福建省泉州市德化第一中學2024屆數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

福建省泉州市德化第一中學2024屆數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，滿足“且”的是()A． B．C． D．2．某縣城中學安排4位教師去3所不同的村小支教，每位教師只能支教一所村小，且每所村小有老師支教．甲老師主動要求去最偏遠的村小A，則不同的安排有（）A．6 B．12 C．18 D．243．若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能確定4．已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．已知，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))一定存在零點的區(qū)間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)7．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，關于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結論是真確的8．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．9．已知直線與圓相交所得的弦長為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．410．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時．則當，的最小值是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的離心率為,過其右焦點作斜率為的直線，交雙曲線的兩條漸近線于兩點（點在軸上方），則（）A． B． C． D．12．已知向量，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標系中，已知，，若直線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．14．命題“若，則復數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題是____命題.（填“真”或“假”）15．已知集合，，則__________．16．已知拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，若C經(jīng)過點，則其焦點到準線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點,使得直線平面？若存在,求的值：若不存在,請說明理由.18．（12分）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．19．（12分）已知在中，，，.（1）求邊的長；（2）設為邊上一點，且的面積為，求.20．（12分）某地區(qū)舉辦知識競答比賽，比賽共有四道題，規(guī)則如下：答題過程中不論何時，若選手出現(xiàn)兩題答錯，則該選手被淘汰分數(shù)記為，其它情況下，選手每答對一題得分，此外若選手存在恰連續(xù)3次答對題目，則額外加分，若次全答對，則額外加分.已知某選手每次答題的正確率都是，且每次答題結果互不影響.求該選手恰答對道題的概率；記為該選手參加比賽的最終得分，求的分布列與數(shù)學期望.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．22．（10分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長為的菱形，,是的中點.(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項判斷即可。【題目詳解】根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項A，在上是增函數(shù)，不符合；選項B，在上不單調，不符合；選項C，在上是減函數(shù)，符合；選項D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C。【題目點撥】本題主要考查函數(shù)單調性的定義應用以及常見函數(shù)的單調性的判斷。2、B【解題分析】

按照村小A安排一個人和安排兩個人兩種情況分類討論，按先分組后排序的方法，計算出不同的安排總數(shù).【題目詳解】村小A安排一人，則有；村小A若安排2人，則有.故共有.選B.【題目點撥】本小題主要考查分類加法計算原理，考查簡單的排列組合計算問題，屬于基礎題.3、A【解題分析】試題分析：設角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結論．解：如圖所示：設角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故選A．考點：三角函數(shù)線．4、B【解題分析】

由已知方程即可得出雙曲線的左頂點、一條漸近線方程與拋物線的焦點、準線的方程，再根據(jù)數(shù)量關系即可列出方程，解出即可．【題目詳解】解：∵雙曲線的左頂點（﹣a，0）與拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F（，0）的距離為1，∴a＝1；又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（﹣2，﹣1），∴漸近線的方程應是yx，而拋物線的準線方程為x，因此﹣1（﹣2），﹣2，聯(lián)立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．故雙曲線的標準方程為：．故選：B．【題目點撥】本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質的應用，熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質是解題的關鍵．5、D【解題分析】

由題意可構造函數(shù)，由在上恒成立，分離參數(shù)并構造新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性并求得最小值，即可求出的取值范圍.【題目詳解】由，得恒成立，令，即，，則在上單調遞減，所以在上恒成立，當時，成立，當時，等價于，令，則，所以在上單調遞減，，即故選：D【題目點撥】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，考查導數(shù)和構造函數(shù)的應用，考查學生分析轉化能力和計算能力，屬于中檔題.6、B【解題分析】

根據(jù)零點存在性定理，即可判斷出結果.【題目詳解】因為，所以，，，所以，由零點存在定理可得：區(qū)間內必有零點.故選B【題目點撥】本題主要考查判斷零點所在的區(qū)間，熟記零點的存在定理即可，屬于基礎題型.7、B【解題分析】分析:指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同單調性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，若,則是增函數(shù)，若,則是減函數(shù)所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數(shù)函數(shù)的圖像性質，屬于基礎題。8、A【解題分析】分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析轉化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.9、B【解題分析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉化能力.10、D【解題分析】

先求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用二次函數(shù)的性質可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，設，則，則，即當時，，可知函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的最值，解決本題的關鍵就是根據(jù)周期性求出函數(shù)的解析式，并結合二次函數(shù)的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題．11、B【解題分析】

由雙曲線的離心率可得a＝b，求得雙曲線的漸近線方程，設右焦點為（c，0），過其右焦點F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），聯(lián)立漸近線方程，求得B，C的坐標，再由向量共線定理，可得所求比值．【題目詳解】由雙曲線的離心率為，可得ca，即有a＝b，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設右焦點為（c，0），過其右焦點F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），設λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即則1．故選：B．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率和漸近線方程，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．12、C【解題分析】

由已知向量的坐標運算直接求得的坐標．【題目詳解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故選C.【題目點撥】本題考查了向量坐標的運算及數(shù)乘運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設點的坐標為，根據(jù)條件求出動點的軌跡方程，可得知動點的軌跡為圓，然后將問題轉化為直線與動點的軌跡圓有公共點，轉化為圓心到直線的距離不大于半徑，從而列出關于實數(shù)的不等式，即可求出實數(shù)的值.【題目詳解】設點的坐標為，，即，化簡得，則動點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由題意可知，直線與圓有公共點，則，解得或.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題目點撥】本題考查動點的軌跡方程，同時也考查了利用直線與圓的位置關系求參數(shù)，解題的關鍵就是利用距離公式求出動點的軌跡方程，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.14、真【解題分析】分析：寫出命題“若，則復數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題，判斷其真假.詳解：命題“若，則復數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題為“若復數(shù)為純虛數(shù)，則”，它是真命題.點睛：本題考查命題的真假的判斷，屬基礎題.15、【解題分析】

根據(jù)集合的交集補集運算即可求解.【題目詳解】因為，所以因此.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了集合的補集，交集運算，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據(jù)拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,可以設出拋物線的標準方程,代入后可計算得,再根據(jù)拋物線的幾何性質可得答案.【題目詳解】因為拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,所以可設拋物線的標準方程為:,將代入可得,解得,所以拋物線的焦點到準線的距離為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了求拋物線的標準方程,考查了拋物線的焦準距,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

建立適當?shù)目臻g直角坐標系.(1)求出平面的法向量,利用空間向量夾角公式可以求出直線與平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,結合線面平行的性質,空間向量共線的性質,如果求出的值,也就證明出存在線段上是否存在點,使得直線平面,反之就不存在.【題目詳解】以為空間直角坐標系的原點,向量所在的直線為軸.如下所示：.(1)平面的法向量為,..直線與平面所成角為,所以有;(2)假設線段上是存在點,使得直線平面.設,因此,所以的坐標為：..設平面的法向量為,,,因為直線平面,所以有,即.【題目點撥】本題考查了線面角的求法以及線面平行的性質,考查了數(shù)學運算能力.18、(1)0.108.(2)1.8，0.72.【解題分析】試題分析：（1）設表示事件“日銷售量不低于100個”，表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天的日銷售量低于50個”.因此可求出，，利用事件的獨立性即可求出；（2）由題意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望為E(X)和方差D（X）的值.（1）設表示事件“日銷售量不低于100個”，表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天的日銷售量低于50個”.因此...（2）X的可能取值為0,1,2,3.相應的概率為,,,,分布列為X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因為X~B(3,0.6),所以期望為E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72考點：1.頻率分布直方圖；2.二項分布.19、（1）3；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形內角和定理，將轉化為，化簡已知條件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的長.（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【題目詳解】解：（1）由及，得，展開得，即，所以.所以，即，所以.（2）由，解得.在中，，所以.由，得，所以.【題目點撥】本小題主要考查三角形內角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，綜合性較強，屬于中檔題.20、；.【解題分析】

(1)通過二項分布公式即可得到概率；（2）可能的取值為，分別求出所求概率，于是得到分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】該選手每次答題的正確率都是，四道題答對的情況有種恰答對道題的概率由題可能的取值為，，的分布列如下.【題目點撥】本題主要考查二項分布的運用，數(shù)學期望與分布列的相關計算，意在考查學生的分析能力，轉化能力，計算能力，難度中等.21、