山西省新絳汾河中學2024屆數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題含解析

山西省新絳汾河中學2024屆數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對其質量（單位：g）進行統(tǒng)計，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機選取1袋，則該袋食用鹽的質量在內的概率為（）A． B． C． D．2．設有個不同顏色的球，放入個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種3．口袋中放有大小相等的2個紅球和1個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列，如果為數(shù)列前n項和，則的概率等于（）A． B．C． D．4．設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．設等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．66．王老師在用幾何畫板同時畫出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當改變的取值時，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時而無交點，并且在某處只有一個交點，則通過所學的導數(shù)知識，我們可以求出當函數(shù)只有一個交點時，的值為（）A． B． C． D．7．若函數(shù)則（）A．-1 B．0 C．1 D．28．某圖書出版公司到某中學開展奉獻愛心圖書捐贈活動，某班級獲得了某品牌的圖書共4本，其中數(shù)學、英語、物理、化學各一本，現(xiàn)將這4本書隨機發(fā)給該班的甲、乙、丙、丁4個人，每人一本，并請這4個人在得到的贈書之前進行預測，結果如下：甲說：乙或丙得到物理書；乙說：甲或丙得到英語書；丙說：數(shù)學書被甲得到；丁說：甲得到物理書．最終結果顯示甲、乙、丙、丁4個人的預測均不正確，那么甲、乙、丙、丁4個人得到的書分別是（）A．數(shù)學、物理、化學、英語 B．物理、英語、數(shù)學、化學C．數(shù)學、英語、化學、物理 D．化學、英語、數(shù)學、物理9．已知函數(shù)，若，均在［1，4］內，且，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．11．已知拋物線y2=8x的焦點和雙曲線A．3 B．3 C．5 D．512．某班4名同學參加數(shù)學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一棱長為的正方體框架，其內放置氣球，使其充氣且盡可能地膨脹(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為____________.14．的平方根為______．15．在正數(shù)數(shù)列an中，a1=1，且點an,an-1n≥2在直線16．已知是方程的一個根，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求；（2）若，求.18．（12分）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:該興趣小組確定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用1月和6月的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）請根據(jù)2、3、4、5月的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?（參考公式:，）參考數(shù)據(jù)：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.19．（12分）已知數(shù)列，，，，，，記數(shù)列的前項和．1計算，，，；2猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．20．（12分）如圖，在中，，角的平分線交于點，設,其中是直線的傾斜角．（1）求；（2）若，求的長21．（12分）如圖，底面是邊長為的正方形，⊥平面，∥，，與平面所成的角為．（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題，分析莖葉圖，找出質量在[499,501]的個數(shù)，再求其概率即可.【題目詳解】這個數(shù)據(jù)中位于的個數(shù)為，故所求概率為故選B【題目點撥】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關鍵，屬于基礎題.2、D【解題分析】

要求每個盒子中至少有一個球，可將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．【題目詳解】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D【題目點撥】將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D3、B【解題分析】分析：由題意可得模球的次數(shù)為7次，只有兩次摸到紅球，由于每次摸球的結果數(shù)之間沒有影響，利用獨立性事件的概率乘法公式求解即可．詳解：由題意說明摸球七次，只有兩次摸到紅球，因為每次摸球的結果數(shù)之間沒有影響，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是所以只有兩次摸到紅球的概率是，故選B．點睛：本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式的應用，其中解答中通過確定摸球次數(shù)，且只有兩次摸到紅球是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．4、D【解題分析】令,則，設，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調遞增，在上都是單調遞減，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調性，從而確定函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。5、C【解題分析】

由又，可得公差，從而可得結果.【題目詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.6、B【解題分析】

當指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)只有一個公共點時，則在該點的公切線的斜率相等，列出關于的方程.【題目詳解】設切點為，則，解得：故選B.【題目點撥】本題考查導數(shù)的運算及導數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結合思想的應用，要注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點處公切線的斜率相等.7、B【解題分析】

利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【題目詳解】函數(shù)∴，故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力，屬于基礎題.8、D【解題分析】

根據(jù)甲說的和丁說的都錯誤，得到物理書在丁處，然后根據(jù)丙說的錯誤，判斷出數(shù)學書不在甲處，從而得到答案.【題目詳解】甲說：乙或丙得到物理書；丁說：甲得到物理書．因為甲和丁說的都是錯誤的，所以物理書不在甲、乙、丙處，故物理書在丁處，排除A、B選項；因為丙說：數(shù)學書被甲得到，且丙說的是錯誤的，所以數(shù)學書不在甲處，故排除C項；所以答案選D項.【題目點撥】本題考查根據(jù)命題的否定的實際應用，屬于簡單題.9、D【解題分析】

先求導，利用函數(shù)的單調性，結合，確定;再利用，即，可得，，設，，確定在上遞增，在有零點，即可求實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：，當時，恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個相等的函數(shù)值．故；由題設，則＝考慮到，即，設，，則在上恒成立，在上遞增，在有零點，則，，故實數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題考查了通過構造函數(shù)，轉化為函數(shù)存在零點，求參數(shù)取值范圍的問題，本題的難點是根據(jù)已知條件，以及，變形為，，然后構造函數(shù)轉化為函數(shù)零點問題.10、A【解題分析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.11、A【解題分析】

先求出拋物線的焦點坐標，進而可得到雙曲線的右焦點坐標，然后利用m=a2【題目詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為2,0，則雙曲線的右焦點為2,0，則m=22【題目點撥】本題考查了拋物線、雙曲線的焦點坐標的求法，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

氣球表面積最大時，球與正方體的各棱相切．【題目詳解】由題意要使氣球的表面積最大，則球與正方體的各棱相切，∴球的直徑等于正方體的面對角線長，即為，半徑為，球的表面積為．故答案為：．【題目點撥】本題考查球與正方體的切接問題，解題時要注意分辯：球是正方體的內切球（球與正方體各面相切），球是正方體的棱切球（球與正方體的所有棱相切），球是正方體的外接球（正方體的各頂點在球面上）．14、【解題分析】

根據(jù)可得出的平方根.【題目詳解】，因此，的平方根為.故答案為.【題目點撥】本題考查負數(shù)的平方根的求解，要熟悉的應用，考查計算能力，屬于基礎題.15、2【解題分析】

在正數(shù)數(shù)列an中，由點an,an-1在直線x-2y=0上，知a【題目詳解】由題意，在正數(shù)數(shù)列an中，a1=1，且a可得an-2即an因為a1=1，所以數(shù)列所以Sn故答案為2n【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項和公式的應用，同時涉及到數(shù)列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式的靈活運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．16、14【解題分析】

利用實系數(shù)的一元二次方程的虛根成對原理即可求出?！绢}目詳解】是關于方程的一個根，也是關于方程的一個根，，，解得，，故答案為：14【題目點撥】本題考查一元二次方程的虛根成對原理、韋達定理，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或1-2i.【解題分析】分析：（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.詳解：（1）若是純虛數(shù)，則，所以（2）因為，所以，所以或.當時，，當時，.點睛：（1）本題主要考查復數(shù)的概念、復數(shù)的模和共軛復數(shù)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)復數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.18、（1）；（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．

（2）根據(jù)所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．試題解析：（1）由數(shù)據(jù)求得由公式求得再由所以關于的線性回歸方程為.（2）當時,,；同樣,當時,,所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.19、1，，，；2，證明見解析.【解題分析】

（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得S3，S1．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用數(shù)學歸納法證明，檢驗n＝1時，猜想成立；假設，則當n＝k+1時，由條件可得當n＝k+1時，也成立，從而猜想仍然成立．【題目詳解】

；；；；猜想．證明：當時，結論顯然成立；假設當時，結論成立，即，則當時，，當時，結論也成立，綜上可知，對任意，．由，知，等式對任意正整數(shù)都成立．【題目點撥】本題考查根據(jù)遞推關系求數(shù)列的通項公式的方法，證明n＝k+1時，是解題的難點．20、（1）；（2）5.【解題分析】試題分析：（1）由直線的傾斜角概念可得，，由二倍角公式可求得，，故而可求得；（2）由正弦定理得，由得，聯(lián)立方程組得結果.試題解析：（1）∵是直線的傾斜角,，又，故，，則，∴，.（2）由正弦定理，得，即，∴，又，∴，由上兩式解得，又由，得，∴．21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因為底面為正方形所以得到AC⊥BD，進而得到線面垂直;(2)建立坐標系得到面BEF和面BDE的法向量，根據(jù)法向量的夾角的求法得到夾角的余弦值，進而得到二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD．DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，又BD∩DE=D，AC⊥平面BDE，又AC?平面ACE，平面ACE⊥平面BDE．（2）以D為坐標原點，DA、DC、DE所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，BE與平面ABCD所成的角為45°，即∠EBD=45°，DE=BD=AD=，CF=DE=．A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F(xiàn)（0，3，），=（﹣3，0，），=（0，3，），設平面BEF的一個法向量為=（，，），則，即，令=，則=（2，4，）．