2014年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟封并使用完畢前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合，，若(A)(B)(C)(D)(2)下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(A)(B)(C)(D)否開始輸出S結(jié)束是輸入m,n的值(3否開始輸出S結(jié)束是輸入m,n的值(A)在直線上(B)在直線上(C)在直線上(D)在直線上(4)當(dāng),時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為(A)7(B)42(C)210(D)840(5)設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“”為遞增數(shù)列的(A)充分且不必要條件(B)必要且不充分條件(C)充分且必要條件(D)既非充分也非必要條件(6)若滿足且的最小值為，則的值是(A)(B)(C)(D)(7)在空間坐標(biāo)系中，已知，，，，若，，分別表示三棱錐在，，則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A)==(B)=且(C)=且(D)=且(8)有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若A同學(xué)每科成績不低于B同學(xué)，且至少有一顆成績比B高，則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績好，”現(xiàn)在若干同學(xué)，他們之中沒有一個人比另一個人成績好，且沒有任意兩個人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的。問滿足條件的多少學(xué)生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)復(fù)數(shù)_____．(10)已知向量、滿足，、且，則_____．(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過點，且具有相同漸近線，則C的方程是．(12)若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時，的前n項和最大．(13)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_____種．(14)設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟。(15)（本小題13分）如圖，在中，，，點D在BC邊上，且CD=2，（Ⅰ）求．（Ⅱ）求，的長．(16)（本小題13分）李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下（假設(shè)各場比賽相互獨立）場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512（Ⅰ）從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；（Ⅱ）從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，另一場不超過0.6的概率；（Ⅲ）記是表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比和的大小。(17)（本小題14分）如圖，正方形的邊長為2，B，C分別為和的中點，在五棱錐中，為的中點，平面與棱，分別相較于點、．（Ⅰ）求證：；EDCMFBAPHG（Ⅱ）若平面，且AEDCMFBAPHG(18)（本小題13分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值與的最小值．(19)（本小題14分）已知橢圓：．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點，若點A在橢圓G上，點B在直線上，且，求直線AB與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(20)（本小題13分）對于數(shù)對序列，，…，，記,，其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）對于數(shù)對序列，，求，；（Ⅱ）記m為四個數(shù)、、、的最小值，對于兩個數(shù)對，組成的數(shù)對序列，和，，試分別對和時的情況比較和的大?。唬á螅┰谟?個數(shù)對，，，，組成的有序數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使最小，并寫出的值（只需寫出結(jié)論）。絕密★考試結(jié)束前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1（10）（11）（12）8（13）36（14）三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因為，所以。所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以（16）（共13分）解：（I）根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.（Ⅱ）設(shè)事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”。則C=，A,B獨立。根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，.所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為.（Ⅲ）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因為B是AM的中點，所以∥。又因為平面PDE，所以∥平面PDE，因為平面ABF，且平面平面，所以∥。（Ⅱ）因為底面ABCDE,所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,, .設(shè)平面ABF的法向量為，則即令，則。所以，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則。設(shè)點H的坐標(biāo)為。因為點H在棱PC上，所以可設(shè)，即。所以。因為是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以點H的坐標(biāo)為。所以（18）（共13分）解：（I）由得。因為在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而。（Ⅱ）當(dāng)時，“”等價于“”“”等價于“”。令，則，當(dāng)時，對任意恒成立。當(dāng)時，因為對任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而對任意恒成立。當(dāng)時，存在唯一的使得。與在區(qū)間上的情況如下：+0↗↘因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以。進(jìn)一步，“對任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，對任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)時，對任意恒成立。所以，若對任意恒成立，則a最大值為，b的最小值為1.（19）（共14分）解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（Ⅱ）直線AB與圓相切。證明如下：設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為，，其中。因為，所以，即，解得。當(dāng)時，，代入橢圓C的方程，得，故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。此時直線AB與圓相切。當(dāng)時，直線AB的方程為，即，圓心0到直線AB的距離又，故此時直線AB與圓相切。（20）（共13分）解：（I