑格爾那里，“存在〞是根本概念，是不用再加定義的，因此也就防止了起碼應(yīng)防止的邏輯缺陷。一、公理方法的作用02二月2024“等腰三角形兩底角相等〞為例看看是如何運用的。在三角形中，假設(shè)，那么。下面是證明：作，交于。由于凡直角皆相等(大前提)，又和皆為直角(小前提)，所以(結(jié)論)；一、公理方法的作用02二月2024由于有兩邊對應(yīng)相等的兩直角三角形必全等(大前提)，又在和中，(小前提)，所以(結(jié)論)；由于凡全等三角形的對應(yīng)角相等(大前提)，又(小前提)，所以即(結(jié)論)。三段論中含3個項，大項、中項、小項，中項起中間作用，在結(jié)論中不出現(xiàn)。一、公理方法的作用02二月2024例子：“凡羊有兩只角，是一只羊，有兩只角〞，這里，“羊〞是中項，“兩只角〞(的動物)是大項，是小項。看一個哲學(xué)中的三段論：——世界是物質(zhì)的，——認識是世界的一部分，——所以，認識是物質(zhì)的。一、公理方法的作用02二月2024大前提應(yīng)修正為“世界的根源是物質(zhì)的〞。下面按修正后的大前提再作一三段推論：——世界的根源是物質(zhì)的．——認識是世界的一部分．——所以，認識的根源是物質(zhì)的。物質(zhì)與認識是有親密聯(lián)絡(luò)的，卻不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太陽與地球嚴密聯(lián)絡(luò)著，但太陽是太陽，地球是地球。一、公理方法的作用02二月2024唯物論以為物質(zhì)是第一性的，認識是第二性的，這就是說，認識的根源是物質(zhì)的。但決不以為認識本身就是物質(zhì)的或者認識是物質(zhì)的一部分。否那么，并不是正確的認識了物質(zhì)與認識的關(guān)系，而是混淆了兩者的關(guān)系。

辯證唯物主義還以為，在一定條件下，物質(zhì)可以變精神，精神可以變物質(zhì)。一、公理方法的作用02二月2024數(shù)學(xué)的現(xiàn)實還證明，數(shù)學(xué)是要求嚴厲遵守方式邏輯的，這一點不僅不妨礙辯證思想的開展，而且還為把握辯證邏輯提供了必需的根底。

當我們說到公理的作用的時候，并不是說人文學(xué)科、社會學(xué)科都該當建立在公理的根底上，甚至它們能不能做到這一點我們也還不知道。但是，至少，公理的方法也是能給我們在人文科學(xué)、社會科學(xué)中進展推理的時候亦須留意或自創(chuàng)的根身手項。一、公理方法的作用02二月20241.歸納，類比不完全歸納是發(fā)現(xiàn)的開場，是發(fā)明的開場，是非常珍貴的思想方式之一。另一方面的現(xiàn)實是，兒童從小就有歸納的閱歷，1～2歲的小孩的言語符號就在迅速添加，第二信號系統(tǒng)在迅速擴張。其所以能這樣，緣由之一就是他們首先是接觸歸納，并且能接受歸納。小孩子數(shù)(shǔ)數(shù)(shù)，開場學(xué)個位數(shù)困難一點，然后學(xué)十幾、二十幾，也困難一點，再往后學(xué)三十幾、四十幾、……的兩位數(shù)就不是很困難了，到了小學(xué)高年級，很大很大的數(shù)也能數(shù)(shǔ)。這也是歸納才干的表現(xiàn)。二、數(shù)學(xué)直覺的作用02二月2024能夠有3個問題：一是不太清楚兒童是有歸納才干(不完全歸納)；二是不太清楚不完全歸納的珍貴；三是不太清楚在加強收斂性訓(xùn)練、演繹訓(xùn)練的同時，不僅不應(yīng)磨損了兒童的歸納質(zhì)量，而且還繼續(xù)關(guān)注他們在這方面的開展。二、數(shù)學(xué)直覺的作用怎樣算?只需舍得花時間，一個個加就是了；假設(shè)要加到9999，時間上也花不起了。高斯小時候就有一個方法，兩頭相加，1+99=100，2+98=100，這樣，首尾共有49對，還有中間一個50不與什么數(shù)搭對了，于是結(jié)果馬上出來了：49×100+50=4950，二、數(shù)學(xué)直覺的作用與高斯同樣的思想，任何等差級數(shù)的求和都容易了，特別是正整數(shù)列求和：

。平方數(shù)求和呢?通常見到的是，一下子公式就給出來了：隨后便要求用數(shù)學(xué)歸納法證明。二、數(shù)學(xué)直覺的作用，，，這似乎還看不出什么來。我們還作些察看，并列出一個表來看，為了方便，我們運用兩個記號：，

二、數(shù)學(xué)直覺的作用我們看到了第8項，似已(由不完全歸納)看出

，這樣，似可得到二、數(shù)學(xué)直覺的作用12345678136101521283615143055911402041數(shù)學(xué)歸納法其所以是必要的，是由于它的邏輯嚴謹，是進一步的可靠性保證，它的證明所包含的兩個步驟是必不可少的，還要強調(diào)的是：少了一步都有危險。完全歸納與不完全歸納相互聯(lián)絡(luò)，相互依賴，各有優(yōu)點又各有缺陷。不完全歸納的優(yōu)點是發(fā)現(xiàn)，開辟，思想方式多樣、活潑。缺陷那么在它的嚴謹性、可靠性上尚有疑問。兩者皆可貴，兩者結(jié)合起來更珍貴。二、數(shù)學(xué)直覺的作用類比是不能登上論證推理的大雅之堂的，可是，類比是非常重要的發(fā)現(xiàn)式思想，非常重要的發(fā)明性思想。它和不完全歸納一樣，雖不屬于論證推理，但它們都屬于似真推理，它們不最后確證真理，卻是逼近真理的必要途徑之一。(不完全)歸納由個別(或特殊)去發(fā)現(xiàn)普通(或普遍)，類比那么是由此去發(fā)現(xiàn)彼或由彼去發(fā)現(xiàn)此。歸納是發(fā)現(xiàn)同類事物之間的聯(lián)絡(luò)，類比是發(fā)現(xiàn)不同類別之間的聯(lián)絡(luò)。歸納和類比都是想象的詳細方式。二、數(shù)學(xué)直覺的作用是一個發(fā)散級數(shù)(其和不存在，或為無窮大)，但是的情況那么不同。又恰是上面那個發(fā)散級數(shù)給人以啟示，人們得到結(jié)論：當時發(fā)散，而當時它是收斂的。特別，當時，即級數(shù)是收斂的。二、數(shù)學(xué)直覺的作用歐拉不愧為偉大的數(shù)學(xué)巨匠，當然也可稱他是一位擅長歸納、類比的巨匠，他還是一位擅長發(fā)明性地運用符號的巨匠(運用最經(jīng)濟有效的符號表達)。就在前一個求和的根底上，他還討論了以下級數(shù)的和：這個和是。而且他還猜測(是某個正整數(shù))。二、數(shù)學(xué)直覺的作用2.直覺雖然我們可以把直覺明確敘說為直接的覺察，但似乎也不能給人以明晰的覺得：直覺終究是什么？然而，我們可在進一步的詳細討論中去把握。直覺是指對事物直接的覺察、領(lǐng)悟甚至是印象?！斑@個人看來不是個好人。〞為什么？“憑我的直覺。〞說不出很明確的理由來。日常生活中的這種直覺多的是。數(shù)學(xué)直覺那么是指對數(shù)學(xué)對象或問題(性質(zhì)、關(guān)系或構(gòu)造)的直接領(lǐng)悟或覺察。二、數(shù)學(xué)直覺的作用1617年，笛卡兒還在軍營里服役，但服役期間就經(jīng)常思索數(shù)學(xué)問題，并處理過一些問題。1619年11月10日，他帶著一系列思索入睡了，一連作了幾個夢，這天晚上他感到本人“發(fā)現(xiàn)了一種不可思議的科學(xué)的根底〞，笛卡兒后來說：“第二天，我開場懂得這驚人發(fā)現(xiàn)的根本原理〞。笛卡兒1619年的這不斷覺發(fā)現(xiàn)，于1637年出版<更好地指點推理和尋求科學(xué)真理的方法論>一書，時隔18年，直覺作了先導(dǎo)。二、數(shù)學(xué)直覺的作用1880年，龐加萊在尋求單復(fù)變自守函數(shù)的變換方法時，進展了長時間的任務(wù)，但毫無所獲，有一天，他決議暫時把任務(wù)擱下來，去鄉(xiāng)下游覽，然而當他剛登上車時，一個新穎的思想忽然閃現(xiàn)，問題的答案能夠就是那個非歐幾何變換。伯克利數(shù)學(xué)研討所所長開普蘭斯基在談到本人的體驗時說：“當一個難題糾纏他時，他會在長時間內(nèi)一無進展。有時某些東西數(shù)月甚至數(shù)年被他忽視，而后他忽然間有了意想不到的發(fā)現(xiàn)，可他卻不知道它是從什么地方冒出來的。〞二、數(shù)學(xué)直覺的作用3.直覺的特性心思學(xué)上，把直覺分為三個層次：直覺判別，猜測，洞察；從直覺的不同特點看，直覺又分為辨識直覺、關(guān)聯(lián)直覺、審美直覺；從對直覺構(gòu)成的不同了解上看，又可分為綜合型的、類推型的和選擇型的。這里，我們所要討論的是直覺的一些共同特點。(1)非邏輯性(2)偶爾性，自發(fā)性(3)易逝性(4)情感性二、數(shù)學(xué)直覺的作用這些特點對加強本人直覺才干有許多實踐的、詳細的啟示：a．當他百思不得其解時，有意無意地擱置一下，去做做別的事情，這種轉(zhuǎn)換期間獲得靈感的能夠性是存在的。b．當他耐久的思索仍找不到答案的時候，暫時忘卻它，能夠還會添加產(chǎn)生其他聯(lián)想的時機，不僅在不同的任務(wù)之間而且在任務(wù)與休閑之間轉(zhuǎn)換。c．有意思地進展各種方式的學(xué)術(shù)交流是非常必要的，閱讀同一學(xué)科的不同觀念的論文，甚至閱讀一點不同窗科的論文或著作，尤其要有面對面的學(xué)術(shù)交流或思想碰撞。d．與人協(xié)作是重要的，學(xué)術(shù)自在是重要的。二、數(shù)學(xué)直覺的作用e．別忘了一些特殊的時辰有特殊的作用，別忘了一些特殊的地點和場所也有特殊的效果。f．直覺出現(xiàn)的忽然性、易逝性直接提示我們，偶爾進發(fā)出來的思想火花應(yīng)及時記載下來。g．被記下的思想還需求進一步去琢磨它，由于直覺的可靠性還需求再檢驗。h．直覺出現(xiàn)的非邏輯性、隨機性、易逝性等等，都不闡明偶爾性在支配一切。勤于思索是最重要的根底，沒有這一必要根底，一切機遇都會喪失。二、數(shù)學(xué)直覺的作用在人類文明中，有物質(zhì)文明和精神文明兩翼；在人類知識寶庫中，有科學(xué)技術(shù)和人文、社會兩翼；在人類發(fā)明之中，有直覺與邏輯的兩翼；很巧，人的大腦也有兩翼：左半腦和右半腦——這構(gòu)成了奇特的人類景象。1.直覺與邏輯的互補一個人的邏輯才干和直覺才干都是必要的，但很難說清什么比例是最正確的，由于兩種才干的性質(zhì)不同，更難以用定量的方式描寫這種比例。一個具有發(fā)明力的人，決不能只需其一而缺另一。三、左右腦開發(fā)當發(fā)明(包括學(xué)習中的發(fā)明)過程中直覺出現(xiàn)以后，隨之而來的普通是邏輯的加工和整理。科學(xué)任務(wù)的最終產(chǎn)品不是直覺，它必需有明確的結(jié)論和相應(yīng)的實際系統(tǒng)。相比于邏輯，直覺有時更困難，直覺更需求人的想象力、發(fā)明力。然而，對直覺成果的邏輯加工也不是一件簡單的事。甚至有這樣的例子，從直覺的意義上人們無法接受的東西，邏輯上卻證明了它的存在，人們還是不能不接受它，即使不情愿，即使他厭惡它。這是邏輯與直覺的互補作用。三、左右腦開發(fā)2.左右腦問題左腦主要是言語的，分析的，數(shù)理的，以及邏輯推理的功能，其運轉(zhuǎn)猶如串行的、繼時的信息處置，是因果式的思索方式，循序漸進，以線性方式處置信息。左腦是“言語中樞〞，擔任了解文字、言語、數(shù)字計算，將復(fù)雜的問題或事物細分成單個的要素，有條理地展開思想，具有確定性、收斂性的特點，并擔任處理可行性問題。這是左腦的特點，也是優(yōu)點，卻同時也預(yù)示了左腦的缺陷。左腦能處置籠統(tǒng)領(lǐng)域里的問題，卻無法處置籠統(tǒng)領(lǐng)域里的問題；左腦在邏輯領(lǐng)域里暢行，卻難以處置非邏輯領(lǐng)域的問題；左腦在言語文字、符號數(shù)字所及的范圍大顯神通，卻不能處置尚未能用符號、言語表達而只能依賴直覺的問題。三、左右腦開發(fā)右腦具有籠統(tǒng)性、非邏輯性，它有“縱觀全局〞的身手，它的觸角可以伸展到意想不到的角落，它能處置尚未用言語符號正式表達的問題。右腦抗干擾，能在任何形狀中(甚至在睡眠形狀下)不停地任務(wù)。頓悟、靈感經(jīng)常在無認識形狀下產(chǎn)生，這正是右腦的作用。所以，右腦是靈感、直覺、想象等發(fā)明性思想火花閃現(xiàn)的地方，是頓悟的發(fā)源地。假設(shè)不注重(不完全)歸納、類比、聯(lián)想及普通的直覺訓(xùn)練，不注重非方式化內(nèi)容或不注重對數(shù)學(xué)思想本質(zhì)的引見，右腦的訓(xùn)練也就很微弱，右腦的許多優(yōu)點就難以發(fā)揚，右腦的開發(fā)就會碰到極大的困難。三、左右腦開發(fā)左右腦都有突出的優(yōu)點，同時又都有各自的局限，因此，左右腦的同時開發(fā)是重要的，左右腦的相互配合是更重要的。左右腦的同時開發(fā)是人的全面開展的重要內(nèi)容。因此，同時留意邏輯訓(xùn)練和直覺訓(xùn)練的教育是關(guān)系人的全面開展的大事情，是關(guān)系培育發(fā)明性人才的大事情。右腦有很多特點，但右腦需求左腦的刺激，需求左腦確定義務(wù)，并由左腦提供應(yīng)右腦以能量和愉快心境的必要條件，以及對右腦構(gòu)成的初看起來并無根據(jù)的“原資料〞進展邏輯加工，進展分析、整理。三、左右腦開發(fā)左腦有很多特點，但左腦需求右腦提供資料，甚至在籠統(tǒng)時也需求右腦配合，例如在強籠統(tǒng)(內(nèi)涵添加，外延減少)和完全理想化的籠統(tǒng)(如物理學(xué)中的質(zhì)點概念，幾何學(xué)中的點線面概念)中，需求右腦的綜合、想象來加以輔助。左腦猶如一位專門家，右腦那么猶如一位萬能博士；左腦好比一個擅長分析的戰(zhàn)術(shù)指揮官，右腦那么是一位能“縱觀全局〞的戰(zhàn)略家；左腦宛如一盤盤錄像帶，看到的情景，聞到的氣味，聽到的音頻，被收錄下來，像一座巨型倉庫，為了便于提取、組合，右腦就給錄像帶進展分類、編排并貼上標簽。左右腦是能彼此配合的。三、左右腦開發(fā)3.關(guān)注右腦開發(fā)