上海市延安中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

上海市延安中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長為4，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（）A． B． C． D．2．中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌．古代用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行計(jì)算，算籌的擺放形式有橫縱兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推．例如4266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為（）A． B． C． D．3．下列四個(gè)結(jié)論：①在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；②某學(xué)校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情況，在全體教師中抽取20名調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；反之，線性相關(guān)性越強(qiáng)；④在回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量增加0.5個(gè)單位.其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④C．②③ D．②④4．“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直于平面”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．定義在上的函數(shù)滿足,,則不等式的解集為()A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．7．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說：“你做對(duì)了！”丙說：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說對(duì)了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對(duì)了 B．甲說對(duì)了 C．乙說對(duì)了 D．甲做對(duì)了8．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-39．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．10．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插入另外位同學(xué)，但是不能改變原來的位同學(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．11．若，則下列結(jié)論中不恒成立的是（）A． B． C． D．12．下列說法中：相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于1，相關(guān)性越弱；回歸直線過樣本點(diǎn)中心；相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好．兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)圓錐的高是，母線長是，用過圓錐的頂點(diǎn)的平面去截圓錐，則截面積的最大值為_______.14．正方體中，異面直線和所成角的大小為________15．某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件，這種零件有、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品，任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，則______.16．已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是-35，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品的使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，且，．（1）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求其使用壽命在的概率；（2）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，記抽到的三件產(chǎn)品使用壽命在的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．20．（12分）設(shè)是數(shù)列{}的前項(xiàng)和，，且.(I)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，求.21．（12分）已知，.（1）證明：.（2）證明：.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在x=﹣3處有極大值，求c的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，求c的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由雙曲線實(shí)軸長為4可知由漸近線方程，可得到然后利用即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】由雙曲線實(shí)軸長為4可知由漸近線方程，可得到即所以又雙曲線頂點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

由算籌含義直接求解．【題目詳解】解：由算籌含義得到8771用算籌可表示為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)問題，考查簡單的合理推理、考查函數(shù)與方程思想，是中等題.3、D【解題分析】

根據(jù)殘差的意義可判斷①；根據(jù)分成抽樣特征，判斷②；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷③；由回歸方程的系數(shù)，可判斷④．【題目詳解】根據(jù)殘差的意義，可知當(dāng)殘差的平方和越小，模擬效果越好，所以①錯(cuò)誤；當(dāng)個(gè)體差異明顯時(shí)，選用分層抽樣法抽樣，所以②正確；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)特征，當(dāng)相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)回歸方程的系數(shù)為0.5，所以當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量增加0.5個(gè)單位.綜上，②④正確，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了統(tǒng)計(jì)的概念和基本應(yīng)用，抽樣方法、回歸方程和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

由“直線垂直于平面”可得到“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”，反之不成立（如與無數(shù)條平行直線垂直時(shí)不成立），所以“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直于平面”的必要而不充分條件，故選B.考點(diǎn)：充分條件與必要條件5、B【解題分析】

由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可的解集．【題目詳解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，則g'(x)=，又函數(shù)滿足，∴g'(x)=，g(x)在單調(diào)遞增.∵，∴，∴當(dāng)，，當(dāng)，，∴當(dāng)，則不等式成立.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)綜合，一般采用構(gòu)造函數(shù)法，求導(dǎo)后利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可，屬于中等題.6、C【解題分析】

先求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，即導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)在上，計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點(diǎn)，且滿足：即故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問題，將最值問題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對(duì)、乙說法對(duì)、丙說法對(duì)，通過題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】，選C.10、C【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】問題等價(jià)于將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．11、D【解題分析】分析兩數(shù)可以是滿足，任意數(shù)，利用特殊值法即可得到正確選項(xiàng)．詳解：若，不妨設(shè)a代入各個(gè)選項(xiàng)，錯(cuò)誤的是A、B，

當(dāng)時(shí)，C錯(cuò)．

故選D．點(diǎn)睛：利用特殊值法驗(yàn)證一些式子錯(cuò)誤是有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)及殘差的意義即可判斷選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于，相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)，可知回歸直線過樣本點(diǎn)中心，所以正確；對(duì)于，相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好，所以正確；對(duì)于，根據(jù)殘差意義可知，兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，所以正確；綜上可知，正確的為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

求出圓錐的底面半徑，假設(shè)截面與圓錐底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最大值．【題目詳解】解：∵圓錐的高是，母線長是，

∴底面半徑，設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的平面SCD與圓錐底面交于CD，過底面中心O作OA⊥CD于E，

設(shè)，則，，∴截面SCD的面積，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．14、.【解題分析】分析：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線面垂直進(jìn)而得到線線垂直.詳解：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，而于點(diǎn)，故垂直于面，進(jìn)而得到.故兩者夾角為.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問題；或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的情況.15、1【解題分析】

設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，得到，求得的值，進(jìn)而得到，可得分布列和的值，得到答案．【題目詳解】由題意，設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，由題意，得，解得，所以，即一個(gè)零件經(jīng)過檢測為合格品的概率為，依題意知，所以．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，其中解答中根據(jù)概率的計(jì)算公式，求得的值，得到隨機(jī)變量是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．16、1【解題分析】

試題分析：∵，∴．又展開式中的系數(shù)是－35，可得，∴m=1．∴．在①，令x=1，m=1時(shí)，由①可得，即考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）0.08.（Ⅱ）見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)身高服從正態(tài)分布，計(jì)算出的值，則可得到的值；

（2）求出的值，由，求出對(duì)應(yīng)的概率值，得出隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算即可．試題解析:（（Ⅰ）因?yàn)?，，，所?所以.即使用壽命在的概率為0.08.（Ⅱ）因?yàn)?，所?所以；；；.所以分布列為：所以.（或.）【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)就是的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．18、(1);(2).【解題分析】分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解便得增區(qū)間．（2）要使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是讓函數(shù)在[1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，令，下面要做的就是考查在區(qū)間內(nèi)最值情況，若有最大值，則限制最大值大于0，然后兩個(gè)端點(diǎn)值都小于0，若有最小值，情況恰好相反．詳解：（1），∵，時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）令，則，∴時(shí)，，時(shí)，，∴是的極大值，也是在上的最大值.∵函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，，.所以有.解得，所以的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這個(gè)不難掌握，注意做第二題，，.，這幾個(gè)限制條件的得出，并掌握做這類題的方法．.19、（1）；（2）.【解題分析】

又，由此即可求出結(jié)果；（2）利用，和數(shù)量及的定義，代入得結(jié)果．【題目詳解】解：又由問知．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式及平面向量基本定理的應(yīng)用．20、（Ⅰ）an＝2n．（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出．(Ⅱ)利用裂項(xiàng)求和即可求解．【題目詳解】∵4Sn＝an（an+2），①當(dāng)n＝1時(shí)得，即a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)有4Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+2）②由①﹣②得，即2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），又∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．（Ⅱ）∵，∴Tn＝b1+b2+…+bn【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）不等式左右都大于0，兩邊同時(shí)平方，整理即要證明，再平方，且，，即得證；（2）證明即可，提公因式整理得證?！绢}目詳解】證明：（1）欲證明，只需證明，即證，兩邊平方，得，因?yàn)椋燥@然成立，得證.（2）因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查證明不等式，（1）用兩邊同時(shí)平方的方法，（2）用做差