中考數(shù)學(xué)各地模擬卷-必考幾何探究類壓軸題詳解20例

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中考數(shù)學(xué)各地模擬卷-必考幾何探究類壓軸題詳解20例

口如圖,在△A8C中.=〃、E分別是邊AB、上的動(dòng)點(diǎn),且見)

=BE,連接CD,AE點(diǎn)M、N、P分別是CD,AE、?。的中點(diǎn).設(shè)/8=a.

(1)觀察猜想

在求器的值時(shí)小明運(yùn)用從特殊到一般的方法，先令a=60?解題思路如下：

如圖①，先由A8=4C,BD=BE.得到C￡=A。再由中位線的性質(zhì)得到

PM=PN、NNPM=60。,進(jìn)而得出是等邊三角形，，黑=黑=/

②如圖②,當(dāng)a=90時(shí),仿照小明的思路求整的值.

CE

(2)探究證明

如圖③,試猜想瞿的值是否與a(00<a<180°)的度數(shù)有關(guān),若有關(guān)，請

用含a的式子表示出瞿，若無關(guān),請說明理由；

(3)拓展應(yīng)用

如圖④.AC=2.N8=36：點(diǎn)。、E分別是射線人及射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，

且AD=CE點(diǎn)M,N.P分別是線段CD.AE.AC的中點(diǎn),當(dāng)8￡>=1時(shí).

請直接寫出的長.

國問題提出：

(1)如圖1,在四邊形A8CD中，連接AC、BD,AB=AD,/BAD;NBCD

二90。，將△A8C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到A4OE,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)落在

點(diǎn)。點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E可知點(diǎn)C、D、E在一條直線上，則AACE為

三角形.BC、CD、AC的數(shù)量關(guān)系為；

探究發(fā)現(xiàn)：

(2)如圖2,在。。中，A6為直徑，點(diǎn)C為定的中點(diǎn).點(diǎn)D為圓上一個(gè)點(diǎn).

連接A。、CD、AC、BC、BD,4D<BD,請求出CD、AD、8。間的數(shù)

量關(guān)系.

拓展延伸：

(3)如圖3.在等腰直角三角形A8C中,點(diǎn)尸為A8的中點(diǎn)，若4C=13.

平面內(nèi)存在一點(diǎn)瓦且AE=10,CE=13,當(dāng)點(diǎn)。為AE中點(diǎn)時(shí),.

9(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖①,在Rl&lBC中，NA=90。，八8=。。，點(diǎn)￡)是八8上一點(diǎn).DE//

BC.

填空：BD.CE的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系為；

(2)類比探究

如圖②,將"OE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°),連接

BD.CE,請問(])中的結(jié)論還成立嗎？若成立,請給出證明,若不成立.

請說明理由.

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將AADE繞點(diǎn)八順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,直線BD,

CE交于點(diǎn)F,若八。=1,八8=6，當(dāng)NACE=15時(shí)，請直接寫出8”的長.

□正方形ABCD中，點(diǎn)P為直線A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4B重合)，連接

0P,將DP繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)90得到EP,連接過點(diǎn)E作CQ的垂線，交

射線DC于M,交射線AB于M

問題出現(xiàn)：(1)當(dāng)點(diǎn)。在線段上時(shí),如圖I,線段A"AP.DM之間

的數(shù)量關(guān)系為；

題探究(2)①當(dāng)點(diǎn)。在線段8A的延長線上時(shí),如圖2,線段A"AP.

DM之間的數(shù)量關(guān)系為；

②當(dāng)點(diǎn)尸在線段A8的延長線上時(shí)，如圖3,請寫出線段人O.AP.DM之

間的數(shù)量關(guān)系并證明；

問題拓展：⑶在①@的條件下,若AP=6,4DEM=15。,則DM=.

目下面是數(shù)學(xué)王老師布置的一到課后思考題.已知：如圖1.在中,Z

84c=90。，AB=AC,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)8、C重合)，

以AD為邊作正方形ADEF,連接請判斷C/\BC和CD的數(shù)量關(guān)

系.??BB2BB3

小明思考了一會(huì)兒了,認(rèn)為可以先證明AA8。gZUC尸(SAS),從而可得出

CF、8C和CD的數(shù)量關(guān)系為.(請把正確答案填在橫線上)

(2)類比探究

如圖2.當(dāng)點(diǎn)。在線段8C延長線上時(shí),其他條件不變,請判斷CE8c和

CD三條線段之間的關(guān)系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,當(dāng)D在線段反向延長線上時(shí),且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩

側(cè),正方形ADEF邊長為2&,對角線八E、OF相交于點(diǎn)O并連接OC

并求OC的長.

立如圖所示，在AABC中，。、E分別是"、AC上的點(diǎn)，DE//BC,如圖①,

然后將AIDE繞人點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②,然后將6。、CE分

別延長至例、N,使。知=勞。,EN=1CE,得到圖③，請解答下列問題：

(1)若八6=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系:

①在圖②中.雙>與CE的數(shù)量關(guān)系是；

②在圖③中.猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、NAMN與NR4C的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

(2)若人8=A?AC(&>1),按上述操作方法，得到圖④,請繼續(xù)探究：AW

與AN的數(shù)量關(guān)系、NM4N與NB4C的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不

必證明.

口已知：A48C,是等邊三角形，點(diǎn)、D是MBC(包含邊界)平面內(nèi)一點(diǎn).連

接CD,將線段CD繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段連接DE,AD,

并延長A。交于點(diǎn)P.

(1)觀察填空：當(dāng)點(diǎn)。在圖1所示的位置時(shí)，填空：

①與"CD全等的三角形是.

②NAP8的度數(shù)為.

(2)猜想證明：在圖1中，猜想線段POPE.PC之間有什么數(shù)量關(guān)系？

并證明你的猜想.

(3)拓展應(yīng)用：如圖2,當(dāng)A4BC邊長為4.A￡>=2時(shí),請直接寫出線段

CE的最大值.

口(1)探索發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△48C中.點(diǎn)。在邊8c上.3雙)與△AZJC的面積分別記為

Si與S2.試判斷言與黑的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)閱讀分析

小東遇到這樣一個(gè)問題：如圖2.在RlZkABC中.AB=AC,ZBAC=90°,

射線AM交8c于點(diǎn)"點(diǎn)￡、尸在AM上.且/CEM=/8FM=90。，試判

斷BF、CE、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小東利用一對全等三角形.經(jīng)過推理使問題得以解決.

填空：①圖2中的一對全等三角形為；

②8F、CE、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)類比探究

如圖3,在四邊形相6中,AB=AD,人C與8。交于點(diǎn)。點(diǎn)￡「在射

線AC上，且NBCF=NDEF=NBAD.

①判斷8C、DE、CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若00=308,的面積為2,直接寫出四邊形A8C。的面積.

Q(1)探究發(fā)現(xiàn)

下面是一道例題及其解答過程.請補(bǔ)充完整.

如圖1.在等邊三角形43c內(nèi)部有一點(diǎn)P,雨=3,PB=4,PC=5.求NAPB

的度數(shù).

解：將A4PC繞點(diǎn)八逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△APB,連接“'，則A4P產(chǎn)為

等邊三角形.

"；P'P=M=3,PB=4,PB=PC=5,

:.FfAPB'P'B2

△BPP,為三角形

???NAPB的度數(shù)為.

(2)類比延伸

如圖2.在正方形人3。內(nèi)部有一點(diǎn)P,若NAP。=135。，試判斷線段必、

PB、PO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3.在△ABC中,/R4C=I2O。,AB=AC點(diǎn)P在直線AB上方且

=60°,試判斷是否存在常數(shù)k,滿足(&出)OP獷MPC2.若存在,求出k

的值；若不存在.請說明理由.

皿如圖I所示，邊長為4的正方形人8C力與邊長為。(1<?<4)的正方形

CFEG的頂點(diǎn)C重合,點(diǎn)E在對角線AC上.

K?K

【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示.AE與8F的數(shù)量關(guān)系為

【類比探究】如圖2所示,將正方形CTEG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(0<

a<30%請問此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過程,如不成立.

說明理由；

【拓展延伸】若點(diǎn)F為8c的中點(diǎn)，且在正方形CFEG的旋轉(zhuǎn)過程中,有

點(diǎn)A、F、G在一條直線上，直接寫出此時(shí)線段AG的長度為.

[Q問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,在△48。中，AB=AC.//MC=60。，。為8c邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)

B.C重合)，將線段A。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60鴨到從￡連接EC,貝I」：

(I)①NACE的度數(shù)是；②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系

是.

拓展探究.

(2)如圖2,在zMSC中，AB=AC,Z?AC=90°,。為8c邊上一點(diǎn)(不

與點(diǎn)仇C重合)，將線段4。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到A￡連接EC,請

寫出/ACE的度數(shù)及線段A￡>.BD.CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

解決問題：

(3)如圖3,在RtZSDBC中,。8=3,DC=5.ZfiDC=90°,若點(diǎn)人滿足

AB^AC.Z?AC=900,請直接寫出線段A4的長度.

庭【問題提出】在AAAC中,AB=AC/BC,點(diǎn)。和點(diǎn)A在直線8c的同側(cè).

BD=BC,ZBAC=a.NO8C=0,且a+B=l20。，連接AQ,求NAD8的

度數(shù).(不必解答)

【特例探究】小聰先從特殊問題開始研究.當(dāng)a=90-0=30對，利用軸

對稱知識,以人B為對稱軸構(gòu)造AIBO的軸對稱圖形連接C。'(如

圖2).然后利用a=90。，口=30以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個(gè)

問題.

請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，在這種特殊情況下填空：△O8C的形

狀是三角形；NAD8的度數(shù)為.

【問題解決】

在原問題中，當(dāng)N/MCY/A5C(如圖1)時(shí)，請計(jì)算/A/陰的度數(shù)；

【拓展應(yīng)用】在原問題中，過點(diǎn)A作直線AE_L82交直線8。于E.其他

條件不變?nèi)?C=7,AO=2.請直接寫出線段的長為.

國如圖1,點(diǎn)8在直線/上,過點(diǎn)8構(gòu)建等腰直角三角形A8C,使/8AC

二90。，且人B=AC,過點(diǎn)。作CDJ_直線/于點(diǎn)2連接人D

(1)小亮在研究這個(gè)圖形時(shí)發(fā)現(xiàn),N8AC=N8OC=90。，點(diǎn)兒D應(yīng)該在

以8C為直徑的圓上,則N/1QB的度數(shù)為。,將射線人。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90咬直線/于點(diǎn)￡可求出線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系為；

(2)小亮將等腰直角三角形A8C繞點(diǎn)H在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位

置時(shí),線段AD,B"。。的數(shù)量關(guān)系是否變化，請說明理由；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若CD長為1,當(dāng)“以)面積取得最大值時(shí)，請直接

寫AO的長.

[fl如圖】,將三角板放在正方形A8CO上，使三角板的直角頂點(diǎn)￡與正方

形ABCD的頂點(diǎn)A重合.三角板的一邊交CD于點(diǎn)E另一邊交CB的延長

線于點(diǎn)G.如■-圓

(1)觀察猜想：線段"與線段EG的數(shù)量關(guān)系是；

(2)探究證明：如圖2,移動(dòng)三角板,使頂點(diǎn)E始終在正方形AB8的對

角線AC上，其他條件不變.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？著成立,請給予

證明：若不成立.請說明理由：

(3)拓展延伸：如圖3,將(2)中的任方形A6CD”改為“矩形A6CZT,

且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)從其他條件不變.若A6=a、BC=b,求器的值.

版如圖I.在RtAABC中,ZB=90c,AB=2,BC=1,點(diǎn)D,E分別是邊

BCAC的中點(diǎn)，連接DE將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為

a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)a=0用，f=；

②當(dāng)a=180對.普=.

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0。&<360對.等的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證

明.

(3)問題解決

當(dāng)△EOC旋轉(zhuǎn)至八、8、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段8。的長.

D0(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1.A4CH和均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連

接BE.

填空：

①NAE8的度數(shù)為；

②線段AD、8E之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)拓展探究

如圖2,A4C8和△￡>(7￡：均為等腰直角三角形，N4C8=NUCE=90嘀人、

在同一直線上，CM為△。點(diǎn)中。七邊上的高，連接BE.請判斷NAE8

的度數(shù)及線段CM、AE.之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)解決問題

如圖3.在正方形A6CD中，CD=2,若點(diǎn)、P滿足PD=l,且/BPD=90。,

請直接寫出點(diǎn)4到8P的距離.

[B問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖L在Rt"8r中,Z4=90°,AB=bAC伙>1),。是AB上一

點(diǎn),DE//BC,則82EC的數(shù)量關(guān)系為.

類比探究

(2)如圖2,將A4EO繞著點(diǎn)人順時(shí)針旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為a(0。<〃<90,

連接C￡,BD,請問(1)中8。EC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由

拓展延伸：

(3)如圖3,在(2)的條件下，將A4ED繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(a

>9(尸.直線8。CE交于F點(diǎn)、,若AC=1.AB=43,則當(dāng)NAC￡=15時(shí)

BF?CF的值為.

[Q(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,28C和2公^均為等邊三角形,點(diǎn)機(jī)D.

E在同一直線上.填空：①線段82CE之間的數(shù)量關(guān)系為?NBEC

(2)【類比探究】如圖2,A48C和A4DE均為等腰直角三角形,NACB=

ZA￡D=90°,AC^BC,AE=DE,點(diǎn)B,D,E在同一直線上.請判斷線段

BD.CE之間的數(shù)量關(guān)系及NBEC的度數(shù),并給出證明.

(3)【解決問題】如圖3,在△48C中，ZACfi=90°,/A=30。，A8=5,

點(diǎn)。在A3邊上，DE_LAC于點(diǎn)E,A￡=3.將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。后所

在直線經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)C到直線。石的距離是多少？(要求畫出示意圖并

直接寫出答案)

回如圖L在AABC中,48=AC=2.ZB4C=120°,點(diǎn)D、￡分別是4C、

8。的中點(diǎn).連接/)￡

定理：在直角三角形中.如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于

斜邊的一半.

探索發(fā)現(xiàn)：

圖1中，黃的值為；帶的值為.

(2)拓展探完

若將ACDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)過程中著的大小有無變化？

請僅就圖2的情形給出證明.

(3)問題解決

當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A.D,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段的長.

SQ(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖①,正方形AEFG的兩邊分別在正方形A8C7)的邊AB和AQ上，連接

CF.

填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；

②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為.

(2)【拓展探究】

如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，(1)中的

結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進(jìn)行說明.

(3【解決問題】

如圖③，AA6C和八4。石都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB

=AC=4,。為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)。在直線8c上運(yùn)動(dòng)，連接0E,則在點(diǎn)。

的運(yùn)動(dòng)過程中，線段0石長的最小值為(直接寫出結(jié)果).

參考答案

1?【解答】(1)②如圖②中，作于

21

圖②

'：BA=BC,BD=BE,

：.AD=EC,

■:AN二NE,AP=PC,

C.PN//EC,PN=1EC,

'：CM=MD.CP=PA,

C.PM//AD,PM=1AD,

2

:,PM=PN,

'：AB±BC,PM//AB,PN//BC,

:.PM1PN,

，/MPN=9。。,

...△PMN是等腰直角三角形,

■:PH工MN,

：.NH=MH,22

HN-NHsin45°,

ECPN=

MN-V2

*'EC~2~'

(2)如圖3中，結(jié)論：=sin-^.

CD乙

理由：如圖③中，

"：BA=BC,BD=BE,

：.AD=EC,

'：AN=NE,AP=PC,

：.PN//EC,PN=±EC,

?；CM=MD.CP=a,

P—。,

：.PM=PN,

'：PM//AB,PN//BC,

：,ZABC=ZMPN=a

YPHLMN,

：,NH=MH,

?嚏嚼=si吟,23

.?菅si吟.

(3)如圖⑤中，AA3C中，ZB=36°,BA=BC,AC=2,在BC上取一點(diǎn)

K,使得8K=AK,則N5=N3AK=36。，ZAKC=ZC=12°,

圖⑤

：.AK=AC=BK=2,ZCAK=36°,

"：ZC=ZC,ZCAK=ZB,

：.ACAK^/\CBA,

：.CA2=CK>CB,

：.22=CK(CK+2),

：.CK2+2CK-4=0,

解得CK=-1+V5(負(fù)根已經(jīng)舍棄),

.,.BC=2+-1+V5=l+Vs,

如圖④中，

A

D

BEC

圖④

'：BD=BE=1,

:.EC=A,

"：PN=1EC,

2

:.PM=PN=叵、

2

VZMPN=ZB,PM=PN,BA=BC,

，XABCsXMPN、

?AC=BC

■.而PN*

...2二曜

MNV5

224

:.MN;咨,

4

市+3

當(dāng)。E分別在AB,C8的延長線時(shí)，同法可得"N=J

綜上所述，MN的長為學(xué)或客竺.

44

2?【解答】(1)由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZCAE=90°,AC=AE,

???△ACE為等腰直角三角形，

；.CE=V2AC,

CE=CD+DE=CD+BC,

：.BC+CD=y[?AC,

故答案為：等腰直角；BC+CD=^AC,

(2)延長CO交。。于E,連接AE、BE、DE,

則NCQE=90。，

???點(diǎn)C為窟的中點(diǎn),

???點(diǎn)E為M的中點(diǎn)，

：.EA=EB,

?.N8為。。的直徑，

二.ZADB=90°,

由⑴得，DE=^(AD+BD).

由勾股定理得，CD2=CE2-DE1=AD2+BD2-1{AD+BD)2=1{AD-BD)

2

i

:.CD=*(BD-AD)；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)七在直線AC的左側(cè)時(shí)，連接CQ、PC,

?.?CA=CB,點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，

C.CPLAB,

?「C4=CE,點(diǎn)。為AE中點(diǎn)，

ACQLAE,AQ=QE=1AE=5,

六由勾股定理得，CQ=C?/=12,

由⑴得，AQ+CQ=^Q,

??.畫Q=5+12=17,

解得，PQ=苧，

如圖4,當(dāng)點(diǎn)￡在直線AC的，右側(cè)時(shí)，連接C。、PC,

由⑵得，尸。=夸(CQ-AQ)=7.

解得，PQ:嚕、

故答案為：芥或當(dāng)M

26

3.【解答】（1）問題發(fā)現(xiàn)：

解：'JDE//BC,

,BD-CE

..而AC'

'：AB=MC,

:.BD=k?CE,

'：ZA=90°,

：.AB±AC,

：.BD±CE,

故答案為：BD=k?CE；BDLCE,

（2）類比探究:

解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下:

延長CE交6。于尸，如圖②所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZBAD=ZCAE,

'CDE//BC,

?二迫二空

ABAC

,AD-AB

**AEAC'

AABD^AACE,

.?地=嶇=左/ABD=NACE,

CEAC'

：.BD=k?EC,

"：ZCBF+ZBCF=ZABD+ZABC+ZBCF=ZACE+ZBCF+ZABC=Z

ACB+ZABC=90°,

：.ZBFC=90°,

：.BDLCE,

(3)拓展延伸：

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZBAD=ZCAE27

,,AD=AB

?AEAC'

/.AABD^/XACE,

：.ZACE=15。=ZABD,

"：乙鉆C+NACB=90。，

ZFBC+ZFCB=90°,

.*.ZBFC=90°,

,：ZBAC=90°,AC=1,AB=43,

...tan/ABC=返，

3，

ZABC=30°,

ZACB=60°,

分兩種情況：

①0。＜心90。時(shí)，如圖②所示：

.?.在RtABAC中，ZABC=30°,AC=\,

：.BC=2AC=2,

?.?在RC3FC中，ZCBF=30%15°=45°,BC=2,

：.BF=CF=42；

②a>90附，如圖③所示：

設(shè)CE=a,在8/上取點(diǎn)G,使NBCG=15。

VZBCF=60%15°=75°,NCBF=ZABC-ZABD=30°-15°=15°,

ZCFB=90°,

：.ZGCF=60°,ZCBF=ABCG,

：.CG=BG=2a,GF=W.

：.BF=BG+GF=(2+Vs)a,

CF2+BF2=BC228

a2+(2a+Vsa)2=22,

解得:標(biāo)=2-Vs,

??Q=V2-V3,

:?BF=(2+73)際1一(2班)2(2/)=小"嗎反

即：5尸的長為血或返署.

4?【解答】（1）DM=AD+AP,理由如下：

???正方形ABC。，

：,DC=AB,ZDAP=90°,

???將。尸繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)90猾到七尸，連接。石，過點(diǎn)石作。的垂線，交射線

0c于"，交射線A8于N,

：.DP=PE,ZPNE=90°NOPE=90°,

\*ZADP+ZDPA=90°,ZDPA+ZEPN=90°,

ZDAP=ZEPN,

在44。夕與ANPE中，

"ZADP=ZNPE

?ZDAP=ZPNE=90",

DP=PE

/.AADP^ANPE(A4S),

：.AD=PN,AP=EN,29

:.AN=DM=AP+PN=AD+AP；

(2)?DM=AD-AP,理由如下：

?.?正方形ABC。

：.DC=AB,ZDAP=90°,

;將。尸繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90得到￡尸，連接OE,過點(diǎn)￡作8的垂線，交射線

0c于"，交射線A8于N,

：.DP=PE,N尸NE=90°,NOPE=90°,

ZADP+ZDPA=90°,ZDPA+ZEPN=90°,

：.ZDAP=ZEPN,

在八4。尸與ANPE中，

'NADP=NNPE

■ZDAP=ZPNE=90°,

DP=PE

A^ADP^/\NPE(AAS),

：.AD=PN,AP=EN.

：.AN=DM=PN-AP=AD-AP：

@DM^AP-AD,理由如下：

ZDAP+ZEPN=90°,ZEPN+ZPEN=90°,

ZDAP=/PEN,30

又,：/A=/PNEHDP=PE,

:ADAP安APEN,

：.AD=PN,

?.DM^AN=AP-PN=AP-AD；

(3)有兩種情況，如圖2,DM=33,如圖3,DM=?-1；

①如圖2：VZDEM=15°,

Z.ZPDA=/PDE-ZADE=45°-15°=30°,

在Rt△雨。中A尸二返A(chǔ)。=高野嚼=3,

：.DM=AD-AP=3-43；

②如圖3：VZDEM=15°,

ZPDA=/PDE-ZADE=450-15°=30°,

在Rt△雨。中AP=炎，AO=AP?tan3()o=y/=i,

：.DM=AP-AD=^-1.

故答案為：DM=AD+AP；DM^AD-AP,3-m或?-l.

5.【解答】(1)VZ5AC=90°,ZABC=45°,

ZACB=ZABC=45°,

：.AB=AC,

???四邊形ADEb是正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=900-ADAC,ZCAF=90°-ZDAC,31

/./BAD=NCAF,

則在△BAO和△CAR中，

'AB=AC

■ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：,/\BAD^ACAF(SAS),

：.BD=CF,

■:BD+CD=BC,

：.CF+CD=BC；

故答案為：CF+CD=BC,

(2)???四邊形4OEE為正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°

,：NBAC=90°,

ZBAC+ZDAC=ZDAF+ZDAC,

即/CAF,

AB=AC

在△ABO和△AC/7中，ZBAD=ZCAF,

AD=AF

/\ABD^/\ACF(SAS),

：.BD=CF,

：.CF=BC+CD；

(3)VZBAC=90°,NABC=45。，

ZACB=ZABC=45°,

：.AB=AC,32

???四邊形AQEF是正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=90°-ZBAF,ZCAF=900-ZBAF,

：.ZBAD=ZCAF,

?.?在△A4Z)和△CAF中，

，AB=AC

ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：./\BAD^/\CAF(SAS),

ZACF=/ABD,

,/ZABC=45°,

ZABD=135°,

Z.ZACF=ZABD=135°,

：.ZFCD=90°,

...△FCQ是直角三角形.

?.?正方形A3EE的邊長為2正且對角線AE、。尸相交于點(diǎn)O.

：.DF=^AD=4,。為。尸中點(diǎn).

：.OC=1DF=2.

2

6.【解答】解：（1）①BD=CE；

?AM=AN,/MAN:/BAC,

VZDAE=ABAC,

：,ZCAE=ZBAD,

在△BAD和△CAE中

'AE=AD

V.ZCAE=ZBAD.*.^CAE^ABAD(SAS),

AC=AB33

ZACE=/ABD,

■:DM=工BD,ENTICE,

22

：.BM=CN,

在/MBM和△ACN中，

jBll=CN

VZACN=ZABM

AB=AC

:.△ABMQXkCN(SAS),

：.AM=AN,

/.ZBAM=/CAN、即/MAN=ZBAC；

(2)結(jié)論：AM=k?AN、NMAN=NA4C理由如下:

'：ABC^ADE,

??.他=坐，

ABAC

,AB=AD

*'ACAE'

ZCAE=ZDAE+ZCAD,ZBAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZCAE=ABAD,

:.△ADBS/\AEC、

Z.BD=AB=/C,

CEAC'

，：DM二工BD,EN=±CE,

2234

:.DM：EN=K,

'：AB：AC=AD：AE,

：.AD：AE=K,

'：ZADM=ZABD+ZBAD,ZAEN=ZACE+ZCAE,

：.ZADM=ZAEN,

：.^ADM^AAEN,

AN=AD：AE=K,

：.ZDAM=ZEAN,

：.ZNAE+ZMAE=ZDAN+ZMAE,

：.ZMAN=ZDAE,

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZMAN=ABAC.

AM=k,AN,

/MAN=ABAC.

7?【解答】解：（1）①如圖1中，:?△ABC是等邊三角形,

.\AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°,

,/將線段。。繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段CE,

：.CE=CD,ZDCE=60°,

是等邊三角形，

ZDCE=60°,

VZACD+ZDCB=60°/BCE+/DCB=60。,

：.ZACD=ZBCE,

：./XACD^ABCE(SAS).35

故答案為：ABCE.

②如圖1中，VAACD^ABCE,

ZEBC=ZDAC,

ZDAC+ZBAD=ABAC=60°,

ZPBC+ZBAD=6G°,

ZAPB=\S00-ZABC+ZPBC+ZBAP=\SO0-60°-60°=60

故答案為602

(2)結(jié)論：PD+PE=PC.

理由：如圖1中在尸。上取一點(diǎn)a使得EP=EH,

NAPB=60°,

ZDPE=120°,

：.ZDPE+ZDCE=180°,

AC,D,P,E四點(diǎn)共圓，

：.ZCPE=ZCDE=6G°,

?：EP=EH,

??.△E尸”是等邊三角形，

：.PH=EP=EH,/PEH=/DEC=6。。,

：.ZPED=ZHEC,

'：EP=EH,ED=EC,

：./\PED^/\HEC(SAS),36

：.PD=CH,

：.PC=PH+CH=PE+PD.

(3)如圖2中，??FC=4,AD=2,

A4-2<CD<4+2,

：.2<CD<6.

由(1)可知，EC=CD,

?,.EC的最大值為6.

即當(dāng)點(diǎn)。在CA的延長線上時(shí)，CE取最大值為6.

8.【解答】解：⑴結(jié)論：？=露

CD

理由：如圖1中，作于

37

51=1?BD?AH,Si=工?CD?AH,

2,2，

.?s曰7--B-D?-A-H=BD.

S2-1-DC-AHCD

(2)如圖2中，

/CEM=/BFM=ZBAC=90°,

ZAEC=ZAFB=90°,

AZBAF+ZCAE=90°,ZCAE+ZACE=90°,

：.ZBAF=ZACE,

'：AB=AC,

：./\AFB^/\CEA(44S),

：.AF=CE,BF=EF,

'：CE=AF=AE+EF=BF+EF,

故答案為：AAFBACEA,CE=EF+BF.

(3)①如圖3中，結(jié)論：DE=BC+CE.

38

理由：?:NBCF=NDEF,

：.ZACB=ZDEA,

"：ZBCF=ZBAD,ZBCF=ZABC+ZBAC,ZBAD=ZBAC+ZDAE,

：.ZABC=ZDAE,

'：AB=AD,

：.AABC^ADAE{ASA],

：.BC=AE,AC=DE,

"：AC=AE+CE,

：.DE=BC+CE.

②?.,00=308,

SMOD-3SMBO、S^ODC-3s△OBC,

SAACD=3sA48C,

AABC^ADAE,

??S/\ABC=SMDE—2,

S^ACD-6,

??S四邊形ABCZ)—2+6=8.

9?【解答】(1)如圖1,將A4PC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到A4P6,連

接PP,則A4PP為等邊三角形.

'：PP'=PA=?>,P5=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P'B2.

.?.△8P尸為直角三角形.

???ZAPB的度數(shù)為90460。=150°39

故答案為：直角；150°；

(2)2出2+尸02=082.理由如下：

如圖2,把尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到八4BP,連結(jié)PP1

貝IJP§=PO,P'A=PA,N勿P'=90°,

???△APP是等腰直角三角形，

PP'2=FA2+P'A2=2B42,ZPP'A=45°,

Zv4PD=135°,

ZAP'B=ZAPD=\35°,

：.ZPP'B=\35°-45°=90°,

在RtAPPB中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB)

：.2R\2+PD2=PB2.

⑶k=±V3.

證明：如圖③

將八4尸。繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到八4尸6,連接PP1過點(diǎn)A作

可得NAPP'=30。，PP'=43PA,PC=P'B,

,：ZAPB=6G°,

：.NBPP=90°,

：.P'P2+BP2=P'B2,

：.(V§E4)2+PB2=PC2

,/伏山)2+PB2=PC2,

.,.k=dV3.40

10?【解答】【問題發(fā)現(xiàn)】

解：AE=42BF,理由如下：

,/四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，

AZB=ZCFE=90°,NFCE=NBCA=45。,CE二'F、CELGF,

：.AB//EF,

.,.蛙=出=加，

BFCF

：.AE=y[2BF；

故答案為：AE=V2BF；

【類比探究】

解：上述結(jié)論還成立，理由如下:

連接CE,如圖2所示：

：.ZBCF=NACE=45ZACF,

在RtACEG和RtACBA中，

CE=42CF,CA=?CB,

GE=CA=V2,41

CFCB

^ACE^/XBCF,

/.AE=V2,

BFCB'

：,AE=^SF,

【拓展延伸】

解：分兩種情況：

①如圖3所示：

圖3

連接CE交GF于H,

,/四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，

：.AB=BC=4,AC=Va4B=4<2,GF=CE=^CF,HF=HE=HC,

???點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

：.CF=1BC=2,GF=CE=242,GH=HF=HE=HC=近,

A"=7AC2-HC2=V（W2）2-（V2）2二屈，

.,.AG=AH+HG=V30+V2；

②如圖4所示：連接CE交GF于"，

同①得：GH=HF=HE二HC二a,

,,A"=VAC2-HC2-V（W2）2-（V2）2-百，42

:.AG=AH-HG=4^-a；

故答案為：同行或倔-加?

11.【解答】解：（1）.??在A48C中，AB=AC,NA4C=60。,

：.ZBAC=ZDAE=60°

：.ZBAC-/DAC=ZDAE-ZDAC,即/BAD=ACAE,

rAB=AC

在△BAD和△CAE中，,ZBAD=ZCAE,

AD=AE

ABAD^ACAE（SAS）,

/.AZACE=ZB=60°,BD=CE,

/.BC=BD+CD=EC+CD,

：.AC=BC=EC+CD；

故答案為：60°,AC=DC+EC-,

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下：

由(1)得，

：.BD=CE,AACE=ZB=45°,

，ZDCE=90°,

：,CE2+CD2=ED2,

在RtAAOE中，AD2+AE2=ED2,^AD=AE,43

：.BD2+CD2=2AD2；

(3)如圖3,作AKLCD于旦連接AO,

?.?在RtZkOBC中，DB=3,DC=5,NBDC=90°,

??BC—49+25=V34,

VZ5AC=90°,AB=AC,

：.AB=AC=^7,ZABC=ZACB=45°,

'：ZBDC=ZBAC=90°,

.?.點(diǎn)8,C,A,。四點(diǎn)共圓，

ZADE=45°,

J△AZ)石是等腰直角三角形，

：.AE=DE,

：.CE=5-DE,

":AE2+CE2=AC1,

：.AE2+(5-AE)2=17,

：.AE=1,AE=4,

.,.AD=&或AD=4V2.

12?【解答】解：【特例探究】①如圖2中，作乙48。=NAB。，BD'=BD,

連接C。,AD',

\'AB^AC,ZBAC=90°,

：.ZABC=45°,

'：ZDBC=30°,

/./ABD=ZABC-/DBC=15°,

"AB=AB44

在△ABD和△AB。'中，ZABD=ZABDZ

BD=BDZ

AABD^/\ABD',

：.ZABD=ZABD'=15°,ZADB=ZAD'B,

：.ZD'BC=ZABD'+ZABC=60°,

*：BD=BD',BD=BC,

：.BD'=BC,

???△O5C是等邊三角形,

②???△O5C是等邊三角形，

：.D'B=D'C,ZBD'C=60°,

rAD=ADz

在AAOB和△ADC中，3B二D，c

AB=AC45

/\AD'B^AAD'C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

：,ZAD'B=IZBD'C=30°,

2，

，NADB=30°

故答案為：等邊，30°；

【問題解決】解：?.?NOBC<NABC,

.?.60°<a<120°,

如圖3中，作NA80=NAB。，BD'=BD,連接C。，AD',

"：AB=AC,

ZABC=ZACB,

,：ZBAC=a,

：.ZABC=1(180°-a)=90°-1a,

ZABD=ZABC-ZDBC=900-la-B,

2r，

同⑴①可證人480名△A5。'，

AZABD=ZABD'=90°-la-P,BD=BD\ZADB=ZAD'B

：.ZD'BC=ZABD'+ZABC=90°-la-0+90°-Aa=180°-（a+0）,

Va+P=120°,

ZD'BC=60°,

由（1）②可知，AAD'B^AAD'C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

：.ZAD'B=1ZBD'C=^,

ZADB=30°

【拓展應(yīng)用】第①情況：當(dāng)60。<0(<120的，如圖3-1,46

D'

圖3-1

由（2）知，ZADB=30°,

作AE_L3￡）,

在RtAAOE中，ZADB=30°,AD=2,

:.DE=M,

是等邊三角形,

：.BD=BC=7,

：.BD=BD'=7,

/.BE-BD-DE=7-Vs；

第②情況：當(dāng)0°<a<60的，

如圖4中，^ZABD'=ZABD,BD'=BD,連接C。，AD'.

同理可得：ZABC=1(180°-a)=90°-1a,

ZABD=ZDBC-ZABC=p-(90°-la),

同(1)①可證人48。^443。，

/.ZABD=ZABD'=p-(90°-la),BD=BD\ZADB=ZAD'B,

：.ZD'BC=ZABC-ZABD'=900-|a-[p-(900-la)]=180°-(a+p),

：.D'B=D'C,ZBD'C=60°.

同(1)②可證△AO歸之△AQ'C,47

ZAD'B=ZAD'C,

'：ZAD'B+ZAD'C+ZBD'C=360°,

ZADB=ZAD'B=150°,

在RtAADE中，ZADE=30°,AD=2,

:.DE=g

：.BE=BD+DE=7+43,

故答案為：7+加或7-迎

13?【解答】（1）①如圖，在圖1中.

VZBAC=90°,且AB=AC,

ZACB=ZABC=45°,

"：ZBAC=ZBDC=9G0,

二.A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

二.ZADB=ZACB=45^48

②由題意可知，ZEAD=ZBAC=90°,

ZEAB=ZDAC,

^AE=AD,AB=AC,

/.△EAB^ADAC(SAS),

：.BE=CD,

'：AE=AD,ZEAD=90°,

...△AOE是等腰直角三角形，

：.DE=^AD,

'：CD+DB=EB+BD=DE,

：.CD+DB=Va4￡＞；

故答案為45。，CD+DB=^D,

(2)線段AO,BD,CO的數(shù)量關(guān)系會(huì)變化，數(shù)量關(guān)系為80-CO

理由如下：

如圖2,將AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90咬直線/于點(diǎn)E

c

則ZCAB=90°,

，ZDAC=ZEAB,

XAD=AE,AC=AB,

：.AEAB^/\DAC(SAS),

：.BE=CD,

\'AE=AD,ZEAD=90°,

...△AQE是等腰直角三角形，

：.DE=^D,49

'：BD-CD=BD-BE=DE,

：.BD-CD=42AD,

(3)由(2)知，ACDA^ABEA,

ACDA=ZAEB,

"：ZDEA=45°,

ZAEB=180°-45°=135°,

：.ZCDA=ZAEB=135°,

ZCDA+ZABC=135%45。=180°,

.\A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

于是作A、B、C、。外接圓。O,如圖3.

當(dāng)點(diǎn)。在線段AB的垂直平分線上且在AB的左側(cè)時(shí)，AABD的面積最大.

作OGJ_A3,則。G平分NAOB,DB=DA,在D4上截取一點(diǎn)H,使得。。

=DH=1,

,：NADB=ZACB=45°,

/.ZGDB=22.5°,/DBG=67.5°,

ZDBC=61.5°-45°=22.5°,

ZHCB=ZDHC-ZHBC=45°-22.5°=22.5°,

ZHCB=ZHBC,

：.HB=CH=42,

：.AD=BD=DH+BH=I+V2.

14?【解答】(1)I?四邊形ABC。為正方形,50

：.AB=AD,/BAD=90°,

：.ZGAF=ZBAD,

：.ZGAF-ZBAF=ZBAD-ZBAF,即

在△G4B和△心。中，

'NGAB=NFAD

■AB=AD,

,ZABG=ZADF

：./\GAB^/\FAD(ASA),

：.AG=AF,即EF=EG,

故答案為：EF=EG；

(2)成立，

證明如下：如圖2,過點(diǎn)E分別作BC、8的垂線，垂足分別為〃、/,

則EH=E/,/HEl=90°,

,/ZGEH+ZHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

二.Z1EF=NGEH,

在AFEI和△GE”中，

"ZIEF=ZHEG

■EI=EH,

,ZEIF=ZEHG51

：./\FEI^/\GEH{ASA),

：.EF=EG；

(3)如圖，過點(diǎn)E分別作3C、8的垂線，垂足分別為M、N,

貝IJNMEN=9O。，

：.EM//AB,EN//AD,

/.△CE^ACAD,4CEMs/\CAB,

NE_CEEM_CE

**AD'CA'AB'CA'

,NEEMBFINE_AD.b

**AD=AB'閃而而7，

ZNEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

：.ZGEM=ZFEN,又/GME=NFNE=9。。,

:.AGMEsAFNE,

EF-EN-b,

**EGEM7"

D

15?【解答】解：⑴①當(dāng)a=0田寸,

在RtAABC中，AB=2,6C=1,根據(jù)勾股定理得，AC7AB2+BC2-^5'

???點(diǎn)D,E是BC,AC的中點(diǎn)，

：.BD=1BC=1,AE=1AC=^-,

2222

故答案為：V5；

②當(dāng)a=180時(shí),如圖2,

???點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)。在6c的延長線上，

由題意知，CD=1BC,CE=1AC,52

，BD=BC+CD=IBC=1,AE=AC+CE=1AC=亞,

221