2024屆共美聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆共美聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．2502．已知隨機(jī)變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，3．已知雙曲線過(guò)，兩點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線上除點(diǎn)，外的任意一點(diǎn)，直線，斜率之積為，則雙曲線的方程是（）A． B． C． D．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．在等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的前10項(xiàng)和等于（）A． B．15 C．30 D．6．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．7．在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．2108．一次數(shù)學(xué)考試后，甲說(shuō)：我是第一名，乙說(shuō)：我是第一名，丙說(shuō):乙是第一名。丁說(shuō)：我不是第一名，若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（）A．B．8C．9D．1211．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足,且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設(shè)全集為，集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當(dāng)時(shí)，有，則__________.14．已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．命題“，”的否定是______.16．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（12分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個(gè)點(diǎn)，直徑上有異于的四個(gè)點(diǎn).則：（1）以這12個(gè)點(diǎn)（包括）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？（2）以這10個(gè)點(diǎn)（不包括）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？19．（12分）已知正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個(gè)菱形，三角形PAD是一個(gè)等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點(diǎn)E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．21．（12分）已知a，，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：根據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣2、C【解題分析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【題目詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3、D【解題分析】分析：根據(jù)兩條直線斜率之積為定值，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定解析式。詳解：因?yàn)橹本€，斜率之積為，即，設(shè)P（）則，化簡(jiǎn)得所以選D點(diǎn)睛：本題考查了圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)斜率乘積為定值確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于簡(jiǎn)單題。4、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.5、B【解題分析】由題意得是方程的兩根，∴，∴．選B．6、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.7、C【解題分析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項(xiàng)的系數(shù)，求和即可．【題目詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．8、C【解題分析】

通過(guò)假設(shè)法來(lái)進(jìn)行判斷?！绢}目詳解】假設(shè)甲說(shuō)的是真話，則第一名是甲，那么乙說(shuō)謊，丙也說(shuō)謊，而丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故甲說(shuō)的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說(shuō)的是真話，則第一名是乙，那么甲說(shuō)謊，丙說(shuō)真話，丁也說(shuō)真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故乙說(shuō)謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說(shuō)的是真話，則第一名是乙，所以乙說(shuō)真話，甲說(shuō)謊，丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故丙在說(shuō)謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說(shuō)的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，那么甲也說(shuō)謊，說(shuō)明甲也不是第一名，同時(shí)乙也說(shuō)謊，說(shuō)明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了推理能力。解決此類問(wèn)題的基本方法就是假設(shè)法。9、D【解題分析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增等價(jià)于在該區(qū)間內(nèi)恒成立．10、C【解題分析】試題解析：依題可得不等式的解集為，故，所以即，又，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，故選C考點(diǎn)：分式不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用11、D【解題分析】

將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，由于，，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，由題意可得，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查利用基本不等式求最值，對(duì)于不等式成立的問(wèn)題，需要結(jié)合量詞來(lái)決定所選擇的最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．12、C【解題分析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出兩個(gè)集合的公共部分即為兩個(gè)集合的交集.【題目詳解】由集合可知；因?yàn)椋?故選C.【題目點(diǎn)撥】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，復(fù)數(shù)相等的條件列式求解a值．【題目詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的分類，是基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f′（x）＞0，故當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．15、【解題分析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【題目詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題的否定.易錯(cuò)點(diǎn)是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是沒(méi)有改變量詞，或者對(duì)于大于的否定變成了小于.16、【解題分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，取代入導(dǎo)函數(shù)得到答案.【題目詳解】?jī)蛇叿謩e求導(dǎo)：取故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的計(jì)算，對(duì)兩邊求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．18、（1）360；（2）116.【解題分析】分析：（1）構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線，可以分成三類，將三類情況加到一起即可；（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個(gè)數(shù)為.詳解：（1）構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線，可以分成三類：①四個(gè)點(diǎn)從中取出，有個(gè)四邊形；②三個(gè)點(diǎn)從中取出，另一個(gè)點(diǎn)從，中取出，有個(gè)四邊形；③二個(gè)點(diǎn)從中取出，另外二個(gè)點(diǎn)從，中取出，有個(gè)四邊形．故滿足條件的四邊形共有(個(gè))．（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個(gè)數(shù)為(個(gè))．點(diǎn)睛:排列與組合問(wèn)題要區(qū)分開，若題目要求元素的順序則是排列問(wèn)題，排列問(wèn)題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素,高考中常見(jiàn)的排列組合問(wèn)題還有分組分配問(wèn)題，即不同元素分到不同組內(nèi)時(shí)，通常先分組后分配.19、（1）見(jiàn)證明；（2）【解題分析】

（1）要證明平面，利用中位線可先證明即可；（2）找出直線與平面所成角為，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在四棱錐中，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥校瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中位線，得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）設(shè)，由題意得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故平面．所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，所以．由條件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度中等.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點(diǎn),連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，,，設(shè)面的法向量為則可得；設(shè)面的法向量為則可得由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線線垂直、線面垂直的證明，考查利用空間向量計(jì)算二面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）