2024屆湖南省湘南聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆湖南省湘南聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧α?，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了2．二面角為，、是棱上的兩點，、分別在半平面、內(nèi)，，且，，則的長為A．1 B． C． D．3．祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，公元五世紀(jì)末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．設(shè)A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡稱“六藝”,某高中學(xué)校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識競賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場得分之和，在六場比賽后，已知甲最后得分為分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是()A．乙有四場比賽獲得第三名B．每場比賽第一名得分為C．甲可能有一場比賽獲得第二名D．丙可能有一場比賽獲得第一名5．命題“”的否定是（）A． B．C． D．6．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．58．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)為()①；②與及中至少有一個成立；③，，不能同時成立．A． B． C． D．9．已知橢圓方程為x24+y225=1，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足y≥-5A．V2=C．V2=54V10．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，關(guān)于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結(jié)論是真確的11．若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．12．橢圓短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線上一點到點的距離為9，則點到點的距離______.14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________．15．已知空間整數(shù)點的序列如下：，，，，，，，，，，，,,,…，則是這個序列中的第____________個.16．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《福建省高考改革試點方案》規(guī)定：從2018年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2021年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六門選考科目進行測試，其中化學(xué)考試原始成績基本服從正態(tài)分布．（1）求化學(xué)原始成績在區(qū)間（57，96）的人數(shù)；（2）以各等級人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間[71，90]的人數(shù)，求事件的概率(附：若隨機變量，,）18．（12分）已知命題實數(shù)滿足（其中），命題方程表示雙曲線.（I）若，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）（1）求證：當(dāng)時，；（2）證明：不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.20．（12分）如圖，已知圓心為的圓經(jīng)過原點．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與圓交于，兩點．若，求的值．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值．22．（10分）已知二項式，其展開式中各項系數(shù)和為.若拋物線方程為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點.（1）求展開式中最大的二項式系數(shù)（用數(shù)字作答）.（2）求線段的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進行推理，可得出正確選項.【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，丙的說法錯誤，則丙做對了，那么乙做錯了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯誤，則甲做對了，丙的說法錯誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯了，甲的說法錯誤，則甲做對了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，自相矛盾.故選：B.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理，解題時可以采用分類討論法進行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.2、C【解題分析】試題分析：考點：點、線、面間的距離計算3、A【解題分析】分析：利用祖暅原理分析判斷即可.詳解：設(shè)A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的充分不必要條件.故選：A.點睛：本題考查滿足祖暅原理的幾何體的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審查，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、A【解題分析】

先計算總分，推斷出，再根據(jù)正整數(shù)把計算出來，最后推斷出每個人的得分情況，得到答案.【題目詳解】由題可知,且都是正整數(shù)當(dāng)時，甲最多可以得到24分，不符合題意當(dāng)時，，不滿足推斷出，最后得出結(jié)論:甲5個項目得第一,1個項目得第三乙1個項目得第一,1個項目得第二，4個項目得第三丙5個項目得第二,1個項目得第三,所以A選項是正確的.【題目點撥】本題考查了邏輯推理,通過大小關(guān)系首先確定的值是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的邏輯推斷能力.5、B【解題分析】

根據(jù)“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”判斷.【題目詳解】“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選：B.【題目點撥】本題主要考查命題的否定，還考查理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進而求解.【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.7、D【解題分析】

先根據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標(biāo)和的值.【題目詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D【題目點撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算和向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時成立.【題目詳解】對①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時成立，∴③不正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時運用舉例說明的方式更快捷.9、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，分別求出橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1與滿足y≥-50≤x≤2y≤52【題目詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出橢圓與旋轉(zhuǎn)體如圖，橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為橢球，其體積為V1滿足y≥-50≤x≤2y≤5其體積V2=π×2故選：C．【題目點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的體積及學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】分析:指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同單調(diào)性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，若,則是增函數(shù)，若,則是減函數(shù)所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。11、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．12、C【解題分析】

利用等面積法得出、、的等式，可得出、的等量關(guān)系式，可求出橢圓的離心率.【題目詳解】由橢圓短軸的一個端點和兩個焦點所構(gòu)成的三角形面積為，該三角形的周長為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的計算，解題時要結(jié)合已知條件列出有關(guān)、、的齊次等式，通過化簡計算出離心率的值，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

先根據(jù)雙曲線方程求出焦點坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得到，進而可求出的值，得到答案.【題目詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【題目點撥】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)求解，注意對所求結(jié)果進行必要的驗證，負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于.14、【解題分析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點撥】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.15、【解題分析】按照規(guī)律：三個數(shù)字和相等的先看最小數(shù)字，再看第二小的數(shù)字；相同數(shù)字組成的點，先看最小數(shù)字排的位置，再看第二小的數(shù)字排的位置。三個數(shù)字和為的1個，三個數(shù)字和為的3個，三個數(shù)字之和為6的是3+6+1=10個，三個數(shù)字和為7，由組成的共3個，由三個數(shù)字組成的共6個，所以是第29個。應(yīng)填答案。點睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清題設(shè)中數(shù)組的規(guī)律，然后依據(jù)規(guī)律做出正確的推理和判斷。求解時，先觀察出數(shù)組的規(guī)律是：三個數(shù)字和相等的先看最小數(shù)字，再看第二小的數(shù)字；相同數(shù)字組成的點，先看最小數(shù)字排的位置，再看第二小的數(shù)字排的位置。然后做出推斷：三個數(shù)字和為的1個，三個數(shù)字和為的3個，三個數(shù)字之和為6的是3+6+1=10個，三個數(shù)字和為7，由組成的共3個，由三個數(shù)字組成的共6個，進而得出是第29個。16、【解題分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，然后把f（a2）+f（a﹣2）≥2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元二次不等式求解．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝﹣x3+2x﹣ex+e﹣x，滿足f（﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)．f′（x）＝﹣3x2+2﹣ex3x2+2﹣2≤2．∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．∵f（a2）+f（a﹣2）≥2，∴f（a2）≥﹣f（a﹣2）＝f（﹣a+2），∴a2≤﹣a+2，解得﹣2≤a≤2．則實數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]．故答案為：[﹣2，2]．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，方程與不等式的解法、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1636人（2）【解題分析】

（1），結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)，可求出概率，然后由總?cè)藬?shù)為2000，可求出化學(xué)原始成績在的人數(shù)；（2）結(jié)合獨立重復(fù)試驗概率公式可求出概率.【題目詳解】解：（1）因為化學(xué)原始成績，所以．所以化學(xué)原始成績在的人數(shù)為（人）．（2）因為以各等級人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，且等級成績在區(qū)間、的人數(shù)所占比例分別為、，則隨機抽取1人，其等級成績在區(qū)間內(nèi)的概率為．所以從全省考生中隨機抽取3人，則的所有可能取值為0，1，2，3，且，所以．【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點，考查了獨立重復(fù)試驗概率公式，考查了計算能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）將代入不等式，并解出命題中的不等式，同時求出當(dāng)命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，由條件為真命題，可知這兩個命題都是真命題，然后將兩個范圍取交集可得出實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）解出命題中的不等式，由是的必要不充分條件，得出命題中實數(shù)的取值范圍是命題中不等式解集的真子集，然后列不等式組可求出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）由得，若，為真時實數(shù)t的取值范圍是.由表示雙曲線,得,即為真時實數(shù)的取值范圍是.若為真，則真且真，所以實數(shù)t的取值范圍是（Ⅱ）設(shè)，是的必要不充分條件，.當(dāng)時，，有，解得；當(dāng)時，，顯然，不合題意．∴實數(shù)a的取值范圍是．【題目點撥】本題第（1）問考查復(fù)合命題的真假與參數(shù)，第（2）問考查充分必要性與參數(shù)，一般要結(jié)合兩條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．19、（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析.【解題分析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項．【題目詳解】解：（1）∵（）2＝2a+2?，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，則為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾．所以，假設(shè)不成立，即不可能是同一個等差數(shù)列中的三項．【題目點撥】反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由兩點間距離公式求出圓C的半徑，由此能求出圓C的方程；（Ⅱ）作CD⊥A