2024屆廣東省揭陽(yáng)市揭東區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆廣東省揭陽(yáng)市揭東區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)需要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行第二次摸球，若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則為中獎(jiǎng)，按照這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為（）A． B． C． D．2．某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A．甲的極差是29 B．甲的中位數(shù)是24C．甲罰球命中率比乙高 D．乙的眾數(shù)是213．若函數(shù)的圖象與直線相切，則()A． B． C． D．4．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則的值為()A． B． C． D．15．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（）A． B． C． D．6．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則()A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．從中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的數(shù)可以被3整除”,“第二次取到的數(shù)可以被3整除”，則()A． B． C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．10．設(shè)M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-11．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查大學(xué)生的性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過隨機(jī)詢問111名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得P（K2>k）

1．11

1．14

1．124

1．111

1．114

1．111

k

2．615

3．841

4．124

5．534

6．869

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有8．4%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”B．有8．4%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1．14%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1．14%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”12．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）14．正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為______.15．如圖是棱長(zhǎng)為的正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，直線與所成角的余弦值為________．16．圓C1：在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線C2，曲線C2在矩陣N＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線C3，則曲線C3的方程為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，?）若，求；（2）若，求.18．（12分）甲、乙兩位同學(xué)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5項(xiàng)預(yù)賽，成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?876749082乙：9070758580（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從平均數(shù)、方差的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？說(shuō)明理由.19．（12分）為了更好的了解某校高二學(xué)生化學(xué)的學(xué)業(yè)水平學(xué)習(xí)情況，從800名高二學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，將他們的化學(xué)模擬考試成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖．據(jù)統(tǒng)計(jì)在內(nèi)有10人．（1）求及圖中實(shí)數(shù)的值；（2）試估計(jì)該校高二學(xué)生在這次模擬考試中，化學(xué)成績(jī)合格（不低于60分）的人數(shù)；（3）試估計(jì)該校高二全體學(xué)生在這次模擬考試中的化學(xué)平均成績(jī)．20．（12分）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若，求的值域．21．（12分）設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）令，，，求的表達(dá)式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？不需說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

可將中獎(jiǎng)的情況分成第一次兩球連號(hào)和第二次取出的小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況，分別計(jì)算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】中獎(jiǎng)的情況分為：第一次取出兩球號(hào)碼連號(hào)和第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況第一次取出兩球連號(hào)的概率為：第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出號(hào)碼相同的概率為：中獎(jiǎng)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查和事件概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進(jìn)行分類，進(jìn)而通過古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對(duì)應(yīng)的概率.2、B【解題分析】

通過莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A對(duì)；找出甲中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出D錯(cuò)；根據(jù)圖的數(shù)據(jù)分布，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出C對(duì)．【題目詳解】由莖葉圖知甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故A對(duì)甲中間的兩個(gè)數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為故B不對(duì)甲的命中個(gè)數(shù)集中在20而乙的命中個(gè)數(shù)集中在10和20，所以甲的平均數(shù)大，故C對(duì)乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以D對(duì)故選B．【題目點(diǎn)撥】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．3、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，由可解得切點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的值?！绢}目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則由題意知即解得或者故選B【題目點(diǎn)撥】高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．4、D【解題分析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個(gè)不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，y′＞0，y=是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個(gè)不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個(gè)根t1，t2一正一負(fù)；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．5、B【解題分析】

先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定其圓心的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)即可．【題目詳解】圓化為,，配方為，因此圓心直角坐標(biāo)為，可得圓心的極坐標(biāo)為故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)．6、D【解題分析】

隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,

,

答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對(duì)稱性是解決問題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

試題分析：令，則，當(dāng)時(shí)，，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，在遞增，即有，則方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，成立，由，即，解得且；或解得，即為，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.考點(diǎn)：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，注重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及學(xué)生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.8、C【解題分析】分析：先求，，再根據(jù)得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?選C.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.9、C【解題分析】

由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，得周期，，得出圖像關(guān)于對(duì)稱，可求出，，得出函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合對(duì)稱中心和周期的范圍，求出周期，即可求解.【題目詳解】設(shè)的最小正周期為，在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，即，由知，有對(duì)稱中心，所以.由，且，所以有對(duì)稱軸.故.解得，于是，解得，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性和周期性及其求法，屬于中檔題.10、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉(zhuǎn)化為斜率的范圍，斜率就是導(dǎo)數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是其圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率．解題時(shí)要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關(guān)系，特別是正切函數(shù)的性質(zhì)．11、B【解題分析】解：計(jì)算K2≈8.815>6.869，對(duì)照表中數(shù)據(jù)得出有1.114的幾率說(shuō)明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1?1.114=8.4%的把握說(shuō)明兩個(gè)變量之間有關(guān)系，本題選擇B選項(xiàng).12、C【解題分析】，故答案選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中項(xiàng)的系數(shù).詳解：的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，，展開式項(xiàng)的系數(shù)為故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.14、.【解題分析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，.由，即，得，令，則，.可知平面的一個(gè)法向量為，又.，因此，直線與平面所成角的正弦值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面所成角的正弦的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，將問題利用空間向量法進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】

結(jié)合正方體的平面展開圖，作出正方體的直觀圖，可知是正三角形，從而可知直線與所成角為，即可得到答案.【題目詳解】作出正方體的直觀圖，連接，，易證三角形是正三角形，而，故直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了異面直線的夾角的求法，屬于中檔題.16、.【解題分析】分析：先根據(jù)矩陣變換得點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，代入C1可得C3的方程.詳解：設(shè)C1上任一點(diǎn)經(jīng)矩陣M、N變換后為點(diǎn)，則因?yàn)?，所以因此曲線C3的方程為.點(diǎn)睛：（1）矩陣乘法注意對(duì)應(yīng)相乘：（2）矩陣變換注意變化前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)：表示點(diǎn)在矩陣變換下變成點(diǎn)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、解：（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根據(jù)函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合A，然后根據(jù)交集的運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可．（2）時(shí)求出集合B,化簡(jiǎn)集合A,再求出A、B的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可．試題解析：（1），得，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴.18、(I)莖葉圖見解析；(II)甲.【解題分析】試題分析：(I)由圖表給出的數(shù)據(jù)畫出莖葉圖；(II)根據(jù)公式求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差,結(jié)合計(jì)算結(jié)果,甲乙平均數(shù)相同,因此選方差較小的參加比賽.試題解析：解：（Ⅰ）用莖葉圖表示如下：……3分（Ⅱ），，……7分而，……11分因?yàn)椋?，所以在平均?shù)一樣的條件下，甲的水平更為穩(wěn)定，所以我認(rèn)為應(yīng)該派甲去.…………12分考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.平均數(shù)與方差.【方法點(diǎn)晴】本題考查的是莖葉圖和平均數(shù)與方差的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題目.根據(jù)計(jì)算結(jié)果選出合適的人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,其中平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,平均數(shù)越大,則該名學(xué)生的平均成績(jī)?cè)礁?方差式用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的指標(biāo),方差越小,說(shuō)明數(shù)據(jù)波動(dòng)越小,即該名學(xué)生的成績(jī)?cè)椒€(wěn)定;要求學(xué)生結(jié)合算出的數(shù)據(jù)靈活掌握.19、（1）；；（2）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)在內(nèi)有10人，以及頻率分布直方圖，即可列式求出；根據(jù)頻率之和為1，即可列式求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績(jī)合格的頻率，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值.【題目詳解】（1）因?yàn)樵趦?nèi)有10人，考試成績(jī)?cè)诘念l率為，所以；又由頻率分布直方圖可得：，解得：；（2）由頻率分布直方圖可得：化學(xué)成績(jī)合格的頻率為，因此，化學(xué)成績(jī)合格（不低于60分）的人數(shù)為；（3）由頻率分布直方圖可得，該校高二全體學(xué)生在這次模擬考試中的化學(xué)平均成績(jī)?yōu)椋?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)a=1;(2).【解題分析】

分析：（1）令即可求得結(jié)果；（2）將原解析式代入，結(jié)合二倍角公式、輔助角公式等求得，將x的范圍帶入解析式，結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求出值域.【題目詳解】：（Ⅰ）依題意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得當(dāng)即時(shí)，取得最大值2，當(dāng)即時(shí)，取得最小值-1.所以的值域是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）求出的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(shè)(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對(duì)進(jìn)行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)＝.那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，