遼寧省重點高中協(xié)作校2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

遼寧省重點高中協(xié)作校2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于偶函數(shù)，“的圖象關(guān)于直線對稱”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件2．設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A． B．C． D．3．的外接圓的圓心為，，，則等于（）A． B． C． D．4．已知集合，，則從到的映射滿足，則這樣的映射共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個5．若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．86．已知向量，，其中，．若，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．7．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點；②是函數(shù)的極值點；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．89．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線A．0 B．1 C．lna D．10．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），若方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.312．計算：（）A．﹣1 B．1 C．﹣8 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為，則=_____．14．已知是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，,則________.15．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，，則的取值范圍是_______．16．已知是拋物線上的一點，過點的切線方程的斜率可通過如下方式求得在兩邊同時求導(dǎo)，得：，則，所以過的切線的斜率.試用上述方法求出雙曲線在處的切線方程為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：毫克)，質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品。如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖。產(chǎn)品質(zhì)量/毫克頻數(shù)（1）根據(jù)乙流水線樣本的頻率分布直方圖，求乙流水線樣本質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為產(chǎn)品包裝是否合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線總計合格品不合格品總計下列臨界值表僅供參考：參考公式：，其中.18．（12分）（1）已知矩陣的一個特征值為，其對應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個特征值.（2）在極坐標系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點，求點P到直線l：的最小距離.19．（12分）某射擊運動員每次擊中目標的概率是，在某次訓(xùn)練中，他只有4發(fā)子彈，并向某一目標射擊.（1）若4發(fā)子彈全打光，求他擊中目標次數(shù)的數(shù)學期望；（2）若他擊中目標或子彈打光就停止射擊，求消耗的子彈數(shù)的分布列.20．（12分）在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A（2，1）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程．（2）求｜AP｜?｜AQ｜的值．21．（12分）在中，角所對的邊分別是且.（1）求角A；（2）若為鈍角三角形，且，當時，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)推導(dǎo)的結(jié)果選出正確選項.【題目詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，即.“的圖象關(guān)于直線對稱”“是周期為2的周期函數(shù)”.故為充要條件，即本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題.2、A【解題分析】

由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【題目詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識解決問題的能力.3、C【解題分析】

，選C4、B【解題分析】分析：根據(jù)映射的定義，結(jié)合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有兩種不同情況，進而根據(jù)分步乘法原理得到答案詳解：：若f（3）=3，則f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故這樣的映射的個數(shù)是2×2=4個，故選：B．點睛：本題考查的知識點是映射的定義，分步乘法原理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題5、D【解題分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．【題目詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．6、D【解題分析】

已知向量，，根據(jù)，得到，即，再利用基本不等式求解.【題目詳解】已知向量，，因為，所以，即，又因為，，所以，當且僅當，，即時，取等號，所以的最大值為.故選：D【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算和基本不等式的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7、D【解題分析】分析：由條件利用導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側(cè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故-1不是極值點.根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導(dǎo)數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調(diào)遞增，故④正確，故選：D.點睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．導(dǎo)函數(shù)的正負代表了原函數(shù)的單調(diào)性，極值點即導(dǎo)函數(shù)的零點，但是必須是變號零點，即在零點兩側(cè)正負相反；極值即將極值點代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.8、D【解題分析】分析：先求出集合B中的元素，從而求出其子集的個數(shù)．詳解：由題意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，則B的子集個數(shù)為：23=8個，故選D．點睛：本題考察了集合的子集個數(shù)問題，若集合有n個元素，其子集有2n個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.9、A【解題分析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)?！绢}目詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)對稱軸的問題，即在函數(shù)上任意兩點x1,x2關(guān)于直線10、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點個數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，，所以零點成對出現(xiàn)，依題意，方程有兩個不同的正根，又當時，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時的切點為，則切線方程為，過點，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.11、C【解題分析】因，故由正態(tài)分布的對稱性可知，應(yīng)選答案C。12、D【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理，可直接求出結(jié)果.【題目詳解】.故選D【題目點撥】本題主要考查定積分，熟記微積分基本定理即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】作出可行域，目標函數(shù)可變?yōu)?，令，作出，由平移可知直線過時取最大值，則．則．故本題應(yīng)填．14、【解題分析】分析：先求導(dǎo)，再求，再求.詳解：由題得令x=0得，所以.故答案為：ln2.點睛：(1)本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)值的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.(2)解答本題的關(guān)鍵是求.15、【解題分析】

利用函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【題目詳解】因為函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及計算能力、分析能力，還考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16、【解題分析】分析：結(jié)合題中的方法類比求解切線方程即可.詳解：用類比的方法對兩邊同時求導(dǎo)得，，∴切線方程為，整理為一般式即：.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）210；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）先判斷中位數(shù)在第四組，再根據(jù)比例關(guān)系得到計算得到答案.（2）完善列聯(lián)表，計算，與臨界值表作比較得到答案.【題目詳解】解：（1）因為前三組的頻率之和前四組的頻率之和所以中位數(shù)在第四組，設(shè)為由，解得（2）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數(shù)為，所以，列聯(lián)表是：甲流水線乙流水線總計合格品不合格品總計所以的觀測值故在犯錯誤的概率不超過的前提下，不能認為產(chǎn)品的包裝是否合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．【題目點撥】本題考查了中位數(shù)的計算，獨立性檢驗，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.18、（1）；；（2）.【解題分析】

（1）由矩陣運算，代入可求得或，即求得另一個特征值。（2）由直角坐標與極坐標互換公式，實現(xiàn)直角坐標與極坐標的相互轉(zhuǎn)化。【題目詳解】（1）由得：，，矩陣的特征多項式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個特征值為（2）以極點為原點，極軸為軸建立平面直角坐標系．因為，所以，將其化為普通方程，得將曲線：化為普通方程，得．所以圓心到直線的距離所以到直線的最小距離為【題目點撥】直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標與極坐標的相互轉(zhuǎn)化。19、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）他擊中目標次數(shù)可能取的值為1，1，2，3，4，由題意，隨機變量服從二項分布，即~，則可求4發(fā)子彈全打光，擊中目標次數(shù)的數(shù)學期望；（2）由題意隨機變量可能取的值是1，2，3，4，由此可求他擊中目標或子彈打光就停止射擊，求消耗的子彈數(shù)的分布列詳解：（1）他擊中目標次數(shù)可能取的值為1，1，2，3，4由題意，隨機變量服從二項分布，即~（若列出分布列表格計算期望，酌情給分）（2）由題意隨機變量可能取的值是1，2，3，412341．91．191．1191．111點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題．20、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解題分析】

（1）由直線的傾斜角與所過定點寫出直線的參數(shù)方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，求得曲線的直角坐標方程，即可得到答案．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，以及的幾何意義，即可求解的值．【題目詳解】(1)由題意知，傾斜角為α的直線l過點A（2，1，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，因為ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，設(shè)P、Q的參數(shù)分別為t1、t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.【題目點撥】本題主要考查了直線的參數(shù)方程的求解，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，以及直線參