江西省鄱陽縣第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

江西省鄱陽縣第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將點的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，則A．1 B． C． D．23．函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．4．已知，，，則的大小關(guān)系為()．A． B． C． D．5．傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點，且與拋物線交于，兩點（點，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．6．設(shè)實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為()A． B．1 C．6 D．97．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)8．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊列中插入另外位同學(xué)，但是不能改變原來的位同學(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．9．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．11．設(shè)直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．直線在平面內(nèi)或平行12．展開式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．240二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1），則該“陽馬”外接球表面積為________14．若曲線在矩陣對應(yīng)的變換下變?yōu)橐粋€橢圓，則橢圓的離心率為____.15．多項式的展開式中，含項的系數(shù)是________.16．已知點M拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A在圓上，則的最小值________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標(biāo).19．（12分）某高中高二年級1班和2班的學(xué)生組隊參加數(shù)學(xué)競賽，1班推薦了2名男生1名女生，2班推薦了3名男生2名女生.由于他們的水平相當(dāng)，最終從中隨機抽取4名學(xué)生組成代表隊.（Ⅰ）求1班至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；（Ⅱ）設(shè)表示代表隊中男生的人數(shù)，求的分布列和期望.20．（12分）某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款（年底余額），如下表1：年份x20112012201320142015儲蓄存款y（千億元）567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到下表2：時間代號t12345z01235（Ⅰ）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？（附：對于線性回歸方程，其中）21．（12分）設(shè)函數(shù)（）.(Ⅰ)當(dāng)時，求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.22．（10分）對于給定的常數(shù),設(shè)隨機變量.（1）求概率.①說明它是二項式展開式中的第幾項；②若,化簡：；（2）設(shè)，求，其中為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A2、B【解題分析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可得函數(shù)是奇函數(shù)，由恒成立可得，從而可得結(jié)果．【題目詳解】函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，則得，即，即，得，故選B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.3、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的解析式，判斷大于時函數(shù)值的符號，以及小于時函數(shù)值的符號，對比選項排除即可.詳解：當(dāng)時，函數(shù)，排除選項；當(dāng)時，函數(shù)，排除選項，故選B.點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.4、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【題目詳解】顯然，，，，因此最大，最小，故選A.【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用．5、D【解題分析】

設(shè)，則，由拋物線的定義，得，，進(jìn)而可求BE、AE，最后由可求解.【題目詳解】設(shè)，則A、B兩點到準(zhǔn)線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過A作，垂足為E..故選：D【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.6、D【解題分析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖像求得結(jié)果【題目詳解】解：畫出實數(shù)滿足約束條件表示的可行域，由得，則表示直線在軸上的截距，截距越大，越大，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線由圖可知將直線向上平移，經(jīng)過點時，直線的截距最大，由，得點的坐標(biāo)為所以的最大值為故選：D【題目點撥】此題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值.7、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點屬于已知區(qū)間即可.【題目詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點，因為函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選:D.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.8、C【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個同學(xué)中新插入的個同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】問題等價于將這個同學(xué)中新插入的個同學(xué)重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.【題目點撥】本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．9、A【解題分析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝10、C【解題分析】

根據(jù)已知對求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)即可.【題目詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當(dāng)時，.故選C.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率問題，已知切點求切線斜率問題，先求導(dǎo)再代入切點橫坐標(biāo)即可，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】∵直線的一個方向向量，平面的一個法向量∴∴直線在平面內(nèi)或平行故選D.12、B【解題分析】

∵展開式的通項為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項為，所以其系數(shù)為60,故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,.求出PC長度,可得四棱錐外接球的半徑,代入球的表面積公式即可求得.【題目詳解】由三視圖還原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,,該幾何體外接球的半徑為.該“陽馬”外接球表面積為.故答案為:.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體,考查幾何體外接球的表面積,難度較易.14、.【解題分析】

在曲線上任取一點，得出，由變換得出，代入方程可得出橢圓方程，由此可計算出橢圓的離心率.【題目詳解】在曲線上任取一點，得出，①設(shè)點經(jīng)過變換后對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，由題意可得，則有，即，代入②式得，則，，，因此，橢圓的離心率為，故答案為.【題目點撥】本題考查坐標(biāo)變換，考查相關(guān)點法求軌跡方程，同時也考查了橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用相關(guān)點法求出軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中等題.15、200【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得，的通項公式為，令，求出對應(yīng)的值即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，由二項式定理可得，的通項公式為，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，所以多項式的展開式中，含的項為，故多項式的展開式中，含項的系數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求二項展開式中某項的系數(shù)；考查運算求解能力；熟練掌握二項展開式的通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.16、3【解題分析】

由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點作于，根據(jù)拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)點在圓上，判斷出當(dāng)三點共線時，有最小值，進(jìn)而求得答案.【題目詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點作于，又，所以，因為點在圓上，且，半徑為，故當(dāng)三點共線時，，所以的最小值為3.故答案為：3【題目點撥】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義，與圓有關(guān)的最值問題，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)減區(qū)間為（0，），（1，+∞），增區(qū)間為（，1）；(2)【解題分析】分析：（1）求導(dǎo)得，得到減區(qū)間為（0，），（1，+∞），增區(qū)間為（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等價于上恒成立，即可求出實數(shù)a的取值范圍詳解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），在區(qū)間（0，），（1，+∞）上f′（x）＜0.函數(shù)為減函數(shù)；在區(qū)間（，1）上f′（x）＞0.函數(shù)為增函數(shù).（2）函數(shù)在（2，4）上是減函數(shù)，則，在x∈（2，4）上恒成立.實數(shù)a的取值范圍點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用就是判斷函數(shù)的單調(diào)性，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減．當(dāng)函數(shù)含參時，則一般采取分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解.18、（1）：，：；（2），此時.【解題分析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標(biāo)為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標(biāo)為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標(biāo)為.考點：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確保互化前后方程的等價性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．19、（I）（II）見解析【解題分析】

（Ⅰ）用1減去沒有1班同學(xué)入選的概率得到答案.（Ⅱ）的所有可能取值為1，2，3，4，分別計算對應(yīng)概率得到分布列，再計算期望.【題目詳解】（I）設(shè)1班至少有1名學(xué)生入選代表隊為事件則（II）的所有可能取值為1，2，3，4，，，.因此的分布列為1234.【題目點撥】本題考查了概率的計算，分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計算能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千億元【解題分析】試題分析：（I）將數(shù)據(jù)代入回歸直線方程的計算公式，由此計算的回歸直線方程為；（II），，代入得到；（III）將代入上式，求得存款為千億.試題解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)1．6千億元考點：回歸分析.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)把代入不等式中，利用零點進(jìn)行分類討論，求解出不等式的解集；(Ⅱ)證法一：對函數(shù)解析式進(jìn)行變形為，，顯然當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，利用基本不等式，可以證明出，并能求出等號成立的條件；證法二：利用零點法把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最小值，以及此時的的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時，原不等式等價于，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，無實數(shù)解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，當(dāng)且僅