2024屆廣東廣州越秀區(qū)培正中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆廣東廣州越秀區(qū)培正中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的前n項和為，已知，則A． B． C． D．4．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的系數(shù)為A．336項 B．337項 C．338項 D．1009項5．給出以下命題：（1）若，則；（2）；（3）的原函數(shù)為，且是以為周期的函數(shù)，則：其中正確命題的個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．46．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知集合,集合,則A． B． C． D．8．設(shè)定點，動圓過點且與直線相切.則動圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．9．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，且都垂直于軸（其中分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．10．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．11．在二項式的展開式中任取2項，則取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．12．甲乙兩隊進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是23A．2027B．49C．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線上總存在點，使得過點作的圓：的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是______．14．一支田徑隊有男運動員56人，女運動員42人，用分層抽樣的方法，按性別從全體運動員中抽出一個容量為7的樣本，則抽出的女運動員的人數(shù)是________．15．已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．將圓心角為，面積為的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積等于_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的最大值；（2）若存在正實數(shù)對，使得當(dāng)時，能成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求該函數(shù)在上的最小值．21．（12分）某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學(xué)為了求出關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機(jī)購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題，記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．2、A【解題分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進(jìn)而求得的圖象在處的切線方程.【題目詳解】，函數(shù)在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)極值點求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.4、A【解題分析】

根據(jù)題意，求出的展開式的通項，即可得項的系數(shù)，進(jìn)而分析可知若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、2、、，即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項為；其系數(shù)為若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、、共有336項，故選A．【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項式定理的形式，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

(1)根據(jù)微積分基本定理,得出,可以看到與正負(fù)無關(guān).

(2)注意到在的取值符號不同,根據(jù)微積分基本運算性質(zhì),化為求解判斷即可.

(3)根據(jù)微積分基本定理,兩邊分別求解,再結(jié)合,判定.【題目詳解】(1)由,得,未必.(1)錯誤.(2),(2)正確.(3),；故；(3)正確.所以正確命題的個數(shù)為2,故選：B.【題目點撥】本題主要考查了命題真假的判定與定積分的計算,屬于中檔題.6、A【解題分析】分析：先設(shè)，再求導(dǎo)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍.詳解：設(shè)所以當(dāng)x∈（-∞，-1）時，則函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈（-1，+∞）時，，函數(shù)單調(diào)遞增.,當(dāng)a<0時，y=a(2x-1)單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾.當(dāng)a=0時，，與矛盾.當(dāng)a>0時，.直線y=a(2x-1)過點（）.設(shè)為曲線上任意一點，則過點的曲線的切線方程為.又因為切線過點（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出過點（）的切線的斜率k=或k.7、D【解題分析】，，則，選D.8、A【解題分析】

由題意，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意知，動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，則方程為故選A【題目點撥】本題考查拋物線的定義，屬于簡單題．9、D【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)點，，則，又由直線的傾斜角為，得，結(jié)合點在雙曲線上，即可求出離心率.【題目詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，且、都垂直于軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)點，，則，即，且，又直線的傾斜角為，直線過坐標(biāo)原點，，，整理得，即，解方程得，（舍）故選D.【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線離心率的求法，考查化簡整理的運算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.圓錐曲線離心率的計算，常采用兩種方法：1、通過已知條件構(gòu)建關(guān)于的齊次方程，解出.根據(jù)題設(shè)條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質(zhì)等）借助之間的關(guān)系，得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.2、通過已知條件確定圓錐曲線上某點坐標(biāo)，代入方程中，解出.根據(jù)題設(shè)條件，借助表示曲線某點坐標(biāo)，代入曲線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.10、B【解題分析】令所以,選B.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等11、C【解題分析】

二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個，從中取兩個有幾種取法得出答案．【題目詳解】二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，展開式系數(shù)為偶數(shù)的有，共六個，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有種取法，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為故選：【題目點撥】本題考查二項式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關(guān)鍵是找出哪些項的系數(shù)是偶數(shù)，求出取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù)．12、A【解題分析】試題分析：“甲隊獲勝”包括兩種情況，一是2:0獲勝，二是2:1獲勝.根據(jù)題意若是甲隊2:0獲勝，則比賽只有2局，其概率為(23)2=49；若是甲隊2:1獲勝，則比賽3局，其中第3考點：相互獨立事件的概率及n次獨立重復(fù)試驗.【方法點晴】本題主要考查了相互獨立事件的概率及n次獨立重復(fù)試驗，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是讀懂比賽的規(guī)則，尤其是根據(jù)“采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束”把整個比賽所有的可能情況分成兩類，甲隊以2:0獲勝或2:1獲勝，據(jù)此分析整個比賽過程中的每一局的比賽結(jié)果，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式及n次獨立重復(fù)試驗概率公式求得每種情況的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即可求出實數(shù)m的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)切點分別為A，B．連接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故，若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案為：﹣2≤m≤10.點睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出.14、3【解題分析】

直接根據(jù)分層抽樣比例關(guān)系計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：抽出的女運動員的人數(shù)為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了分層抽樣，屬于簡單題.15、【解題分析】

根據(jù)向量夾角為鈍角，可知且，解不等式可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知：且解得：且，即本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查向量夾角的相關(guān)問題的求解，易錯點是忽略夾角為的情況，造成出現(xiàn)增根.16、【解題分析】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，，又圓錐的高是圓錐的表面積是，圓錐的體積是，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出，由此能求出的通項公式．（2）由，，求出的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化求解的最小值．【題目詳解】解：（1）是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．，，解得，．（2）由，，得：，或時，取最小值．【題目點撥】本題考查數(shù)列的通項公式、前項和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）4（2）【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出的范圍，（2）根據(jù)題意可得，因此原問題轉(zhuǎn)化為存在正實數(shù)使得等式成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍．【題目詳解】解析：（1）由題意得，函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)恒成立，故.因為（等號成立當(dāng)且僅當(dāng)即）所以（經(jīng)檢驗滿足題目），所以實數(shù)的最大值為4.（2）由題意得，則，因此原問題轉(zhuǎn)化為：存在正數(shù)使得等式成立.整理并分離得，記，要使得上面的方程有解，下面求的值域，，故在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，故當(dāng)，，綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）,為奇函數(shù);（2）.【解題分析】試題分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定義判斷的奇偶性;

(2)根據(jù)分式的特點，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解值域.試題解析：（1）由，得，故，所以.因為，而，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2），，所以，即函數(shù)的值域為（）.20、（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）-10【解題分析】

（1），解得單調(diào)區(qū)間即可；（2）由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,代入求值即可【題目詳解】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,在上的最小值為.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間，極值，最值，考查運算能力，屬于中檔題．21、（1），6.1（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）由線性回歸方程過點（，）,可得,再求x=6時對應(yīng)函數(shù)值即為6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)（2）先確定隨機(jī)變量取法：ξ=0，1，2，3，再利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望試題解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產(chǎn)甲膠囊的產(chǎn)量數(shù)：=0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．22、（Ⅰ）極大值，極小值；（Ⅱ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對分、、和四種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，，令，