2024屆浙江省杭州求是高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆浙江省杭州求是高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，分別是橢圓C：的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)P，使得的面積為，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．2．對(duì)于復(fù)數(shù)，給出下列三個(gè)運(yùn)算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．3．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對(duì)近年的廣告支出與銷售額（單位：百萬元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)測(cè)算，年廣告支出與年銷售額滿足線性回歸方程，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．在中，為邊上一點(diǎn)，且，向量與向量共線，若，，，則（）A．3 B． C．2 D．6．為了解某高校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從編號(hào)為0001，0002，…，2000的2000名學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，并把樣本編號(hào)從小到大排列，已知抽取的第一個(gè)樣本編號(hào)為0003，則最后一個(gè)樣本編號(hào)是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．19637．把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號(hào)總大于乙所得電影票的編號(hào)，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種8．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的四個(gè)命題：①對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；②；③是純虛數(shù)；④．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．11．曲線在點(diǎn)處的切線方程是

A． B．C． D．12．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，每天的正點(diǎn)率服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為________（結(jié)果用數(shù)值表示）14．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．15．已知球O的半徑為R，點(diǎn)A在東經(jīng)120°和北緯60°處，同經(jīng)度北緯15°處有一點(diǎn)B，球面上A，B兩點(diǎn)的球面距離為___________；16．7個(gè)人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有______種不同排法三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式;(2)解關(guān)于的不等式．18．（12分）己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值．19．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）學(xué)校為了對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì).其中對(duì)教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，對(duì)教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，其中對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的有120人.（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)對(duì)教師教學(xué)水平不滿意合計(jì)請(qǐng)問是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量.①求對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②求的數(shù)學(xué)期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）21．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.22．（10分）2019年高考前夕某地天空出現(xiàn)了一朵點(diǎn)贊云，為了將這朵祥云送給馬上升高三的各位學(xué)子，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程：（2）點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求的最小值。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求出橢圓的焦距，求出橢圓的短半軸的長，利用已知條件列出不等式求出的范圍，然后求解離心率的范圍．【題目詳解】解：，分別是橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，短半軸的長：，橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)，使得△的面積為，可得，可得，解得，則橢圓的離心率為：．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得（1）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得到（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則可判斷（3）正確，從而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由三角形兩邊之和大于第三邊可得，（1）正確；設(shè)，則，，（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知，（3）正確，即正確命題的個(gè)數(shù)是，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，意在考查基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于難題.3、D【解題分析】分析：求出,代入回歸方程計(jì)算，利用平均數(shù)公式可得出的值.詳解：,,,解得，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，線性回歸方程經(jīng)過樣本中心的性質(zhì)，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】分析：當(dāng)x≤2時(shí)，檢驗(yàn)滿足f（x）≥1．當(dāng)x＞2時(shí)，分類討論a的范圍，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：由于函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），故當(dāng)x≤2時(shí)，滿足f（x）=6﹣x≥1．①若a＞1，f（x）=3+logax在它的定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）=3+logax≥1，∴l(xiāng)ogax≥1，∴l(xiāng)oga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+logax在它的定義域上單調(diào)遞減，f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不滿足f（x）的值域是[1，+∞）．綜上可得，1＜a≤2，故答案為：B點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于中檔題．分段函數(shù)的值域是將各段的值域并到一起，分段函數(shù)的定義域是將各段的定義域并到一起，分段函數(shù)的最值，先取每段的最值，再將兩段的最值進(jìn)行比較，最終取兩者較大或者較小的.5、B【解題分析】取BC的中點(diǎn)E，則與向量共線，所以A、D、E三點(diǎn)共線，即中邊上的中線與高線重合，則.因?yàn)?，所以G為的重心，則所以本題選擇B選項(xiàng).6、D【解題分析】,故最后一個(gè)樣本編號(hào)為,故選D.7、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合的綜合問題.8、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋?，解得（舍去），所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.9、B【解題分析】

求出z的坐標(biāo)判斷①；求出判斷②；求得的值判斷③；由兩虛數(shù)不能進(jìn)行大小比較判斷④．【題目詳解】∵，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），在第一象限，故①正確；，故②錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，故③正確；∵兩虛數(shù)不能進(jìn)行大小比較，故④錯(cuò)誤．∴其中真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角，其中為等腰直角三角形，，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【題目詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角，其中為等腰直角三角形，，

∴該幾何體的體積，

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.11、A【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程的斜率，即可得到切線方程．【題目詳解】曲線，解得y′=ex+xex，所以在點(diǎn)(2,1)處切線的斜率為1．曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=2．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的切線方程的求法，考查計(jì)算能力12、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，求得指定區(qū)間的概率.【題目詳解】由于，故，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式,即可求得項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為所以當(dāng)時(shí)為項(xiàng)則所以項(xiàng)的系數(shù)為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用,求指定項(xiàng)的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由曲線與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案?！绢}目詳解】聯(lián)立，得到交點(diǎn)為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。15、；【解題分析】

根據(jù)緯度差可確定，根據(jù)扇形弧長公式可求得所求距離.【題目詳解】在北緯，在北緯，且均位于東經(jīng)兩點(diǎn)的球面距離為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查球面距離的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過緯度確定扇形圓心角的大小，屬于基礎(chǔ)題.16、240.【解題分析】分析：本題是一個(gè)排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，相乘得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，∵乙和丙必須相鄰，∴把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，根據(jù)乘法原理知共有A55A22=240種結(jié)果，故答案為240點(diǎn)睛：站隊(duì)問題是排列組合中的典型問題，解題時(shí)要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后要用計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果，本題的甲不影響排列．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數(shù)解析式即可得出函數(shù)的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【題目詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因?yàn)?，所以，由，得，即，，解得?又，，所以或.故不等式的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問考查函數(shù)解析式的求解，對(duì)于簡單復(fù)合函數(shù)解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問考查對(duì)數(shù)不等式的解法，一般要轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)來處理，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，同時(shí)也要注意真數(shù)大于零這個(gè)隱含條件．18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）直線的參數(shù)方程消去t可求得普通方程．由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，求得曲線C普通方程．（2）直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)），由t的幾何意義求值．【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程為，即，曲線C的直角坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)），代入，，，，．【題目點(diǎn)撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，由，進(jìn)而，由，得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【題目詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平?（2）（方法一）由（1）知，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計(jì)算得，，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計(jì)算能力，是中檔題20、(1)可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān).(2)①見解析②，【解題分析】分析：（1）由題意得到列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求得的值后，再根據(jù)臨界值表可得結(jié)論．（2）①由條件得到的所有可能取值，再求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列．②由于，結(jié)合公式可得期望和方差．詳解：（1）由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)12060180對(duì)教師教學(xué)水平不滿意10515120合計(jì)22575300由表中數(shù)據(jù)可得，所以可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān).（2）①對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的概率為，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列為：01234②由于，則，.點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于二項(xiàng)分布的均值和方差可根據(jù)公式直接計(jì)算即可．21、（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由正變負(fù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2