2024屆北京市西城區(qū)第三十九中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆北京市西城區(qū)第三十九中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于,反證假設(shè)正確的是()A.假設(shè)三內(nèi)角都大于 B.假設(shè)三內(nèi)角都不大于C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于2.一物體做直線運(yùn)動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系是s=5t-t2,則該物體在A.-1m/s B.1m3.知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.下列判斷錯誤的是A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.“R,”的否定是“R,”C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.“<”是“a<b”的必要不充分條件5.x>2是x2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知定義在上的連續(xù)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B. C. D.7.小明同學(xué)喜歡籃球,假設(shè)他每一次投籃投中的概率為,則小明投籃四次,恰好兩次投中的概率是()A. B. C. D.8.在方程(為參數(shù))所表示的曲線上的點(diǎn)是()A.(2,7) B. C.(1,0) D.9.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.在△ABC中內(nèi)角A,B,C所對各邊分別為,,,且,則角=A.60° B.120° C.30° D.150°11.已知,則方程的實(shí)根個數(shù)為,且,則()A. B. C. D.12.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落在陰影部分的概率為_______.14.已知函數(shù),若正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是__________.15.已知橢圓的參數(shù)方程為,則該橢圓的普通方程是_________.16.的展開式中的系數(shù)為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾(其中2男2女).(1)求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率;(2)設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18.(12分)如果,求實(shí)數(shù)的值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時點(diǎn)的直角坐標(biāo).20.(12分)觀察下列等式:;;;;;(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),且直線與曲線交于兩點(diǎn),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值22.(10分)已知橢圓C:的左,右焦點(diǎn)分別為且橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

反證法的第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立,根據(jù)這個原則,選出正確的答案.【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立,即假設(shè)三內(nèi)角都不大于,故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程,理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關(guān)鍵.2、A【解題分析】

先對s求導(dǎo),然后將t=3代入導(dǎo)數(shù)式,可得出該物體在t=3s時的瞬時速度?!绢}目詳解】對s=5t-t2求導(dǎo),得s'因此,該物體在t=3s時的瞬時速度為-1m/s,故選:A?!绢}目點(diǎn)撥】本題考查瞬時速度的概念,考查導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】由題易知:,∴故選A點(diǎn)睛:利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小,一方面要比較兩個實(shí)數(shù)或式子形式的異同,底數(shù)相同,考慮指數(shù)函數(shù)增減性,指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性,當(dāng)都不相同時,考慮分析數(shù)或式子的大致范圍,來進(jìn)行比較大小,另一方面注意特殊值的應(yīng)用,有時候要借助其“橋梁”作用,來比較大?。?、D【解題分析】

根據(jù)題目可知,利用正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)分析,得出答案.【題目詳解】(1)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,故選項(xiàng)正確.(2)已知原命題是全稱命題,故其否定為特稱命題,將換為,條件不變,結(jié)論否定即可,故B選項(xiàng)正確.(3)若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故C選項(xiàng)正確.(4)當(dāng)時,“a<b”不能推出“<”,故D選項(xiàng)錯誤.綜上所述,故答案選D.【題目點(diǎn)撥】本題是一個跨章節(jié)綜合題,考查了正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)四個知識點(diǎn).5、A【解題分析】

解不等式x2【題目詳解】由x2-2x>0解得:x<0或x>2,因此,x>2是x2-2x>0的充分不必要條件,故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判斷,一般利用集合的包含關(guān)系來判斷兩條件的充分必要性:(1)A?B,則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件;(2)A?B,則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件;(3)A=B,則“x∈A”是“x∈B”的充要條件。6、C【解題分析】

根據(jù)時可得:;令可得函數(shù)在上單調(diào)遞增;利用奇偶性的定義可證得為偶函數(shù),則在上單調(diào)遞減;將已知不等式變?yōu)?,根?jù)單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系,解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時,令,則在上單調(diào)遞增為奇函數(shù)為偶函數(shù)則在上單調(diào)遞減等價(jià)于可得:,解得:本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,并且根據(jù)奇偶性的定義得到所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性,從而將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的比較.7、D【解題分析】分析:利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式:概率即可得出.詳解::∵每次投籃命中的概率是,

∴在連續(xù)四次投籃中,恰有兩次投中的概率.

故在連續(xù)四次投籃中,恰有兩次投中的概率是.故選D.點(diǎn)睛:本題考查了二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】分析:化參數(shù)方程(為參數(shù))為普通方程,將四個點(diǎn)代入驗(yàn)證即可.詳解:方程(為參數(shù))消去參數(shù)得到將四個點(diǎn)代入驗(yàn)證只有D滿足方程.故選D.點(diǎn)睛:本題考查參數(shù)分析與普通方程的互化,屬基礎(chǔ)題9、B【解題分析】

利用奇偶性可排除A、C;再由的正負(fù)可排除D.【題目詳解】,,故為奇函數(shù),排除選項(xiàng)A、C;又,排除D,選B.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問題,在做這類題時,一般要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性以及特殊點(diǎn)函數(shù)值來判斷,是一道基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】分析:利用余弦定理即可。詳解:由余弦定理可知,所以。點(diǎn)睛:已知三邊關(guān)系求角度,用余弦定理。11、A【解題分析】

由與的圖象交點(diǎn)個數(shù)可確定;利用二項(xiàng)式定理可分別求得和的展開式中項(xiàng)的系數(shù),加和得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時,與的圖象如下圖所示:可知與有且僅有個交點(diǎn),即的根的個數(shù)為的展開式通項(xiàng)為:當(dāng),即時,展開式的項(xiàng)為:又本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題,涉及到函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的求解;解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒍?xiàng)式配湊為展開項(xiàng)的形式,從而分別求解對應(yīng)的系數(shù),考查學(xué)生對于二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用能力.12、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,正方形的面積為,圓的面積為.由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B.點(diǎn)睛:對于幾何概型的計(jì)算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面積、體積或時間),其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計(jì)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

利用定積分求得陰影部分的面積,然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【題目詳解】由題意,結(jié)合定積分可得陰影部分的面積為,由幾何概型的計(jì)算公式可得,黃豆在陰影部分的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了定積分的幾何意義求解陰影部分的面積,以及幾何概型及其概率的計(jì)算問題,其中解答中利用定積分的幾何意義求得陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】因?yàn)?,所以函?shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù),因此由,得因此,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解題分析】

利用公式即可得到結(jié)果【題目詳解】根據(jù)題意,解得故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是橢圓的參數(shù)方程,解題的關(guān)鍵是掌握,屬于基礎(chǔ)題16、70.【解題分析】試題分析:設(shè)的展開式中含的項(xiàng)為第項(xiàng),則由通項(xiàng)知.令,解得,∴的展開式中的系數(shù)為.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解題分析】

設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),則,.(1)設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”,則,從而可得結(jié)果;(2)的可能取值為0,1,2,3,4,求出相應(yīng)的概率值,即可得到分布列與期望.【題目詳解】設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),則,.(1)設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”,則,.(2)的可能取值為0,1,2,3,4,,,=,,,,,,∴的分布列為01234∴.【題目點(diǎn)撥】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;第二步是:“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式,以及對立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個值時的概率;第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確;第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布X~B(n,p)),則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.18、【解題分析】分析:由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組,求解方程組可得.詳解:由題意得,解得.點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時M(,).【解題分析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法,即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα),則|MN|的最小值為M到距離最小值,利用三角函數(shù)知識即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,即,直角坐標(biāo)方程為,即;(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα),則|MN|的最小值為M到距離,即,當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ-(k∈Z)時,|MN|取得最小值,此時M(,).【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化成普通方程,利用三角函數(shù)知識即可求解,屬于中等題.20、(1);(2)(i)當(dāng)時,等式顯然成立;(ii)見證明;【解題分析】

(1)猜想第個等式為.(2)先驗(yàn)證時等式成立,再假設(shè)等式成立,并利用這個假設(shè)證明當(dāng)時命題也成立.【題目詳解】(1)猜想第個等式為.(2)證明:①當(dāng)時,左邊,右邊,故原等式成立;②設(shè)時,有,則當(dāng)時,故當(dāng)時,命題也成立,由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立.【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,一般有2個基本的步驟:(1)歸納起點(diǎn)的證明即驗(yàn)證命題成立;(2)歸納證明:即設(shè)命題成立并證明時命題也成立,此處的證明必須利用假設(shè),最后給出一般結(jié)論.21、(1).(2).【解題分析】分析:(1)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù),得曲線C的普通方

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