四川省自貢市2021年中考數(shù)學真題（含答案）

2021年四川省自貢市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.自貢恐龍博物館是世界三大恐龍遺址博物館之一.今年“五一黃金周”共接待游客8.87萬人次，人數(shù)

88700用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.887xlO5B.8.87xlO3C.8.87xlO4D.88.7xlO3

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為〃乂10?的形式，其中6同<10,〃為整數(shù).確定"的值時，要看把原數(shù)變

成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值處0時，〃是正整數(shù)；

當原數(shù)的絕對值<1時，"是負整數(shù).

【詳解】解：88700用科學記數(shù)法表示為8.87X10L

故選：C.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X1伊的形式，其中1<|?|<10,〃為整

數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

2.如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“迎”字一面的相對面上的字是（）

A.百B.黨C.年D.喜

【答案】B

【解析】

【分析】正方體的表面展開圖“一四一”型，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點解答.

【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方體，“迎”與“黨”是相對面，“建”

與“百”是相對面，“喜”與“年”是相對面.

故答案為：B.

【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解

答問題.

3.下列運算正確的是（）

246

A.5a2-4a2=1B.(~ab^=ab

C.ag-r-a3—a3D.(a-2b)2=a2-4h2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則，積的乘方，同底數(shù)幕的除法，完全平方公式逐一計算即可.

【詳解】解：A.5a2-4/=。2,該項運算錯誤；

B.(―a2b3)2=/06,該項運算正確；

C./+/=。6,該項運算錯誤；

D.(a-2b)2=a2-4ab+4b2,該項運算錯誤;

故選：B.

【點睛】本題考查整式的運算，掌握合并同類項法則，積的乘方，同底數(shù)基的除法，完全平方公式是解題

的關鍵.

4.下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是()

A?'(|t)0?)

【答案】D

【解析】

【分析】利用軸對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A是軸對稱圖形，對稱軸有1條;

B不是軸對稱圖形；

C不是軸對稱圖形；

D是軸對稱圖形，對稱軸有2條；

故選：D.

【點睛】本題考查識別軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵.

5.如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，NACD的度數(shù)是()

D

A.72°B.36°C.74°D.88°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正五邊形的性質可得NB=NB8=108。，AB=BC,根據(jù)等腰三角形的性質可得

ZBC4=447=36°,利用角的和差即可求解.

【詳解】解：是正五邊形，

/.ZB=ZBCD=108°,AB=BC,

：.ZBCA=ZBAC=36°,

：.ZA8=108。—36。=72。，

故選：A.

【點睛】本題考查正五邊形的性質，求出正五邊形內角的度數(shù)是解題的關鍵.

6.學校為了解“陽光體育”活動開展情況，隨機調查了50名學生一周參加體育鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表所示:

人數(shù)（人）9161411

時間（小時）78910

這些學生一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的意義與表格直接求解即可.

【詳解】解：這50名學生這一周在校的體育鍛煉時間是8小時的人數(shù)最多，故眾數(shù)為8；

統(tǒng)計表中是按從小到大的順序排列的，最中間兩個人的鍛煉時間分別是8,9,故中位數(shù)是（8+9）-2=8.5.

故選：C.

【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的意義，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)從小到

大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

7.已知f—3x—i2=0，則代數(shù)式—3f+9x+5的值是（）

A.31B.-31C.41D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可先求出x2-3x的值，再化簡一3/+9%+5=-3（/-3%）+5,然后整體代入所求代數(shù)

式求值即可.

【詳解】解：?.?工2一3%一12=0，

x2-3x=12，

：.-3x2+9x+5=-3_3x）+5=-3x12+5=-31.

故選:B.

【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，此題的關鍵是代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設

中，得出爐-3彳=12,是解題的關鍵.

8.如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點則點8的坐標為

（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.(0,6)

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)題意得出OA=8,OC=2,再根據(jù)勾股定理計算即可

【詳解】解：由題意可知：AC^AB

VA（8,0）,C（-2,0）

：.OA=S,OC=2

：.AC=AB=\0

在必△OAB中，OB=yjAB2-OA"=A/102-82=6

/.B(0,6)

故選：D

【點睛】本題考查勾股定理、正確寫出點的坐標，圓的半徑相等、熟練進行勾股定理的計算是關鍵

9.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流。（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關

系，它的圖象如圖所示.下列說法正確的是（)

B.蓄電池的電壓是18V

C.當/<10A時，R>3.6QD.當R=6。時，/=4A

【答案】C

【解析】

【分析】將將（4,9）代入/='求出U的值，即可判斷A,B,D,利用反比例函數(shù)的增減性可判斷C.

TJ督

【詳解】解：設/=1，將（4,9）代入可得1方，故A錯誤；

二蓄電池的電壓是36V,故B錯誤;

當/W10A時，R23.60,該項正確；

當當R=6C時，/=6A,故D錯誤，

故選：C.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的實際應用，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

10.如圖，AB為。。的直徑，弦C￡>_LA8于點凡于點E,若0E=3,08=5,則S的長

度是（）

A.9.6B.475C,573D.19

【答案】A

【解析】

【分析】先利用垂徑定理得出AE=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可

【詳解】解：連接0C

VAB1CD,OELAC

：.AE=EC,CF=FD

V0E=3,0B=5

：.0B=0C=0A=5

???在心△OAE中

AE=y]o^-OE2=V52-32=4

：.AE=EC=4

設OF=x,則有AC2-AF2=OC2-OF2

82一(5+X)2=52-x2

戶1.4

在Rt/XOFC中，F(xiàn)C=>JOC2-OF2=JF二T不=4.8

CD=2FC=96

故選:A

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理、方程思想是解題關鍵

11.如圖，在正方形ABC。中，AB=6,M是A。邊上的一點，AM:MD^l:2.將沿對折至

/\BMN,連接。N,則￡W的長是（）

6石

C.3

"I-

【答案】D

【解析】

【分析】延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NE，CU,根據(jù)折疊的正方形的性質得到NE=CE,

在RfMDE中應用勾股定理求出DE的長度，通過證明JWDEsq/vEE,利用相似三角形的性質求出NF和

DF的長度，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NELCD,

VAB=6,M是A力邊上的一點，AM:MD=1:2,

■■AM=2,DM=4,

:將ABMA沿BM對折至ABMN,四邊形ABCD是正方形,

ZBAE=ZC=90°,AB=AN=BC,

：.Rt._BNE^Rt..BCE(HL),

NE=CE,

EM=MN+NE=NE+2,

在RjMDE中,設DE=x,則ME=6—x+2=8—x,

根據(jù)勾股定理可得42+d=(8—x)2,解得x=3,

:.NE=DE=3,ME=5,

，：NFLCD,ZMDE=90°,

:?JMDESJNFE,

,EFNFNE2

129

:.NF=—EF=-

5959

DF=-,

5

/.DN=y/DF2+NF2=—,

故選：D.

【點睛】本題考查折疊的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的應用等內容，做出合適的輔助線是

解題的關鍵.

12.如圖，直線y=-2x+2與坐標軸交于A、8兩點，點尸是線段AB上的一個動點，過點P作y軸的平行

線交直線丁=一1+3于點Q,△OPQ繞點。順時針旋轉45°,邊PQ掃過區(qū)域（陰影部份）面積的最大值

是（）

、\y

211121

A.—71B.—IIC.71D.—71

321632

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意得s陰影=S扇揚孫/—S扇形OMN9設2?2〃），則Q（m3-a）,利用扇形面積公式得到

1

S陰影=（_3Q-+2cl+5）8-,利用二次函數(shù)的性質求解即可.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)旋轉的性質，OPQ,

?q_q

??uOPQ~uOMN，

扇形

則S陰影=S扇形00M+SOMN_SOPQ_SOPN

二S扇形3M-S扇形aw?

???點P在直線y=-2x+2上，點。在直線y=-x+3上，且PQ〃y軸,

設P(m2-20,則。(m3-〃)，

：.OP2=a2+(2-2a)2=5/-8a+4,

OQ2=a2+(3-a)-=Icr—6a+9,

S陰影=S扇形OQM~§扇形aw

45萬？0。45萬？OP?

360360

=(—34+2。+5)??，

設工32+20+5=斗《)+字

v-3<0.

.?.當a時，y有最大值，最大值為3,

33

12

*e?s陰影的最大值為與■8-3-

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，扇形的面積公式，二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件.

二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）

13.請寫出一個滿足不等式夜>7的整數(shù)解.

【答案】6（答案不唯一）

【解析】

【分析】先估算出垃的值約為1.4,再解不等式即可.

【詳解】解：:「“4,

x>7-V2，

x>5.6.

所以6是該不等式的其中一個整數(shù)解（答案不唯一，所有不小于6的整數(shù)都是該不等式的整數(shù)解）；

故答案為：6（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式、不等式的整數(shù)解、二次根式的值的估算等內容，要求學生在理解

相關概念的前提下能靈活運用解決問題，本題答案不唯一，有一定的開放性.

14.某中學規(guī)定學生的學期體育成績滿分為100,其中體育課外活動占30%,期末考試成績占70%,小彤的

這兩項成績依次是90,80.則小彤這學期的體育成績是.

【答案】83分.

【解析】

【分析】根據(jù)加權平均數(shù)的計算公式列出算式，再進行計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

90X30%+80X70%=83（分）；

答：小彤這學期的體育成績是83分.

故答案為：83分.

【點睛】此題考查了加權平均數(shù)，掌握加權平均數(shù)的計算公式是本題的關鍵，是一道?？碱}.

15.化簡:

2

【答案】

a+2

【解析】

【分析】利用分式的減法法則，先通分，再進行計算即可求解.

28

【詳解】解:

a-2a2-4

________8

a-2(a+2)(a-2)

2(a+2)_________8

(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)

2(a-2)

(a+2)(a—2)

2

~a+2'

2

故答案為：-

a+2

【點睛】本題考查分式的減法，掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

16.某校園學子餐廳把WIFI密碼做成了數(shù)學題，小亮在餐廳就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接

到了學子餐廳的網(wǎng)絡，那么他輸入的密碼是

?:XueZiCanTing

5十3十2=151025

9十2十4=183654

一8十6④3=482472

學子餐廳歡迎你！

7十2十5="

【答案】143549

【解析】

【分析】根據(jù)題中密碼規(guī)律確定所求即可.

【詳解】5?302=5x3x10000+5x2x100+5x(2+3)=151025

90204=9x2x10000+9x4x100+9x(2+4)=183654,

8(x)603=8x6x1OOOO+8x3x1(X)+8x(3+6)=482472,

70205=7x2x10000+7x5x100+7x(2+5)=143549.

故答案為143549

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意得出規(guī)律并熟練掌握運算法則是解題關鍵.

17.如圖，,ABC的頂點均在正方形網(wǎng)格格點上.只用不帶刻度的直尺，作出二ABC的角平分線BO(不

寫作法，保留作圖痕跡).

【答案】見解析

【解析】

【分析】取格點E,連接AE,作AE的中點D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可知：BD即為上48。的

角平分線.

【詳解】解：如圖，射線BD即為所求作.

【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，等腰三角形三線合一的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

18.當自變量一時，函數(shù)y=為常數(shù)）的最小值為人+3,則滿足條件的E的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】分攵<一1時，-1WZW3時，z>3時三種情況討論，即可求解.

【詳解】解：①若左<一1時，則當一時，有x>k,故丁=,一4=%—攵，

故當x=T時，y有最小值，此時函數(shù)y=-l-3

由題意，一3—4=%+,

解得：2=—2,滿足％<—1,符合題意；

②若一1W左W3,則當一1WXW3時，>=,一420,

故當x=Z時，y有最小值，此時函數(shù)y=0,

由題意，8=笈+,

解得：k=-3,不滿足—1W%S3,不符合題意；

③若%>3時，則當一時，有尤<%,故y=|x-M=Z-x,

故當x=3時，y有最小值，此時函數(shù)y=k-3,

由題意，k-3=l+,方程無解，此情況不存在，

綜上，滿足條件的A的值為-2.

故答案為：-2.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，絕對值的性質，分類討論是解題的關鍵.

三、解答題（共8個題，共78分）

19.計算：V25-|-7|+（2-^）°.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用算術平方根、絕對值的性質、零指數(shù)基分別計算各項即可求解.

【詳解】解：原式=5—7+1=—1.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握算術平方根、絕對值的性質、零指數(shù)幕是解題的關鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點.求證：DE=BF.

【答案】證明見試題解析.

【解析】

【分析】由矩形的性質和已知得到DF=BE,AB〃CD,故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AB=CD,

又E、F分別是邊AB、CD的中點，

；.DF=BE,

又AB〃CD,

四邊形DEBF是平行四邊形，

DE=BF.

考點：1.矩形的性質；2.全等三角形的判定.

21.在一次數(shù)學課外實踐活動中，小明所在的學習小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部。處的俯角是

53°,從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°,綜合樓高24米.請你幫小明求出辦公樓

的高度.（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)tan37°B0.75,tan530?1.33,6=1.73）

O

O綜

辦C/O4

修

公7

樓

【答案】辦公樓的高度約為10.4米.

【解析】

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關系得出的長，進而得出C。的高度.

【詳解】解：根據(jù)題意，ZBDA=53°,AB=24,

AB

在R/ZJ3D4中，tan53。=——

AD

24

??AD-----,

1.33

在MAAC。中，ZCAD=30°,

CD

tan30°=—

AD

3卷T=含一"（物

故辦公樓的高度約為104米.

【點睛】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識

解決問題，屬于中考常考題型.

22.隨著我國科技事業(yè)不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機大量進入快遞行業(yè).現(xiàn)有A,B兩種型號的無人機都被用來

運送快件，A型機比B型機平均每小時多運送20件，A型機運送700件所用時間與B型機運送500件所用

時間相等，兩種無人機平均每小時分別運送多少快件？

【答案】A型機平均每小時運送70件，B型機平均每小時運送50件

【解析】

【分析】設A型機平均每小時運送x件，根據(jù)A型機比B型機平均每小時多運送20件，得出B型機平均每

小時運送（片20）件，再根據(jù)A型機運送700件所用時間與B型機運送500件所用時間相等，列出方程解之

即可.

【詳解】解：設A型機平均每小時運送x件，則B型機平均每小時運送（x-20）件,

700500

根據(jù)題意得:

xx-20

解這個方程得：470.

經(jīng)檢驗戶70是方程的解，.?.x-20=50.

/.A型機平均每小時運送70件，8型機平均每小時運送50件.

【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

23.為了弘揚愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績分為：A（優(yōu)秀）、B（良好）、C

（合格）、D（不合格）四個等級.小李隨機調查了部分同學的競賽成績，繪制了如下統(tǒng)計圖.

（1）本次抽樣調查的樣本容量是,請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）已知調查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學，請用

樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；

（3）該校共有2000名學生，請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù).

3

【答案】（1）100,補全條形統(tǒng)計圖見解析；（2）P（恰好回訪到一男一女）=《；（3）700人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知C等級的人數(shù)與所占比例，即可求出樣本容量，根據(jù)B所

占百分比求出B等級的人數(shù)，再求出D等級的人數(shù)即可；

（2）畫出表格，利用概率公式即可求解；

（3）利用樣本估計總體的方法求解即可.

【詳解】解：（1）25-25%=100（人），

B等級的人數(shù)為100x35%=35（人），

D等級的人數(shù)為：100-35-35-25=5（人），

補全條形統(tǒng)計圖如下：

男男男女女

男男男男男女男女男

男男男男男女男女男

男力力力力女男女男

女男女男女男女女女

女男女男女男女女女

I?3

P（恰好回訪到一男一女）=—=-；

（3）2000x35%=700（人）.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合，從統(tǒng)計圖中獲取相關信息是解題的關鍵.

24.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，然后

QV-

觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程.請結合已有的學習經(jīng)驗，畫出函數(shù)＞=--—的圖象，并探究

JT+4

其性質.

列表如下:

??????

X-4-3-2-101234

88_24

???24_8…

ya0b-2-

5735~135

（1）直接寫出表中。、的值，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象;

0

3

4

3

2

1

>->-1-5-1-1O123456

-1

■

-4.4

-3

8x

（2）觀察函數(shù)丫=--「■的圖象，判斷下列關于該函數(shù)性質的命題：

x+4

①當一2VxW2時，函數(shù)圖象關于直線）'=x對稱：

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為一2；

③-1cx<1時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.

其中正確的是.（請寫出所有正確命題的序號）

（3）結合圖象，請直接寫出不等式等一>x的解集.

x+4

Q

【答案】（1）。=2,/?=--,畫出函數(shù)的圖象見解析；（2）②；（3）x<0

【解析】

【分析】（I）把x=-2和x=l分別代入函數(shù)解析式，即可求得〃、人的值，再利用描點法作出圖像即可:

（2）結合圖象可從函數(shù)的增減性及對稱性進行判斷；

（3）根據(jù)圖象求得即可.

8x8x(-2)

【詳解】解：（1）當x=-2時,-----=----------Z-----=2

廠+4(-2)-+4

8x_8x1_8

當X=1時,2-_-_

X+41+45

。=2,b=—,

5

(2)①函數(shù)圖象關于直線y=x對稱，原說法錯誤；

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為-2,原說法正確；

③—2<x<2時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，則原說法正確.

其中正確的是②，③.

故答案為：②，③；

(3)畫出直線'=%,

Q丫

由圖象可知：當x<o時，函數(shù)>=一二一的圖象在直線y=x的上方，

x+4

Qr

...不等式―一二>x的解集為X<0.

%2+4

故答案為：x<0.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質，反比例函數(shù)的圖象和性質，會用描點法畫出函數(shù)圖象，利

用數(shù)形結合的思想得到函數(shù)的性質是解題的關鍵.

25.如圖，點。在以AB為直徑的。。上，過。作。。的切線交A8延長線于點C,A￡_LCD于點E,交

。。于點居連接4。，F(xiàn)D.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：DFAC=ADDC-,

(3)若sinNC=‘，AD=4A/TO,求Ef的長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)EF=6.

【解析】

【分析】(1)連接0。，BD,由圓的切線的性質結合圓周角定理可求得NED4=/AB。，再利用等角的余角

相等，可證明結論；

(2)如圖，連接B。、BF,利用平行線的性質以及圓周角定理證得根據(jù)(1)的結論可證明

△A￡>F~aAC￡>,可證明結論；

(3)設0A=0￡>=x,利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到0C=4x,CD=^X，AC=5x,根據(jù)相似三角形

的判定和性質求解即可.

詳解】(1)證明：連接BD,

是。。的切線，。為切點,

/.0DVED,

：.ZODA+ZEDA=90°,

為。。的直徑，

ZADB=90°,

ZODA+ZODB=90°,

：.Z0DB=ZEDA,

?：OB=OD,

：.Z0DB=Z0BD,

???/EDA=/ABD,

AEA.CD,

.\Z￡=90°,

，NA4E=ND4C(等角余角相等);

(2)如圖，連接BD、BF,

???A8為。。的直徑，

，NAFB=90°,

：.BF//CF,

：.ZC=ZABF=ZADF,

由(2)得NZME=ND4C,

^ADF-AACD,

.ADDF

"AC"CD'

DFAC=ADDC；

(3)過。作￡>H_LAB于H,連接?！?gt;,BD,

設OA=OD=xf

1

-

在RtAODC中，sinC=----4

oc

：.0C=4x,

則CD=Joc2-OD2=Ji5x，

AC=OA+OC=5x,

由（2）得O/LAC=AO?0C,即DFJ回?岳工=45/6,

5x

VZC+ZDOC=90°,NODH+/DOH=90。,

：.ZODH=ZC,

在RtAODH中，sinODH=-----=一

OD4

1

OH=—x,

4

DH=^OD1-OH2=-x,

4

由（1）得NmE=〃4C,

￡>//=￡>￡=—r.

4

???/EFD=NAB￡＞（圓內接四邊形外角等于內對角）,

由（1）得/EDA=NABD,

NEFD=NEDA,

：.^EAD-AEDF,

V15

EDAD

即

EFDF

EF476

3

：.EF=-x

4

在RtADEF中,EF2+DE2=DF2>即

解得：x=8,

3

/.￡F=—x8=6.

4

【點睛】本題考查了切線的性質定理，也考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，解直角

三角形，正確的理解題意是解題的關鍵.

26.如圖，拋物線y=(x+l)(x-a)(其中與x軸交于A、8兩點，交y軸于點C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段A8的長(用。表示)；

(2)若點。為/A8C的外心，且△8C。與△ACO的周長之比為4,求此拋物線的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+D(x—。)上是否存在一點P，使得NC4P=/。84?若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】(1)ZOCA=45°,AB=a+\；(2)y=x-x-2-,(3)存在，P\(一一，P2(1,-2).

24

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,OB=1,

即可證明△OCA是等腰直角三角形，可得NOCA=45。，根據(jù)線段的和差關系可表示A8的長；

(2)如圖，作△ABC的外接圓根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AC=&q,利用兩點間距離公式可用

〃表示出BC的長，根據(jù)圓周角定理可得NO=2NOAC=90。，可得△QBC是等腰直角三角形，即可證明

△DBCSAOCA,根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比列方程求出〃值即可得答案；

(3)如圖，過點。作。HL4B于H,過點C作AC的垂線，交x軸于凡過點。作OGLAC于G,連接

AP交C尸于E,可得AOCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式，根據(jù)外心的定義

及等腰直角三角形的性質可求出點。坐標，即可得出84、0H的長，根據(jù)NC4P=N￡>84,

/8H女:/ACE=90?？勺C明△ACE,根據(jù)相似三角形的性質可求出CE的長，根據(jù)兩點間距離公式

可得點E坐標，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點尸坐標即可得

答案.

【詳解】(1)???拋物線y=(x+D(x—a)(其中a>l)與x軸交于4、B兩點，交y軸于點C.

，當戶0時，y=-a,

當y=0時，(尤+1)(%-6/)=0,

解得：%=—1,%=。，

???A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

A0B=\,OA=OC=a,

.?.△0C4是等腰直角三角形，

，ZOC4=45。，AB=OA+OB=a+1.

(2)如圖，作△ABC的外接圓。O,

???點。為..A8C的外心，

：.DB=DC,

0C4是等腰直角三角形，04=。，

ZOAC=45°,AC=&，

???/BOC和NBAC是8C所對的圓心角和圓周角，

ZBDC=2ZBAC=90°,

/.NDBC=45。,

：.ZDBC=ZOAC,

：.4DBCs&OCA,

V△BCD與△ACO的周長之比為JIU：4，

2

.BC而HIIy/a+1710

AC4缶