2024屆信陽市重點中學高二數學第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆信陽市重點中學高二數學第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知變量x,y之間的線性回歸方程為,且變量x,y之間的一組相關數據如表所示,則下列說法錯誤的是()x681012y6m32A．變量x,y之間呈現負相關關系B．可以預測,當x=20時,y=﹣3.7C．m=4D．該回歸直線必過點(9,4)2．若，則“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．魏晉時期數學家劉徽在他的著作九章算術注中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為：若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．4．運行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．0 B． C．-1 D．5．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當x=5時，y的預報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位6．已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．7．在二項式的展開式中，其常數項是15.如下圖所示，陰影部分是由曲線和圓及軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．8．若點M為圓上的動點，則點M到雙曲線漸近線的距離的最小值為（）A． B． C． D．9．定義在上的函數滿足,,則不等式的解集為()A． B． C． D．10．已知函數，若有最小值，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在復數列中，，，設在復平面上對應的點為，則（）A．存在點，對任意的正整數，都滿足B．不存在點，對任意的正整數，都滿足C．存在無數個點，對任意的正整數，都滿足D．存在唯一的點，對任意的正整數，都滿足12．已知集合，，下列結論成立的是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若正實數滿足，則的最小值是__________．14．在正數數列an中，a1=1，且點an,an-1n≥2在直線15．觀察下列數表：如此繼續(xù)下去，則此表最后一行的數為_______（用數字作答）.16．已知向量，，若與垂直，則的值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（Ⅰ）當時，不等式有解，求實數的取值范圍；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的最大值．18．（12分）平面直角坐標系中，直線的參數方程為，（為參數）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；（2）已知與直線平行的直線過點，且與曲線交于兩點，試求．19．（12分）中，三內角所對的邊分別為，已知成等差數列．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求角的取值范圍．20．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y關于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，21．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學會盲擰也是很容易的.根據調查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關.為了驗證這個結論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調查，得到的情況如下表所示：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男22▲30女▲12▲總計▲▲50表1并邀請這30名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表所示：成功完成時間（分鐘）[0，10)[10，20)[20，30)[30，40]人數101055表2（1）將表1補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關？（2）根據表2中的數據，求這30名男生成功完成盲擰的平均時間（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）現從表2中成功完成時間在[0，10)內的10名男生中任意抽取3人對他們的盲擰情況進行視頻記錄，記成功完成時間在[0，10)內的甲、乙、丙3人中被抽到的人數為，求的分布列及數學期望.附參考公式及數據：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據回歸直線方程的性質，以及應用，對選項進行逐一分析，即可進行選擇.【題目詳解】對于A：根據b的正負即可判斷正負相關關系.線性回歸方程為，b=﹣0.7<0，故負相關.對于B：當x=20時，代入可得y=﹣3.7對于C：根據表中數據：9.可得4.即，解得：m=5.對于D：由線性回歸方程一定過()，即(9，4).故選：C.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的性質，以及回歸直線方程的應用，屬綜合基礎題.2、C【解題分析】

先將復數化簡成形式，得其共軛復數，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數，因為共軛復數在復平面內對應的點在第二象限所以，解得所以“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．3、C【解題分析】

由已知求出正方體內切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【題目詳解】正方體的棱長為2，則其內切球的半徑，正方體的內切球的體積，又由已知，．故選C．【題目點撥】本題考查球的體積的求法，理解題意是關鍵，是基礎題．4、B【解題分析】由題設中提供的算法流程圖可知，由于的周期是，而，所以，應選答案B．5、C【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當x＝5時，y的預測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是性質：線性回歸直線一定過點(x6、B【解題分析】解析：因，故，因，故，則，所以，應選答案B．7、B【解題分析】

用二項式定理得到中間項系數，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．【題目詳解】（x1+）6展開式中，由通項公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常數項為，可得＝15，解得a＝1．曲線y＝x1和圓x1+y1＝1的在第一象限的交點為（1，1）所以陰影部分的面積為．故選：B【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．8、B【解題分析】

首先判斷圓與漸近線的位置關系為相離，然后利用圓上一點到直線距離的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，由此即可得到答案?！绢}目詳解】由題知，圓的圓心，半徑.由雙曲線的漸近線方程為，則圓心C到雙曲線漸近線的距離為，故圓C與雙曲線漸近線相離，圓C上動點M到雙曲線漸近線的最小距離為，故選B．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式的運用，考查學生基本的計算能力，屬于基礎題，9、B【解題分析】

由已知條件構造輔助函數g(x)=f(x)+lnx，求導，根據已知求得函數的單調區(qū)間，結合原函數的性質和函數值，即可的解集．【題目詳解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，則g'(x)=，又函數滿足，∴g'(x)=，g(x)在單調遞增.∵，∴，∴當，，當，，∴當，則不等式成立.故選：B.【題目點撥】本題主要考查導數在研究函數中的應用和函數綜合，一般采用構造函數法，求導后利用條件判斷函數的單調性，再根據特殊值解出不等式所對應的區(qū)間即可，屬于中等題.10、C【解題分析】

求出原函數的導函數，函數有最小值，則導函數在小于0有解，于是轉化為斜率問題求解得到答案.【題目詳解】根據題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點為，則切線方程為：，將代入切線方程得：，故切點為，切線的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【題目點撥】本題主要考查函數的最值問題，導函數的幾何意義，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力，難度較大.11、D【解題分析】

由，由復數模的性質可得出，可得出數列是等比數列，且得出，再由，結合向量的三角不等式可得出正確選項.【題目詳解】，，，，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，且（為坐標原點），由向量模的三角不等式可得，當點與坐標原點重合時，，因此，存在唯一的點，對任意的正整數，都滿足，故選：D.【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，同時也考查了復數模的性質和等比數列的綜合應用，解題的關鍵就是利用向量模的三角不等式構建不等關系進行驗證，考查推理能力，屬于難題.12、D【解題分析】由已知得，，則，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因為，所以函數為單調遞增奇函數，因此由，得因此，當且僅當時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.14、2【解題分析】

在正數數列an中，由點an,an-1在直線x-2y=0上，知a【題目詳解】由題意，在正數數列an中，a1=1，且a可得an-2即an因為a1=1，所以數列所以Sn故答案為2n【題目點撥】本題主要考查了等比數列的定義，以及等比數列的前n項和公式的應用，同時涉及到數列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列的前n項和公式和通項公式的靈活運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．15、2816【解題分析】

觀察數表可知，每一行的首尾兩項數字的和成等比數列，由于最后一行的數字等于倒數第二行兩項的和，所以只要根據規(guī)律求出第9行的首尾兩項之和即可.【題目詳解】由題意可知最后一行為第10行，第一行首尾兩項的和為11，第二行首尾兩項的和為22，第三行首尾兩項的和為44，，則第9行首尾兩項的和為，所以第十行的數字是，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關歸納推理的問題，涉及到的知識點有根據題中所給的條件，歸納出對應的結論，屬于簡單題目.16、1【解題分析】分析：根據題意，由向量坐標計算公式可得1﹣的坐標，由向量垂直與向量數量積的關系可得（1﹣）?=﹣3+x1=0，解可得x的值，進而由向量模的計算公式計算可得答案．詳解：根據題意，向量=（1，x），=（﹣1，x），則1﹣=（3，x），若1﹣與垂直，則（1﹣）?=﹣3+x1=0，解可得：x=±，則||==1，故答案為1．點睛：本題考查向量數量積的坐標計算，關鍵是求出x的值．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）4【解題分析】

（Ⅰ）首先判斷函數是奇函數，再判斷在和上單調遞增，最后利用函數的性質化為簡單不等式得到答案.（Ⅱ）先求出表達式，再利用換元法化簡函數，求函數的最大值代入不等式解得的最大值.【題目詳解】解：（Ⅰ）因為，所以函數是奇函數，又，所以在和上單調遞增又，即，所以，即，解得或，故實數的取值范圍為；（Ⅱ），令，∵，∴，∴，又時，∴在上為增函數，∴，∴的值域是∵恒成立，∴，，∴，的最大值為4.【題目點撥】本題考查了函數的奇偶性，單調性，解不等式，恒成立問題，綜合性強，計算量大，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.18、（1）直線的極坐標方程為，曲線的直角坐標方程為．（2）．【解題分析】試題分析：（1）先利用加減消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，再利用，得直線的極坐標方程，最后根據，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，（2）先根據點斜式寫出直線方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及弦長公式求．試題解析：（1）將，代入直線方程得，由可得，曲線的直角坐標方程為．（2）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角也為，又直線過點，∴直線的參數方程為（為參數），將其代入曲線的直角坐標方程可得，設點對應的參數分別為．由一元二次方程的根與系數的關系知，，∴．19、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)由成等差數列，可得，結合基本不等式和正弦定理可以證明出；(Ⅱ)運用余弦定理可以求出的表達式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的結論，可以求出，結合余弦函數的圖象和角是三角形的內角，最后可求出角的取值范圍．【題目詳解】解:(Ⅰ)成等差數列，，，即，當且僅當時取等號由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，當且僅當時取等號由(Ⅰ)得，，，故角的取值范圍是【題目點撥】本題考查了等差中項的概念，考查了正弦定理、余弦定理、重要不等式和基本不等式，考查了余弦函數的圖象，是一道綜合性很強的題目.20、（1）；（1）在1557至1512年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.【解題分析】試題分析：本題主要考查線性回歸方程、平均數等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，先利用平均數的計算公式，由所給數據計算和，代入公式中求出和，從而得到線性回歸方程；第二問，利用第一問的結論，將代入即可求出所求的收入．試題解析：（1）由所給數據計算得＝（1＋1＋2＋3＋4＋6＋7）＝3，＝（1．9＋2．2＋2．6＋3．3＋3．8＋4．1＋4．9）＝3．2，，，所求回歸方程為．（1）由（1）知，，故1559年至1514年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加5．4千元．將1517年的年份代號t＝9，代入（1）中的回歸方程，得，故預測該地區(qū)1517年農村居民家庭人均純收入為6．8千元．考點：線性回歸方程、平均數．21、(1)能(2)（3）見解析【解題分析】分