2024屆新疆維吾爾自治區(qū)普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆新疆維吾爾自治區(qū)普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．—個(gè)盒子里裝有相同大小的紅球、白球共個(gè),其中白球個(gè).從中任取兩個(gè),則概率為的事件是(

).A．沒有白球 B．至少有一個(gè)白球C．至少有一個(gè)紅球 D．至多有一個(gè)白球3．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．4．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．35．設(shè)函數(shù)滿足則時(shí)，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值6．某家具廠的原材料費(fèi)支出與銷售量（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則為x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．207．已知向量，，若與垂直，則（）A．-1 B．1 C．土1 D．08．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越小D．命題“若，則”的逆否命題為真命題9．已知隨機(jī)變量的取值為，若，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實(shí)數(shù)x都有（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．12．正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，則______.14．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．參加某項(xiàng)活動的六名人員排成一排合影留念，其中一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的概率為_______.16．中，，則邊上中線的長為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.18．（12分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個(gè)學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）袋子中裝有大小形狀完全相同的5個(gè)小球，其中紅球3個(gè)白球2個(gè)，現(xiàn)每次從中不放回的取出一球，直到取到白球停止．（1）求取球次數(shù)的分布列；（2）求取球次數(shù)的期望和方差．20．（12分）已知雙曲線和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求雙曲線的方程．（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)作直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程．21．（12分）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.22．（10分）如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

通過對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得出答案.【題目詳解】對于選項(xiàng)：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對于選項(xiàng)：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對于選項(xiàng)：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對于選項(xiàng)：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.2、B【解題分析】表示任取的兩個(gè)球中只有一個(gè)白球和兩個(gè)都是白球的概率，即至少有一個(gè)白球的概率.故選B.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.3、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡單題目.4、C【解題分析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【題目詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望方差.5、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.6、B【解題分析】分析：先求樣本中心，代入方程求解即可。詳解：，，代入方程，解得，故選B點(diǎn)睛：回歸直線方程必過樣本中心。7、C【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的向量垂直的條件，得到向量數(shù)量積等于零，從而得到，之后利用相應(yīng)的公式得到所滿足的條件，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)與垂直，可得，即，所以有，解得，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點(diǎn)有用向量的數(shù)量積等于零來體現(xiàn)向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相應(yīng)的等量關(guān)系式求得結(jié)果.8、D【解題分析】

利用四種命題之間的變換可判斷A；根據(jù)全稱命題的否定變法可判斷B；利用相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系可判斷C；利用原命題與逆否命題真假關(guān)系可判斷D.【題目詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯(cuò)誤；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯(cuò)誤；對于C，樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越大，故C錯(cuò)誤；對于D，命題“若，則”為真命題，故逆否命題也為真命題，故D正確；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了判斷命題的真假、全稱命題的否定、四種命題的轉(zhuǎn)化以及原命題與逆否命題真假關(guān)系、相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

設(shè)，，則由，，列出方程組，求出，，即可求得．【題目詳解】設(shè)，，①，又②由①②得，，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．10、B【解題分析】

先利用導(dǎo)數(shù)等式結(jié)合條件求出函數(shù)的解析式，由，得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在直線下方的圖象中只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出該函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由等式，可得，即，即（為常數(shù)），，則，，因此，，，令，得或，列表如下：極小值極大值函數(shù)的極小值為，極大值為，且，作出圖象如下圖所示，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，.另一方面，，則，由于函數(shù)在直線下方的圖象中只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，由圖象可知，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式的整數(shù)解問題，本題的難點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)方程求解函數(shù)解析式，另外在處理函數(shù)不等式的整數(shù)解的問題，應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，找到一些關(guān)鍵點(diǎn)來列不等式求解，屬于難題．11、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.12、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

求出向量的坐標(biāo)后，即可求出模.【題目詳解】解：由題意知，，則.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量的模的求解.14、【解題分析】

根據(jù)，確定參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】若滿足，則.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題型.15、【解題分析】

首先求出六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．【題目詳解】解：根據(jù)題意，六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個(gè)數(shù)為，一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的基本事件的個(gè)數(shù)為，甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的概率為

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的求解，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達(dá)式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設(shè)，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應(yīng)用中點(diǎn)三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點(diǎn)，由，得，即因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點(diǎn)為設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線為．設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，由消去得：,根據(jù)韋達(dá)定理得拋物線,即二次函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為可得切線方程為，化簡得，同理，得到拋物線在點(diǎn)處切線方程為，兩方程消去，得兩切線交點(diǎn)縱坐標(biāo)滿足,，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達(dá)定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解題分析】分析：（1）每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程，每一個(gè)人都有4種選擇，共有，名學(xué)生選學(xué)課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應(yīng)的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學(xué)生選學(xué)的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率；(3)按規(guī)范形式寫出隨機(jī)變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證．19、（1）見解析（2），【解題分析】

根據(jù)相互獨(dú)立事件概率求出離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差.【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知，，則的分布列為1234（2）則取球次數(shù)的期望，的方差.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】試題分析：（I）設(shè)雙曲線方程為，由題意得，結(jié)合，可得，故可得，，從而可得雙曲線方程．（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得可得直線方程．試題解析：（I）由題意得橢圓的焦點(diǎn)為，，設(shè)雙曲線方程為，則，∵∴，∴，解得，∴，∴雙曲線方程為．（II）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即．由消去x整理得，∵直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，∴，解得．設(shè)，,則，又為的中點(diǎn)∴，解得．滿足條件．∴直線，即.點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線位置關(guān)系的問題的常用方法是設(shè)出直線方程，把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，不要忽視消元后轉(zhuǎn)化成的關(guān)于x(或y)的方程的（或）項(xiàng)的系數(shù)不為0，同時(shí)不要忘了考慮判別式，要通過判別式對求得的參數(shù)進(jìn)行選擇．21、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷出函數(shù)