專題01 二次函數(shù)與方程、不等式全攻略（解析版）

專題01二次函數(shù)與方程、不等式全攻略目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一二次函數(shù)與一元二次方程】 1【題型二二次函數(shù)與不等式】 7【題型三二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)之間的關(guān)系】 11【專項(xiàng)綜合檢測(cè)】 20【題型一二次函數(shù)與一元二次方程】【方法指導(dǎo)】【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；反過來，一元二次方程ax2【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)y=ax2+二次函數(shù)y=ax2+一元二次方程ax一元二次方程ax22兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?>01兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?=00沒有實(shí)數(shù)根?<0【典型例題】【例1】（2023秋·寧夏銀川·九年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，cx3.233.243.253.26a-0.06-0.020.030.09

A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【答案】C【分析】利用x=3.24，ax2+bx+c=-0.02，而x=3.25，ax2+bx+c=0.03，則可判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0，a【詳解】解：∵x=3.24，axx=3.25，ax時(shí)，ax2即方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，【例2】（2023秋·湖北黃岡·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x＝1，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（）A．﹣1≤t＜8 B．﹣1≤t＜3 C．t≥﹣1 D．3＜t＜8【答案】A【分析】先求出b，確定二次函數(shù)解析式，關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函數(shù)y＝x2﹣2x與直線y＝t的交點(diǎn)，然后求出當(dāng)﹣1＜x＜4時(shí)，-1≤y＜8，進(jìn)而求解；【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣4x，關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函數(shù)y＝x2﹣4x與直線y＝t的交點(diǎn)，∵二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值1-2=-1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1當(dāng)x=4時(shí)，y=4∴﹣1＜x＜4，二次函數(shù)y的取值為-1≤y＜8，∴-1≤t＜8；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解；將一元二次方程的解轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合的解決問題是解題的關(guān)鍵．【例3】（1）（2023秋·福建福州·九年級(jí)福建省長(zhǎng)樂第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線y=x2+2x-n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2-2x-n與x軸交于C，D兩點(diǎn)，其中n＞0，若AD＝2【答案】8【分析】先求出拋物線y=x2+2x-n與x軸的交點(diǎn)，拋物線y=x2-2x-n與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)【詳解】解：把y=0代入y=x2+2x-n解得：x1=-2-把y=0代入y=x2-2x-n解得：x3=2-∵AD=2BC，∴AD∴x1即-1-1+n-1-1+n令1+n=m，則-1-m解得：，m2=3當(dāng)時(shí)，1+n=13，解得：∵n＞∴不符合題意舍去；當(dāng)m2=3時(shí)，1+n=3∵8＞∴符合題意；綜上分析可知，n的值為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意用n表示出AD2=4B（2）（2023·江蘇徐州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=kx-2k+5與它有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則k【答案】-2+22或【分析】先確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，y=kx-2k+5=k（x-2）+5，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)（2，5）畫出圖形，分別找到兩個(gè)極限位置，求出k的值．【詳解】解：∵y=∴當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-1或x=3；當(dāng)x=0時(shí)，解得y=3∴A（-1,0），B（3,0），C（0，3）∵y=kx-2k+5=k（x-2）+5∴直線y=kx-2k+5必過定點(diǎn)（2，5）要使直線y=kx-2k+5與圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，則可得到如圖所示的兩個(gè)極限位置，①直線經(jīng)過A、N，此時(shí)將點(diǎn)A（-1，0）代入可得：0=-k-2k+5，解得：k=5②直線經(jīng)過點(diǎn)N與拋物線相切時(shí)，由題意可得：-整理得：xΔ=(k-2)2由圖像可知，k＞0，則k=-2+2綜上可知，y=kx-2k+5與y=x2-2x-3有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則k值為-2+2故答案為-2+22或5【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意找到恰好有3個(gè)公共點(diǎn)的位置以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下表是一組二次函數(shù)y=x2+3x-5的自變量x11.11.21.31.4-1-0.490.040.591.16那么方程x2+3x-5=0的一個(gè)近似根A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【答案】C【詳解】解：觀察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一個(gè)近似根為1.2，故選：C【點(diǎn)睛】題型：圖象法求一元二次方程的近似根．2、（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得對(duì)稱軸，進(jìn)而得出c=b-1，求得拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)得出Δ=b2-4ac≥0，進(jìn)而得出b=2，則c=1【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)∴2-3b+4b+c-12即c=b-1，∴y=-1∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴Δ=b即b2即b2-4b+4≤0，即∴b=2，c=b-1=2-1=1，∴2-3b=2-6=-4,4b+c-1=8+1-1=8，∴AB=4b+c-1-2-3b故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，與x軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象【答案】0或-3【分析】求關(guān)于x的方程ax2+bx=0的根，其實(shí)就是求在二次函數(shù)y=【詳解】解：∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-4，0），（1，0），∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1.5，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，4）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，4），∴當(dāng)x=0或-3時(shí)，y=4,即ax2+bx∴關(guān)于x的方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=-3．故答案為：x1=0，x2=-3．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，能根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合把求出方程的解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題是解答此題的關(guān)鍵．【題型二二次函數(shù)與不等式】【方法指導(dǎo)】【知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)與不等式的關(guān)系】當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于0，即不等式ax2+bx+c>0a≠0時(shí)，解集為圖象在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的時(shí)，解集為圖象在x軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.【典型例題】【例4】（2023秋·寧夏石嘴山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為B3,0，則由圖象可知，不等式【答案】x<-1或x>3【分析】由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（3，0）和對(duì)稱軸x=1可以確定另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），又y=ax2+bx+c＞0時(shí)，圖象在x【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（3，0）而對(duì)稱軸x＝1∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)（﹣1，0）當(dāng)y=ax2+bx+c＞0時(shí)，圖象此時(shí)x＜﹣1或x＞3故答案為x＜﹣1或x＞3．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與x軸的交點(diǎn)，然后由圖象找出當(dāng)y＞0時(shí)，自變量x的范圍，本題鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法．【例5】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=(x-m)(x-1)(1≤m≤2)，若函數(shù)過(p,t)點(diǎn)和(p+6,t)點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】35【分析】設(shè)直線y=t與拋物線的交點(diǎn)為，t)，，t)，由題意x1-x2=6，由y=ty=(x-m)(x-1)，消去y得到，，推出x1+x2=m+1，，由(x1【詳解】解：設(shè)直線y=t與拋物線的交點(diǎn)為，，，，由題意x1由y=ty=(x-m)(x-1)，消去y得到，，∴x1+，，，設(shè)，，當(dāng)1≤m≤2時(shí)，-1≤y'≤0，354≤t≤9故答案為354【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．【例6】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．【答案】x<－1或x>4．【分析】數(shù)形結(jié)合，將不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集轉(zhuǎn)化為直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的范圍即可．【詳解】由圖像可得，當(dāng)x<－1或x>4時(shí)，直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x<－1或x>4．故答案為：x<－1或x>4．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則不等式a(x-2【答案】或x>5【分析】直接利用函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．【詳解】∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，函數(shù)圖象在x軸的下方，∴函數(shù)y=a（x-2）2+b（x-2）+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為3，5，（把x-2作為一個(gè)整體，代入上面的函數(shù)中，）∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集為x<3或x>5，故答案為x<3或x>5．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式組，能根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．2、（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)昆山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像如圖所示，當(dāng)y＜3時(shí)，x的取值范圍是．【答案】－1＜x＜3【分析】根據(jù)圖象，寫出函數(shù)圖象在y=3下方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，－1＜x＜3時(shí)，y＜3，故答案為：－1＜x＜3.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式和二次函數(shù)的對(duì)稱性，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡(jiǎn)便．3、（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c是常數(shù)）的

【答案】x<1或x>3【分析】利用圖象法解不等式即可．【詳解】解：∵，∴ax將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)：y=ax2+bx+c由圖可知：點(diǎn)1,2,3,6在拋物線又∵1,2,3,6滿足直線∴兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為：1,2,

由圖象可知：當(dāng)x<1或x>3時(shí)，ax∴不等式的解集是x<1或x>3；故答案為：x<1或x>3．【點(diǎn)睛】本題考查圖象法求不等式的解集．解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為二個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．【題型三二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)之間的關(guān)系】【方法指導(dǎo)】【知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象系數(shù)及其決定對(duì)象系數(shù)特點(diǎn)圖象特征a決定拋物線開口大小和方向a開口向上a開口向下a越小開口越大a越大開口越小ba,b對(duì)稱軸為y軸a,對(duì)稱軸在y軸左側(cè)a,對(duì)稱軸在y軸右側(cè)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置c經(jīng)過原點(diǎn)c與y軸正半軸相交c與y軸負(fù)半軸相交【知識(shí)點(diǎn)5判斷與a,b,c相關(guān)的常見代數(shù)式與0的大小關(guān)系】b2-4ac：看拋物線與x2a+b或2a-b；看對(duì)稱軸與直線x=1或x=-1的位置；a+b+c或a-b+c：令a4+2b+c或4a-2b+c：令9a+3b+c或9a-3b+c：令【典型例題】【例7】（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)y=bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+a和二次函數(shù)y=ax2+bx+cA．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得出b＜0，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口以及對(duì)稱軸與y軸的關(guān)系，拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可得出a、b、c的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，A錯(cuò)誤；B、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，B錯(cuò)誤；C、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，C錯(cuò)誤；D、∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想．【例8】（2023秋·寧夏吳忠·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)y=ax+ba≠0與二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對(duì)稱軸與y軸的位置關(guān)系，即可得出a、b的正負(fù)性，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出結(jié)論．【詳解】A.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.

∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)正確；D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【例9】（1）（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于A-1,0，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線A．a(chǎn)>0 B．當(dāng)x>-1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,0 D．4a+2b+c>0【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開口向下，即a<0，故該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)圖像開口向下，對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x>1，y隨x的增大而減?。划?dāng)x<1，y隨x的增大而增大，故當(dāng)-1<x<1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>1，y隨x的增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于A-1,0，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=1，可得對(duì)稱軸x=xD、根據(jù)B3,0可知，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開口向下，根據(jù)對(duì)稱軸以及拋物線與x軸交點(diǎn)A-1,0得到B（2）（2023·湖北武漢·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為﹣8．其中正確結(jié)論的是．【答案】②③④【分析】根據(jù)拋物線圖象判斷參數(shù)符號(hào)判斷①，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可得b＝4a、c＝﹣5a，進(jìn)而判斷②；由方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x【詳解】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，則b＞0，交y軸的負(fù)半軸，則c＜0，∴abc＜0，①錯(cuò)誤；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣9a），∴﹣b2a＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴拋物線的解析式為y＝∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正確；∵拋物線y＝ax2+4ax﹣5a交x軸于（﹣5∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x若方程ax2+bx+c＝1則x1+x22設(shè)方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根分別為x3，所以這四個(gè)根的和為﹣8，④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a,b是非零實(shí)數(shù)，a>b，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1=ax2+bxA．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）可以求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ba，0）或點(diǎn)（1，a+b），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，進(jìn)一步即可判斷﹣ba與a+【詳解】解：解方程組：&y=ax2+bx&y=ax+b，得：故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)在x軸上為（﹣ba，0）或點(diǎn)（1，a+b在A選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，∴﹣ba＜0，a+b＞0，故選項(xiàng)A在B選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，∴﹣ba＞0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，故選項(xiàng)B在C選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，∴﹣ba＜0，a+b＜0，故選項(xiàng)C在D選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，∴﹣ba＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項(xiàng)D故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．2、（2023·湖北鄂州·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點(diǎn)A（﹣2，y1）、點(diǎn)B（﹣12，y2）、點(diǎn)C（72，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】由圖象可知a<0,c>0，對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為-1,0，然后可得b=-4a>0,a-b+c=0，則有c=-5a，進(jìn)而可判斷（1）（2）（3），最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行判斷（4）（5）．【詳解】解：由圖象及題意得：a<0,c>0，對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為-1,0，∴b=-4a>0,a-b+c=0，∴a+4a+c=0，即c=-5a，∴abc<0,3b-2c=3×-4a-2×-5a=-2a>0，故（由圖象可知當(dāng)x=-2時(shí)，則有4a-2b+c<0，即4a+c<2b，故（2）錯(cuò)誤；∵點(diǎn)A（﹣2，y1）、點(diǎn)B（﹣12，y2）、點(diǎn)C（72，y3）在該函數(shù)∴根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對(duì)稱軸的距離越近，其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∴y3>y由圖象可知當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)有最大值，最大值為y=4a+2b+c，∴當(dāng)x=m時(shí)，（m為常數(shù)），則有y=am∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即為4a+2b≥m綜上所述：正確的有（1）（3）（5）共3個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①a＞0；②b2-4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)∴b2-4ac＜0，故∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點(diǎn)（3,3）a+b+c=1∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯(cuò)誤；由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且過點(diǎn)（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)∴ax2+b-1x+c根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3故④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象的特征成為解答本題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1，0)；命題②：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3，0)；命題③：該函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=1．如果這四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題，則這個(gè)假命題是（

A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=-a2=1，確定a的值，根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，0），判斷方程的另一個(gè)根為x=-1，位于y【詳解】假設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則x=-a解得a=-2，∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故拋物線的解析式為y=x令y=0，得x2解得x1故拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-1，0）和（3，0），函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；故命題②，③，④都是正確，命題①錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x＝﹣12，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）．下列結(jié)論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱軸、開口方向、與y軸的交點(diǎn)位置即可判斷a、b、c與0的大小關(guān)系，然后將由對(duì)稱可知a＝b，從而可判斷答案．【詳解】解：①由圖可知：a＞0，c＜0，-b2a＜∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合題意．②由題意可知：-b2a＝∴b＝a，故②符合題意．③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合題意．④由圖象可知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有兩個(gè)不相同的解，故④不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確地由圖象得出a、b、c的數(shù)量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，函數(shù)y=ax2+bx+c與y=x-1的圖象A．bc<0 B．a(chǎn)+b+c>0C．2a+b=1 D．當(dāng)0<x<2時(shí)，【答案】C【分析】由圖象可得，a>0，c=-1，0<-b2a<1，拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，-1，2，1，則b<0，進(jìn)而可判斷A的正誤；根據(jù)二次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，y<0，可判斷B的正誤；將2，1代入y=a【詳解】解：由圖象可得，a>0，c=-1，0<-b2a<1，拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為0∴b<0，∴bc>0，A錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)x=1時(shí)，y<0，即，B錯(cuò)誤，故不符合要求；將2，1代入y=ax2+bx+c得，4a+2b-1=1當(dāng)0<x<2時(shí)，x-1>ax2+bx+c，即a故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，當(dāng)3＜m＜4時(shí)，總有n＞1，當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的解析式可以確定拋物線的頂點(diǎn)和增減性，再根據(jù)已知條件確定a的符號(hào)和關(guān)于a的不等式，從而得到a的值．【詳解】解：∵拋物線y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴拋物線的頂點(diǎn)為（5，9），∵當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，∴a不可能大于0，則a＜0，∴x＜5時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞5時(shí)，y隨x的增大而減小，∵當(dāng)3＜m＜4時(shí)，總有n＞1，當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，且x＝3與x＝7對(duì)稱，∴m＝3時(shí)，n≥1，m＝7時(shí)，n≤1，∴4a+9≥14a+9≤1∴4a+9＝1，∴a＝﹣2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性及其與圖象的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=mx2+3mx+m-1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m【答案】1或-【分析】函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則分兩種情況：第一種情況，函數(shù)圖象過原點(diǎn)；第二種情況，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，分別計(jì)算即可【詳解】當(dāng)函數(shù)圖象過原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)y=mx2+3mx+m-1此時(shí)滿足m-1=0，解得m=1；當(dāng)函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)且與坐標(biāo)軸y軸也有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿足Δ=3m2-4mm-1=0當(dāng)m=0是，函數(shù)變?yōu)閥=-1與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；綜上可得，m=1或m=-45時(shí)，函數(shù)故答案為：1或-【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．6．（2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(-1,P)，B(3,q)兩點(diǎn)，則不等式a【答案】x<-3或x>1．【分析】由ax2+mx+c>n可變形為ax2+c>-mx+n，即比較拋物線y=ax2+c與直線y=-mx+n之間關(guān)系，而直線PQ：y=-mx+n與直線AB：y=mx+n關(guān)于與y軸對(duì)稱，由此可知拋物線y=a【詳解】解：∵拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A∴-m+n=p，3m+n=q，∴拋物線y=ax2+c與直線y=-mx+n交于P觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x<-3或x>1時(shí)，直線y=-mx+n在拋物線y=ax∴不等式ax2+mx+c>n的解集為x<-3故答案為x<-3或x>1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【答案】3【分析】①由開口向上得到a>0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)得到b>0，由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上得到c>0