福建師大附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

福建師大附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A．1190 B．420 C．560 D．33602．已知全集，集合,，則（）A． B．C． D．3．已知，（），則數(shù)列的通項公式是（）A． B． C． D．4．若均為非負整數(shù)，在做的加法時各位均不進位（例如，），則稱為“簡單的”有序?qū)?，而稱為有序數(shù)對的值，那么值為2964的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是（）A．525 B．1050 C．432 D．8645．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是A．152 B．126 C．90 D．546．學校選派位同學參加北京大學、上海交通大學、浙江大學這所大學的自主招生考試，每所大學至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種7．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學，每名同學至少1本，則不同的分法有（）A．24種 B．28種 C．32種 D．36種9．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設，則使得的的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交12．直線是圓的一條對稱軸，過點作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的值域為_______．14．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)_______.15．某保險公司新開設了一項保險業(yè)務.規(guī)定該份保單任一年內(nèi)如果事件發(fā)生，則該公司要賠償元，假若在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為____________元.16．從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機取出2個球,設其中有個紅球,則為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法予以證明.18．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.19．（12分）已知函數(shù)滿足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）當時，求的最值.20．（12分）已知四棱錐的底面是正方形，底面.（1）求證：直線平面；（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為？21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若函數(shù)存在最小值，證明：的最小值不大于1．22．（10分）已知函數(shù)f(x)=4ax-a（1）當a=1時,求曲線f(x)在點(1,（2）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍；（3）設函數(shù)g(x)=6ex,若在區(qū)間[1,e]上至少存在一點x0

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)分類計數(shù)原理和組合的應用即可得解.【題目詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類計算原理可得.故選B.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理和組合的應用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

試題分析：，所以．考點：集合的交集、補集運算．3、C【解題分析】由，得：，∴為常數(shù)列，即，故故選C4、B【解題分析】分析：由題意知本題是一個分步計數(shù)原理，第一位取法兩種為0，1，2，第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，2，3，4根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個分步計數(shù)原理，第一位取法兩種為0，12第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，23，4根據(jù)分步計數(shù)原理知共有3×10×7×5=1050個故答案為：B.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．5、B【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，按甲乙的分工情況不同分兩種情況討論，①甲乙一起參加除了開車的三項工作之一，②甲乙不同時參加一項工作；分別由排列、組合公式計算其情況數(shù)目，進而由分類計數(shù)的加法公式，計算可得答案．解：根據(jù)題意，分情況討論，①甲乙一起參加除了開車的三項工作之一：C31×A33=18種；②甲乙不同時參加一項工作，進而又分為2種小情況；1°丙、丁、戌三人中有兩人承擔同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36種；2°甲或乙與丙、丁、戌三人中的一人承擔同一份工作：A32×C31×C21×A22=72種；由分類計數(shù)原理，可得共有18+36+72=126種，故選B．考點：排列、組合的實際應用．6、D【解題分析】分析：按題意5人去三所學校，人數(shù)分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類加法原理求解．詳解：由題意不同方法數(shù)有．故選D．點睛：本題考查排列組合的綜合應用，此類問題可以先分組再分配，分組時在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數(shù)為，不是，否則就出錯．7、B【解題分析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.8、B【解題分析】試題分析：第一類：有一個人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個人手上，有種分法，將剩余的本小說，本詩集分給剰余個同學，有種分法，那共有種；第二類：有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先兩本詩集分到一個人手上，有種情況，將剩余的本小說分給剩余個人，只有一種分法，那共有：種，第三類：有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有種情況，再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的個人，有種分法，那共有：種，綜上所述：總共有：種分法，故選B.考點：1、分布計數(shù)乘法原理；2、分類計數(shù)加法原理.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.9、B【解題分析】由題．又對應復平面的點在第四象限，可知，解得．故本題答案選．10、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x≥1時，對函數(shù)f（x）求導分析可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結(jié)合單調(diào)性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．詳解：根據(jù)題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數(shù)y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），當x≥1時，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，則有f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，f（x+1）＜f（2x﹣2）?f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）?f（|x|）＜f（|2x﹣3|）?|x|＞|2x﹣3|，變形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集為（1，3）；故選：B．點睛：處理抽象不等式問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性的問題或解不等式(組)的問題，若為偶函數(shù)，則，若函數(shù)是奇函數(shù)，則．11、D【解題分析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【題目詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【題目點撥】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.12、C【解題分析】由是圓的一條對稱軸知，其必過圓心，因此，則過點斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長等于，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可得出值域.【題目詳解】當，當所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減則即函數(shù)的值域為故答案為：【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由正態(tài)分布的對稱性可知與關(guān)于對稱，從而列方程求解即可.【題目詳解】隨機變量，其正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，由于，所以與關(guān)于對稱.，解得：.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性及概率的簡單計算.15、【解題分析】

用表示收益額，設顧客繳納保險費為元，則的取值為和，由題意可計算出的期望．【題目詳解】設顧客繳納的保險金為元，用表示收益額，設顧客繳納保險費為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【題目點撥】本題考查利用離散型隨機變量的期望解決實際問題，解題關(guān)鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球的取法，再求得當個球都是紅球的取法，利用古典概型的概率計算公式，即可得到答案.詳解：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球，共有種方法，其中當個球都是紅球的取法有種方法，所以概率為.點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中概率排列、組合的知識得到基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

1利用代入計算，可得結(jié)論；2猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【題目詳解】1，且，當時，，，當時，，，或舍，當時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，，顯然成立，②假設時，結(jié)論成立，即，則當時，由，有，，，或舍，時結(jié)論成立，由①②知當，均成立．【題目點撥】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．18、（1）見解析（2）2【解題分析】試題分析：（1）由，根據(jù)正弦定理可得，利用兩角和的正弦公式展開化簡后可得，所以，；（2）由，根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合（1）的結(jié)論可得三角形為等腰三角形，于是可得，由，解得.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由已知得：，展開得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.19、（1）；（2）最大值為3，最小值為．【解題分析】

(1)代入即可得到的值，化簡整理，利用周期公式即可得到答案；（2）當，利用第一問求得的解析式分析可得到最值.【題目詳解】解：（1）由，得，解得所以函數(shù)的最小正周期（2）當時，，所以的最大值為3，最小值為．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)中周期的計算，最值的計算，意在考查學生的基礎(chǔ)知識，難度不大.20、(1)證明見解析；(2)1.【解題分析】分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)可得，由正方形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可證平面；（2）設，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，分別利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.詳解：（1）證明：∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴平面.（2）解：設，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，為計算方便，不妨設，則，，，，則，，.設平面的法向量為，則，令，則，，∴.設平面的法向量為，，令，又，則，∴.要使二面角的大小為，必有，∴，∴，∴.即當時，二面角的大小為.點睛：本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.21、（1）見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)條件求出f'（x），然后通過構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2ex（x＞1），進一步得到f'（x）的零點個數(shù)；（2）由題意可知a≥1時，函數(shù)f（x）無最小值，則只需討論當a＜1時，f（x）是否存在最小值即可．【題目詳解】(1),令,故在上單調(diào)遞增,且.當時,導函數(shù)沒有零點,當時,導函數(shù)只有一個零點.(2)證明:當時..則函數(shù)無最小值.故時,則必存在正數(shù)使得.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，,令.則令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以,即.所以的最小值不大于1.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了函數(shù)思想和分類討論思想，屬中檔題．22、(1)y=3x(2)[12【解題分析】

（1）求出f（x）的導數(shù)，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到